13 Dejamos al estudiante, que proceda de similar forma para hacer el análisis del circuito RC mostrado en la Figura 1.2 Respuesta a encontrar será: donde ? = tan-1(?RC).
14 Sin embargo se puede notar que la solución de este circuito sencillo es trabajoso, puede imaginarse como será para una red más grande. Para evitar este método, vamos a establecer una correspondencia entre funciones senoidales temporales y números complejos. El medio que emplearemos para establecer esa relación, es la ecuación de Euler. ej?t = cos?t + jsen?t, donde R(ej?t) = cos?t y Im(ej?t) = sen?t Suponemos que seleccionamos como nuestra función forzante de voltaje: v(t) = VMej?t, entonces de la identidad trigonométrica se puede escribir: v(t) = VMcos?t + jVMsen?t, entonces la respuesta de corriente puede escribirse como: i(t) = IMcos(?t + f) + jIMsen(?t + f), que también puede ser escrito como:
15 Debido a las relaciones anteriores que más que aplicar la función forzante VMcos?t y calcular la respuesta IMcos(?t + f), podemos aplicar la función forzante compleja VMej?t y calcular la respuesta IMej(?t + f), la parte real de ésta, es la respuesta deseada IMcos(?t + f) i(t) = IMej(?t + f) Aunque este procedimiento en principio parece ser más complicado, no lo es. Mediante esta técnica, convertiremos la ecuación diferencial en una ecuación algebraica que es mucho más fácil de resolver. 1.2 Fasores Cada vez que supongamos que la función forzante de una red lineal es la forma v(t) = VMej?t, podemos decir que todo voltaje o corriente de estado estable en la red tendrá la misma forma y la misma frecuencia ?, por ejemplo, una corriente i(t) será de la forma i(t) = IMej(?t + f).
16 Podemos entonces proceder en nuestro análisis de circuitos, anotando simplemente la frecuencia y omitir el factor ej?t, ya que éste es común a todos los términos en las ecuaciones descritas. Esto quiere decir que todo voltaje o corriente puede describirse completamente mediante una magnitud y una fase. Por ejemplo, un voltaje v(t) puede escribirse en forma exponencial como: v(t) = VMcos?t = Re[VMej(?t + ?)] o como un número complejo, Como estamos trabajando con una función forzante compleja cuya parte real es la respuesta deseada, y cada término en la ecuación contendrá ej?t, podemos entonces omitir Re[] y ej?t, y trabajar solo con el número complejo VM|?. Esta representación compleja comúnmente se llama fasor. v(t) = Re[VM|? ej?t]
17 Fasor: es una versión transformada de una onda senoidal de voltaje o corriente que consiste en la información de la magnitud y el ángulo de fase de la senoide. Como característica distintiva, los fasores, se escribirán en negritas. Por ejemplo un voltaje v(t) = VMcos(?t + ?) se escribirá en notación fasorial como: V = VM|?, una corriente i(t) = IMcos(?t + f), en notación fasorial se escribirá como I = IM|f. De nuevo encontraremos la corriente i(t) en el circuito RL, considerado anteriormente,
18 Al aplicar la LKV a la malla se obtiene la ecuación diferencial: Recordemos lo dicho anteriormente, que la solución de la ecuación diferencial, es la parte real de esta corriente. La función forzante utilizada será, con el fasor V = VM|0o, entonces la corriente será i(t) = Iej?t, con el fasor I = IM|f. Vamos a sustituir el voltaje y corriente en la ecuación diferencial, usando los fasores,
19 ahora efectuando la derivada tenemos: ahora despejando el fasor I, tendremos: como puede ser observado, el término ej?t, es un factor común, como fue dicho anteriormente y puede ser eliminado, dejando los fasores, es decir, así la corriente i(t) será:
20 la cual nuevamente es la función obtenida anteriormente. Ejemplo: Pasar del tiempo a fasorial: v(t) = 24cos(377t – 45º) V e i(t) = 12sen(377t + 120º) A Representación fasorial Dominio de tiempo Dominio de frecuencia Acos(?t ± ?) Asen(?t ± ?) A|±? A|±?-90o El voltaje v(t) como fasor será: V= 24|-45o V y la corriente i(t) como fasor será: I = 12|120o-90o = 12|30o A. Ahora convirtamos de la forma fasorial al tiempo: V= 16|20o V e I= 10|-75o A, con f = 1KHz. El voltaje será: v(t) = 16cos(2000?t + 20º) V y la corriente será: i(t) = 10cos(2000p?t – 75º) A, que también puede escribirse en términos de la función seno como: i(t) = 10sen(2000p?t + 15º) A.
21 1.3 Relaciones fasoriales para elementos de circuitos Aplicando la ley de Ohm para el circuito de la Figura 1.3, tenemos: Para el caso de un Resistor: v(t) = Ri(t) y sustituyendo por las funciones complejas tenemos: ahora eliminando el factor común ej?t, se tiene: que convertido en forma fasorial será:
22 como podemos observar ?v = ?i, lo que significa que la corriente y el voltaje para este circuito (es decir, en una Resistencia) están en fase, esto puede ser visto en la Figura 1.4 (b), la Figura 1.4 (a) muestra el diagrama fasorial.
23 Aplicando la ley del elemento para el circuito de la Figura 1.5, tenemos: Para el caso de una Bobina: y sustituyendo por las funciones complejas tenemos: ahora efectuando la derivada y eliminando el factor común ej?t, se tiene:
24 que convertido en forma fasorial será: que también podemos escribirla como: ya que como podemos observar ?v = ?i +90o, lo que significa que la corriente y el voltaje están fuera de fase 90º,y en particular podemos decir que el voltaje adelanta a la corriente por 90º o decir que la corriente esta atrasada del voltaje en 90º. esto puede ser visto en la Figura 1.6 (b), la Figura 1.6 (a) muestra el diagrama fasorial.
25 Aplicando la ley del elemento para el circuito de la Figura 1.7, tenemos: Para el caso de un Capacitor: y sustituyendo por las funciones complejas tenemos: ahora efectuando la derivada y eliminando el factor común ej?t, se tiene:
26 que convertido en forma fasorial será: que también podemos escribirla como: como podemos observar ?i = ?v +90o, lo que significa que la corriente y el voltaje están fuera de fase 90º,y en particular podemos decir que la corriente adelanta al voltaje por 90º o decir que el voltaje esta atrasado de la corriente en 90º, esto puede ser visto en la Figura 1.8 (b), la Figura 1.8 (a) muestra el diagrama fasorial.
27 Para el circuito mostrado en la Figura 1.9, encuentre la corriente i(t), usando fasores. Con v(t) = 24cos(377t + 75º) V y R = 6?. Ejemplo 1.3.1 Convertimos el voltaje a la forma fasorial, entonces V= 24|75o V y aplicando la ley de Ohm, obtenemos: así i(t) será: i(t) = 4cos(377t + 75º) A Solución
28 Para el circuito mostrado en la Figura 1.10, encuentre la corriente i(t), usando fasores. Con v(t) = 12cos(377t + 20º) V y L = 20mH. Ejemplo 1.3.2 Convertimos el voltaje a la forma fasorial, entonces V= 12|20o V y aplicando la ley del elemento, obtenemos: así i(t) será: i(t) = 1.59cos(377t – 70º) A Solución
29 Para el circuito mostrado en la figura, encuentre la corriente i(t), usando fasores. Con v(t) = 100cos(377t + 15º) V y C = 100µF. Ejemplo 1.3.3 Convertimos el voltaje a la forma fasorial, entonces V= 100|15o V y aplicando la ley del elemento, obtenemos: así i(t) será: i(t) = 3.77cos(377t + 105º) A Solución
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