Vectores ortogonales:
Dados dos vectores 
, serán ortogonales si su producto escalar es cero, es decir, forman un ángulo de noventa grados:
APLICACIONES DE LOS VECTORES:
Condiciones para que tres puntos estén alineados:
Los puntos 
están alineados si los vectores 
y 
tienen la misma dirección, es decir, son linealmente dependientes, lo que implica que sus coordenadas serán proporcionales:
Punto medio de un segmento:
Dados dos puntos 
, el punto medio del segmento 
será 
.
Simétrico de un punto con respecto de otro:
Si 
es el simétrico a A respecto del punto P, P será el punto medio del segmento 
. Por lo tanto, si 
el punto 
tendrá por coordenadas:
Despejando, podemos obtener las coordenadas de en función del las de 
y 
:
Proyección de un vector sobre otro:
Dado que 
y sabemos que 
, deducimos que 
, así;
Vector director y vector normal de una recta.
áVector director de una recta determinado por dos puntos: vector director, vector paralelo a la recta o contenido en ella 
. Nos dan los puntos 
y 
, queremos obtener el vector director : restamos las coordenadas de x y las de y:
áVector director de una recta: un vector normal de una recta es siempre perpendicular a ella:
El producto escalar de un vector director por un vector normal es cero por ser normal, 
.
Coordenadas del punto medio de un segmento en el plano:
Las coordenadas del punto medio 
del segmento 
son 
Ecuaciones de la recta:
Ø Sistema de referencia en el plano: 
Ø Ecuación vectorial de la recta: conocemos un punto 
y un vector director :
donde 
es un parámetro que indica el número de veces que un vector unitario está contenido en el vector director.
Ø Paramétrica: despejamos x e y: 
Ø Continua: despejamos en las dos ecuaciones y las igualamos: 
Ø General o implícita: 
. Sustituyendo (ya que 
obtendremos:
(Directamente no conocemos ni coordenadas del punto ni vector director)
Ø Explícita:
Ø 
Ø Ecuación de la recta que pasa por dos puntos: tenemos dos puntos 
:
Ø Ecuación punto-pendiente: punto y pendiente,(
): 
.
Ø Ecuación segmentaria: corta a los ejes de coordenadas en los puntos (a,0) y (0, b):
Posiciones relativas de dos rectas en el plano:
>Rectas en forma general: 
>Rectas en forma explícita: 
>Vectores directores: 
Posición relativa de dos rectas en el plano:
Un haz de rectas es un conjunto formado por las mismas con una característica común, tales como tener la misma dirección o pasar por un mismo punto, en el primer caso será un haz de rectas paralelas y en el segundo un haz de rectas concurrentes (con vértice común).
>Haz de rectas paralelas: todas las rectas tendrán el mismo vector director, es decir, todas tendrán la misma pendiente:
>Haz de rectas concurrentes: cada una de las rectas tendrá distinta dirección y distinta pendiente, pero todas pasarán por un punto común 
denominado vértice:
Distancias:
>Distancia entre dos puntos: 
.
>Distancia de un punto a una recta 
: 
Ángulo de dos rectas:
a) Cuando conocemos los vectores directores utilizamos la ecuación vista en vectores.
b) Cuando conocemos (directa o indirectamente) la pendiente de dos rectas utilizamos esta:
Rectas y puntos notables de un triángulo:
Mediatrices: circuncentro:
Mediatriz: línea que divide a un segmento en dos partes iguales, es decir, pasa por su punto medio y es normal a él.
Circuncentro: punto de corte con las medianas.
Alturas: ortocentro:
Alturas: recta normal que une un vértice con el lado opuesto.
Ortocentro: punto de corte de las alturas.
Medianas: baricentro:
Medianas: línea que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
Baricentro: punto de corte de las medianas.
Bisectrices: incentro:
Bisectrices: recta que divide al ángulo formado por dos rectas en dos partes iguales. Aplicamos la siguiente ecuación:
Incentro: punto de corte de las bisectrices.
Rectas y puntos notables del triángulo. Ejercicios resueltos.
Mediatrices y circuncentro
Calcular las coordenadas del circuncentro del triángulo de vértices A(2,-1), B(-5,1) y C(0,3).
á Hallamos las ecuaciones de dos mediatrices:
a) Ecuación de la mediatriz del lado AC:
1. Calculamos las coordenadas del punto medio del lado AC:
2. Hallamos la ecuación de la mediatriz, la cuál pasará por el punto medio M(1,1) y su vector director será normal a la recta AC:
b) Hallamos, del mismo modo, la ecuación de la mediatriz del lado AB, que será, como podréis comprobar (si queréis), 
.
á Hallamos las coordenadas del circuncentro: dado que el ortocentro es el punto de intersección de las mediatrices, hemos de resolver el sistema planteado por las ecuaciones m1 y m2, siendo los resultados del despeje en x e y las coordenadas del circuncentro:
Alturas y ortocentro
Calcular las coordenadas del ortocentro del triángulo ABC de vértices A(-1,1), B(2,4) y C(4,1).
áEcuación de la altura del lado AC
á Ecuación de la altura del lado BC (mismo método): 
á Resolvemos el sistema de las dos alturas, para obtener las coordenadas del ortocentro:
Medianas y baricentro
Calcular las coordenadas del baricentro del triángulo ABC de vértices A(-1,1), B(2,4) y C(4,1).
áHallar la ecuación de la mediana del lado AC:
a) Calculamos las coordenadas del punto medio AC; 
b) Vector director de la mediana, a partir de M y del vértice B: 
Ecuación de la mediana AC
á Repetimos el mismo proceso para hallar la ecuación de la mediana del lado AB
á Coordenadas del baricentro: resolvemos el sistema de ecuaciones de las dos medianas:
*El baricentro es el centro de gravedad del triángulo, por lo que sus coordenadas también se puede obtener sumando las tres "x" de los vértices y dividiendo entre tres, y hacer los mismo con las "y":
Bisectrices e incentro
Hallar la ecuación de la bisectriz de la recta AB y AC, siendo A(-1,1), B(2,4) y C(4,1).
á Calculamos la ecuación de las rectas:
*Incentro: origina una circunferencia inscrita. Para calcularlo debemos obtener la ecuación de otra bisectriz y resolver el sistema formado por las ecuaciones de las dos bisectrices.
EJERCICIO: HALLA LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA INSCRITA LA TRIÁNGULO ABC DE ESTE EJERCICIO.
Autor:
Adrián Domingo Giménez
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