Deducción ecuaciones del desplazamiento, velocidad y aceleración del pistón en mecanismo manivela – biela – corredera
Enviado por Julio César de Jesús Balanzá Chavarria
Resumen
Se deducen ecuaciones del desplazamiento, velocidad y aceleración de la corredera o pistón en un mecanismo Manivela – Biela – Corredera. A partir de su diagrama, en función de la velocidad angular, desplazamiento angular y longitud de la manivela, así como longitud de la biela. Dichas deducciones no aparecen en los textos consultados.
Desarrollo
De la figura observamos que:
X = R + r – r cosβ – R cosα……… (1)
En esta expresión tenemos que eliminar α, para quedarnos con las variables fácilmente medibles R, r, β, y ω.
Para eliminar cosα procedemos asν:
De la misma figura observamos que:
r senβ = R senα = h ………(2)
También, la ecuación de la ley de los cosenos nos explica partiendo del siguiente triangulo que:
a² = b² + c² – 2bc cosα… … …(3)
Aplicando esta ecuación a la figura 1 tenemos:
h² = R² + R² cos²α – 2R (R cosα) cosα … … …(4)
Pero de la ecuación (2) podemos escribir
h² = r² sen²β
Por lo que sustituyendo este valor en el primer miembro de la ecuación (4) tenemos:
r² sen²β = R² + R² cos²α – 2R² cos²α
Sumando algebraicamente los términos R² cos²α tenemos:
r² sen²β = R² – R² cos²α
o sea R² cos²α = R² – r² sen²β
De donde: R cosα = √ R² – r² sen²β
Sustituyendo este valor en (1) tenemos:
X = R + r – r cosβ – √ R² – r² sen²β
De donde:
X = r(1 – cosβ) + R -√ R² – r² sen²β
Multipliquemos y dividamos el radical por R
X = r (1 – cosβ) + R – R √ R² – r² sen²β
R
De donde podemos escribir
Saquemos como factor común a R² dentro del radical
Saquemos del radical a R²
La expresión dentro del radical se resuelve por la formula del binomio de Newton:
(a – b)n = an – nan – 1b + n (n – 1) an – 2 b2 – n (n-1)(n-2) an – 3 b3 + … … …
2! 3!
Aplicando esto a la expresión dentro del radical nos queda:
Pero los términos de la serie se vuelven insignificantes después del 2° término; Por lo tanto tenemos como resultado:
Sustituyendo este valor en la ecuación (5) tenemos:
Ecuación que nos da el desplazamiento del pistón
El efecto de oblicuidad de la biela, dado por el termino r2 sen²β, hace que el
2R
Movimiento del pistón no sea armónico.
Obtengamos ahora la ecuación que nos da la velocidad del pistón
Por lo tanto
Pero: 2 senβ cosβ = sen2β
Por lo tanto la ecuación nos queda:
Ecuación que nos da la velocidad del pistón.
Obtengamos ahora la ecuación que nos da la aceleración del pistón
Ecuación que nos da la aceleración del pistón
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