?F ?F -1- EQUILIBRIO DE PARTÍCULAS Glosario de conceptos:
1. Equilibrio. “Si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es cero, la partícula se encuentra en equilibrio”. 2. Ecuaciones de equilibrio:
x ? 0 y ? 0
3. Primera condición de equilibrio:
“Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es cero, la partícula permanecerá en reposo (si originalmente estaba en reposo) o se moverá con velocidad constante en línea recta (si originalmente estaba en movimiento)”.
4. Diagrama de cuerpo libre:
“Un gran número de problemas que tratan de estructuras pueden reducirse a problemas concernientes al equilibrio de una partícula. Esto se hace escogiendo una partícula significativa y dibujando un diagrama separado que muestra a ésta y a todas las fuerzas que actúan sobre ella. Dicho diagrama se conoce como diagrama de cuerpo libre.” Los ejercicios que resolveremos a continuación estarán referidos a partículas y/o cuerpos que se encuentren en reposo.
EQUILIBRIODEPARTÍCULAS Ejercicio 1 : Determinar la magnitud que debe poseer la F2 = 10 N
Solución :
Existen varios procedimientos que nos permiten llegar a la solución. Sin embargo, utilizaremos uno que consideramos puede ser utilizado en cualquier tipo de problemas de equilibrio con la finalidad de que el estudiante se familiarice con éste y se le facilite el enfoque y solución de problemas con mayor grado de dificultad.
Como se indicó anteriormente : Si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es cero, la partícula se encuentra en equilibrio”.
Luego, el problema se reduce a descomponer todas las fuerzas del sistemas en sus componentes perpendiculares (proyecciones sobre los ejes “X” e “Y”) y aplicar las dos ecuaciones de equilibrio de partículas (?Fx = 0 y ?Fy = 0).
Estudiando la fuerza F1 ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) : 30º 30º fuerza F3 para que el siguiente sistema esté en equilibrio :
F1 = 10 N F3 10 N F1y
30º F1x F1x = (cos 30º)(F1) = (0,866)(10) = 8.66 N (hacia la derecha)(+)
F1y = (sen 30º)(F1) = (0,5)(10) = 5 N (hacia arriba)(+) Ing.JoséLuisAlbornozSalazar
EQUILIBRIODEPARTÍCULAS Ing.JoséLuisAlbornozSalazar -2- F2x = (cos 30º)(F2) = (0,866)(10) = 8.66 N (hacia la derecha)(+)
F2y = (sen 30º)(F2) = (0,5)(10) = 5 N (hacia abajo)(-)
Estudiando la fuerza F3 ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) : Como estos son los valores desconocidos, lo incluimos en la tabla como incógnitas : Recuerde que se ha convenido asignar signo positivo a las fuerzas dirigidas hacia la derecha o hacia arriba, y signo negativo a las fuerzas dirigidas hacia la izquierda o hacia abajo. SFx = 0 + 8,66 + 8,66 – F3x = 0 ; 17,32 – F3x = 0 ; 17,32 = F3x SFy = 0 + 5 – 5 – F3y = 0 ; 0 – F3y = 0 ; F3y = 0 La solución gráfica será : Ejercicio 2 : si la masa de la caja es de 10 kg. El peso de la caja será W = m.g = (10)(9,81) = 98,10 N 30º 10 N F2y Estudiando la fuerza F2 ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
F2x 30º F2 = 10 N
Determine la tensión en las cuerdas ab y ad, 30º F1 = 10 N F3 = 17,32 N c
Solución :
Se construye el diagrama de cuerpo libre : b a d 30º W Tb Td 30º
EQUILIBRIODEPARTÍCULAS Ing.JoséLuisAlbornozSalazar -3- El problema se reduce a descomponer todas las fuerzas del sistemas en sus componentes perpendiculares (proyecciones sobre los ejes “X” e “Y”) y aplicar las dos ecuaciones de equilibrio de partículas (?Fx = 0 y ?Fy = 0). Estudiando la tensión Tb ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) : Tbx = (cos 30º)(Tb) = (0,866)(Tb) = 0,866 Tb (hacia la derecha)(+) Tby = (sen 30º)(Tb) = (0,5)(Tb) = 0,5 Tb (hacia arriba)(+)
Estudiando la tensión Td ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) : Esta tensión no tiene componentes en el eje Y, por lo tanto su componente en X será igual a su magnitud (Td = Tdx) Estudiando la tensión W ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
Esta tensión no tiene componentes en el eje X, por lo tanto su componente en Y será igual a su magnitud (W = Wy) Recuerde que se ha convenido asignar signo positivo a las fuerzas dirigidas hacia la derecha o hacia arriba, y signo negativo a las fuerzas dirigidas hacia la izquierda o hacia abajo. SFx = 0 + 0,866 Tb – Tdx = 0 ; 0,866 Tb = Tdx SFy = 0 + 0,5 Tb – 98,1 = 0 ; 0,5 Tb = 98,1 Tb = ; Tb = 196,20 N Este valor lo puedo introducir en la ecuación que me quedó indicada en la sumatoria de fuerzas horizontales (0,866 Tb = Tdx) y obtendré el valor de la tensión en “d”. 0,866 Tb = Tdx ; (0,866)(196,20) = Tdx ; 169,91 = Tdx Como Tdx = Td ; Td = 169,91 N La solución gráfica será : 30º
W = 98,10 N Tb = 196,20 N Td = 169,91 N
EQUILIBRIODEPARTÍCULAS Ing.JoséLuisAlbornozSalazar -4- Calcule la fuerza “F” para que la pesa esté en Se construye el diagrama de cuerpo libre : El problema se reduce a descomponer todas las fuerzas del sistemas en sus componentes perpendiculares (proyecciones sobre los ejes “X” e “Y”) y aplicar las dos ecuaciones de equilibrio de partículas (?Fx = 0 y ?Fy = 0). Estudiando la tensión Ta ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) : Tax = (cos 53º)(Ta) = (0,6018)(Ta) = 0,6018 Ta (hacia la izquierda)(-)
Tay = (sen 53º)(Ta) = (0,7986)(Ta) = 0,7986 Ta (hacia arriba)(+)
Estudiando la Fuerza F ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
Esta tensión no tiene componentes en el eje Y, por lo tanto su componente en X será igual a su magnitud (F = Fx)
Estudiando la tensión W ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
Esta tensión no tiene componentes en el eje X, por lo tanto su componente en Y será igual a su magnitud (W = Wy = 80 N) Recuerde que se ha convenido asignar signo positivo a las fuerzas dirigidas hacia la derecha o hacia arriba, y signo negativo a las fuerzas dirigidas hacia la izquierda o hacia abajo. SFx = 0 – 0,6018 Ta + Fx = 0 ; Fx = 0,6018 Ta SFy = 0 + 0,7986 Ta – 80 = 0 ; 0,7986 Ta = 80 Ta = ; Ta = 100,18 N 53º W = 80 N
El valor del ángulo que se forma entre “Ta” y el eje X se calcula tomando en cuenta que la suma de los ángulos internos de un triangulo rectángulo es igual a 180º; luego : 180 – 90 – 37 = 53. F Ta Ejercicio 3 : equilibrio :
a
Solución :
EQUILIBRIODEPARTÍCULAS Ing.JoséLuisAlbornozSalazar -5- Este valor lo puedo introducir en la ecuación que me quedó indicada en la sumatoria de fuerzas horizontales (Fx = 0,6018 Ta) y obtendré el valor de la componente en X de la fuerza F. Fx = 0,6018 Ta ; Fx = (0,6018)(100,18) ; Fx = 60,29 ; F = 60,29 N Ejercicio 4 : Si W = 40 N en la situación de equilibrio de la figura adjunta, determine T1 y T2. 53º W = 80 N F = 60,29 N Como Fx = F
La solución gráfica será :
Ta = 100,18 N 60º W = 40 N
El problema se reduce a descomponer todas las fuerzas del sistemas en sus componentes perpendiculares (proyecciones sobre los ejes “X” e “Y”) y aplicar las dos ecuaciones de equilibrio de partículas (?Fx = 0 y ?Fy = 0).
Estudiando la tensión T1 ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
T1x = (cos 60º)(T1) = (0,5)(T1) = 0,5 T1 (hacia la izquierda)(-)
T1y = (sen 60º)(T1) = (0,866)(T1) = 0,866 T1 (hacia arriba)(+) T2 Solución :
Se construye el diagrama de cuerpo libre :
T1 70º 20º
Ing.JoséLuisAlbornozSalazar -6- Estudiando la tensión T2 ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) : T2x = (cos 20º)(T2) = (0,9397)(T2) = 0,9397 T2 (hacia la derecha)(+) T2y = (sen 20º)(T2) = (0,3420)(T2) = 0,3420 T2 (hacia abajo)(-)
Estudiando la tensión W ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) : Esta tensión no tiene componentes en el eje X, por lo tanto su componente en Y será igual a su magnitud (W = Wy = 40 N) Recuerde que se ha convenido asignar signo positivo a las fuerzas dirigidas hacia la derecha o hacia arriba, y signo negativo a las fuerzas dirigidas hacia la izquierda o hacia abajo. SFx = 0 – 0,5 T1 + 0,9397 T2 = 0 ; 0,9397 T2 = 0,5 T1 SFy = 0 + 0,866 T1 – 0,3420 T2 – 40 = 0 ; 0,866 T1 – 0,3420 T2 = 40 Con las dos ecuaciones obtenidas anteriormente se puede construir un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas y calcular los valores de “T1” y “T2”. EQUILIBRIODEPARTÍCULAS Utilizando el método de sustitución: Si 0,9397 T2 = 0,5 T1 ; ; T1 = 1,88 T2 Introduciendo este valor en la segunda ecuación :
0,866 T1 – 0,3420 T2 = 40
Tendremos (0,866)(1,88 T2) – 0,3420 T2 = 40 1,628 T2 – 0,3420 T2 = 40 ; 1,286 T2 = 40 : T2 = 31,10 N Como T1 = 1,88 T2 ; T1 = 1,88 (31,1) ; T1 = 58,47 N 60º W = 40 N T2 = 31,1 N La solución gráfica será :
T1 = 58,47 N 70º 20º
EQUILIBRIODEPARTÍCULAS Ing.JoséLuisAlbornozSalazar -7- Ejercicio 5 : En la figura siguiente, las poleas no presentan fuerza de fricción y el sistema cuelga en equilibrio. ¿Cuáles son los valores de los pesos W1 y W2 ?.
Solución : La primera consideración que debemos hacer en este tipo de problemas es recordar que cuando en las poleas no existe fricción o la misma es despreciable, la tensión en las cuerdas es la misma a ambos lados de ella. Luego, el diagrama de cuerpo libre puede ser construido de la siguiente manera : W1x = (sen 50º)(W1) = (0,766)(W1) = 0,766 W1 (hacia la izquierda)(-) W1y = (cos 50º)(W1) = (0,6428)(W1) = 0,6428 W1 (hacia arriba)(+) Estudiando la tensión W2 ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
Esta tensión no tiene componentes en el eje X, por lo tanto su componente en Y será igual a su magnitud (W2 = W2y)
Estudiando la tensión W3 ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
W3x = (sen 35º)(W3) = (0,5736)(200) = 114,72 N (hacia la derecha)(+)
W3y = (cos 35º)(W3) = (0,8192)(200) = 163,83 N (hacia arriba)(+)
Recuerde que se ha convenido asignar signo positivo a las fuerzas dirigidas hacia la derecha o hacia arriba, y signo negativo a las fuerzas dirigidas hacia la izquierda o hacia abajo. SFx = 0 – 0,766 W1 + 114,72 = 0 ; 114,72 = 0,766 W1 ; W1 = W1 = 150 N
SFy = 0
+ 0,6428 W1 – W2y + 163,83 = 0
Como ya conocemos el valor de W1, lo podemos introducir en la ecuación : (0,6428)(150) – W2y + 163,83 = 0 ; 96,42 – W2y + 163,83 = 0 260,25 – W2y = 0 ; W2y = 260,25 W2 El problema se reduce a descomponer todas las fuerzas del sistemas en sus componentes perpendiculares (proyecciones sobre los ejes “X” e “Y”) y aplicar las dos ecuaciones de equilibrio de partículas (?Fx = 0 y ?Fy = 0). Estudiando la tensión W1 ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) : W3 = 200 N W1 50º 35º
EQUILIBRIODEPARTÍCULAS Ing.JoséLuisAlbornozSalazar -8- ; W2 = 260 N Como W2 = W2y
La solución gráfica será : W3 = 200 N W1 = 150 N 50º 35º
W2 = 260 N
Ejercicio 6 : Calcular el ángulo ? y la tensión en la cuerda W para que haya equilibrio sabiendo que M = 300 N y Q = 400 N :
Q
Solución :
La primera consideración que debemos hacer en este tipo de problemas es recordar que cuando en las poleas no existe fricción o la misma es despreciable, la tensión en las cuerdas es la misma a ambos lados de ella. Luego, el diagrama de cuerpo libre puede ser construido de la siguiente manera : ? M = 300 N
El problema se reduce a descomponer todas las fuerzas del sistemas en sus componentes perpendiculares (proyecciones sobre los ejes “X” e “Y”) y aplicar las dos ecuaciones de equilibrio de partículas (?Fx = 0 y ?Fy = 0).
Estudiando la tensión W ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
Wx = (sen ?)(W) (hacia la izquierda)(-)
Wy = (cos ?)(W) (hacia arriba)(+)
Estudiando la Fuerza M ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
Esta tensión no tiene componentes en el eje X, por lo tanto su componente en Y será igual a su magnitud (My = M = 300 N)
Estudiando la tensión V ( Descomponiéndola y proyectándola sobre los ejes “X” e “Y” por medio de relaciones trigonométricas simples) :
Esta tensión no tiene componentes en el eje Y, por lo tanto su componente en X será igual a su magnitud (Vx = V = 400 N = Q)
Recuerde que se ha convenido asignar signo positivo a las fuerzas dirigidas hacia la derecha o hacia arriba, y signo negativo a las fuerzas dirigidas hacia la izquierda o hacia abajo. V = Q = 400 N Se construye el diagrama de cuerpo libre :
W
EQUILIBRIODEPARTÍCULAS Ing.JoséLuisAlbornozSalazar -9- SFx = 0 – (W)(sen ?) + 400 = 0 ; (W)(sen ?) = 400 SFy = 0 + (W)(cos ?) – 300 = 0 ; (W)(cos ?) = 300 El ángulo se puede calcular con la tangente: tg ? = ? = Arctg = 53º (W)(sen ?) = 400 ; W = ; W = (W)(cos ?) = 300
Igualando estos dos valores de W : = ; = ? V = Q = 400 N Wx = 400 N M = 300 N
La magnitud de W se calcula como la raíz cuadrada de la suma de los componentes al cuadrado (teorema de Pitágoras) :
= 500 N Con estos valores puedo graficar el equilibrio, faltando solamente calcular el ángulo (como lo hicimos en la guía de FUERZA RESULTANTE).
W Wy = 300 N ? M = 300 N V = Q = 400 N W.cos ? W.sen ? Otra manera de enfocarlo pudo ser :
W 53º M = 300 N V = Q = 400 N Por relación trigonométrica 1,33 = tg ? ; luego ? = 53º
La solución gráfica será :
W = 500 N