Análisis de errores e incertidumbres en la medición

En la medición científica se pueden conocer dos tipos de números exactos e inexactos.

Los números exactos, son aquellos que presentan valores enteros o definidos. Por ejemplo: cuando usamos la unidad metro encontramos que tiene exactamente 100 cm, de igual manera en un kilómetro hay 1000 m, en una semana hay 7 días, en una hora hay 60 minutos, etcétera. En todos ellos hay una cantidad exacta.

Los números inexactos son el resultado de las mediciones. Sus valores presentan alguna incertidumbre, debido a errores en el proceso de medición.

Los errores de acuerdo a las causas que los originan se clasifican en: sistemáticos y accidentales o aleatorios.

Cuando se realiza una medición hay errores que afectan a la medida. Si se mide la longitud de una varilla metálica con una regla, se obtiene una cierta cantidad, pero si la longitud de la varilla cambia por efecto de la temperatura, cuándo se mida nuevamente se obtendrá una cantidad diferente, lo que introduce a un error. A este tipo de errores se les denomina errores accidentales o aleatorios y son el resultado de la suma de diversas perturbaciones cambiantes que se combinan de tal manera que cada vez que se mide se obtienen valores distintos.

Los errores sistemáticos e pueden corregir o evitar. Cuando se presentan hacen que los valores en las mediciones sean mas altos o más bajos.

Los errores sistemáticos se originan a causa de:

• Defecto en los instrumentos de medición o falta de calibración de los mismos.

• La forma inapropiada de observar al hacer la medición.

La causa de otros errores está en la forma como se mida o en defectos de los instrumentos de medición, estos errores se llaman errores sistemáticos. Ejemplo, si en la escala que se utilizó para construir una determinada serie de lápices, se cometió un error de una división más grande que las otras, este error afecta todas las mediciones que se lleven a cabo con este instrumento y toda esa serie de lápices saldrá con error.

Errores por imperfección humana

Otro factor que puede impedir llegar al verdadero valor de una magnitud en una medición es la imperfección humana.

La medición es una actividad que trae consigo errores inherentes a la condición humana. Entonces, podemos decir que los errores en la medición abundan y son considerados normales. Sabemos que difícilmente podemos llegar a conocer el valor real de una magnitud, y uno de los motivos que se pueden impedir en determinado momento lograrlo son precisamente los errores en la medición.

Los errores accidentales en la medición se dan en muchas ocasiones por deficiencias en la persona que hace la medición. Por falta de talento para realizarla, por el cansancio que puede tener al llevarla a cabo, por la falta concentración debida a preocupaciones u otros distractores, o por defectos físicos como mala vista, etc. Pero se pueden contrarrestar al hacer muchas mediciones y calcular un promedio.

En cuanto a la manera de estimar el valor de un error, éstos pueden ser: error absoluto y error relativo.

El error absoluto es la diferencia entre el valor verdadero de una magnitud y el valor medido. Por ejemplo: si el valor de una longitud medida es de 30 cm, pero su valor verdadero es de 29.8 cm, el error absoluto es igual a: 30 cm menos 29.8 cm = 0.2 cm.

El valor relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor verdadero. Error relativo = error absoluto/ valor verdadero.

La influencia de algunos factores puede provocar errores e incertidumbre en las mediciones.

Error de paralaje

Es el error humano. Generalmente se comete por no colocar en posición adecuada el ojo humano.

Error por limitaciones instrumentales o por el aparato de medida

Los instrumentos tienen sus limitaciones propias. Algunas son obvias, como el caso de las reglas de madera barata, donde uno puede ver que las divisiones no están espaciadas uniformemente.

Los instrumentos varían en forma notable en calidad; algunos son hechos con mejor diseño y mano de obra que otros. Lógicamente existirán unos más precisos y exactos que otros.

Por ejemplo, las platinas de algunos microscopios se mueven rotando un tornillo calibrado; cada vuelta completa corresponde a un cierto movimiento de la platina.

La exactitud de la medida hecha en tales instrumentos depende de la uniformidad de la rosca del tornillo.

De manera indudable en ocasiones un científico tiene que asegurarse, en primera instancia, de la calidad de los instrumentos que necesita, para ver si le dan la exactitud necesaria en la tarea que tiene en sus manos.

Error por Influencias Extrañas

Impurezas

Después de investigar las propiedades de una sustancia, un químico puede descubrir que sus conclusiones son totalmente inválidas, por la presencia de algunas impurezas en la muestra que está analizando.

Las corrientes de aire

En ocasiones un experimento nos da el resultado esperado debido a que lo que se está midiendo por algún otro factor que está presente. Por ejemplo, la lectura de una balanza no sólo depende del peso en el platillo, sino también de alguna corriente de aire que haya en el lugar.

La temperatura

Si usamos una regla de acero para medir la longitud de un cuerpo, podemos dudar de la exactitud de la lectura, ya que la longitud de la regla puede haber cambiado si la temperatura en el momento de hacer la medida no es la misma que la temperatura que había cuando se grabó la regla.

Humedad

Es otro factor que altera los resultados, ya que ciertos materiales absorben la humedad del medio ambiente, como la madera, por lo tanto, una regla de madera se afectaría.

Incertidumbre

Al hacer el análisis de los posibles errores, se puede apreciar que en el campo experimental se trabaja con ciertos rangos de incertidumbre, que se pueden superar con algunos mecanismos técnicos. Es el error que se obtiene al hacer una lectura en un instrumento por sus unidades métricas. Ejemplo si se utiliza una regla con divisiones hasta de 1 mm al medir se pudo cometer el error de mas o menos 1 mm, el cuál se llama error absoluto, pero como las longitudes no son iguales la proporción de la incertidumbre es diferente por cada lectura de medición que se haga.

Medidas de un borrador

Largo = 13.2 cm + 1 mm

Ancho = 4.6 cm + 1 mm

Altura = 1.8 cm + 1 mm

Para medir mejor la incertidumbre se calcula el valor relativo y consiste en dividir el error absoluto entre la longitud tomando los datos del ejemplo anterior

Medida Error relativo

13.2 cm = 0.1 cm / 13.2 cm = 0.0075

4.6 cm = 0.1 cm / 4.56 cm = 0.021

1.8 cm = 0.1 cm / 1.8 cm = 0.05

Para calcular el porcentaje de incertidumbre se multiplica el error relativo por 100 entre 1

0.0075 x 100 = .745 %

1

0.021 x 100 = 2.1%

1

0.05 x 100 = 5.0%

1

Cabe aclarar que la medición que equivale a contar, no tiene error por lo que al numerar no existe error fortuito o accidental, es decir, el que se debe al descuido o impericia del observador, a la imperfección del instrumento o a la incorrecta aplicación del método.

 La notación científica es un recurso matemático empleado para simplificar cálculos y representar en forma concisa números muy grandes o muy pequeños. Para hacerlo se usan potencias de diez.

Básicamente, la notación científica consiste en representar un número entero o decimal como potencia de diez.

En el sistema decimal, cualquier número real puede expresarse mediante la denominada notación científica.

Para expresar un número en notación científica identificamos la coma decimal (si la hay) y la desplazamos hacia la izquierda si el número a convertir es mayor que 10, en cambio, si el número es menor que 1 (empieza con cero coma) la desplazamos hacia la derecha tantos lugares como sea necesario para que (en ambos casos) el único dígito que quede a la izquierda de la coma esté entre 1 y 9 y que todos los otros  dígitos aparezcan a la derecha de la coma decimal.

Es más fácil entender con ejemplos:

732,5051  = 7,325051 • 102  (movimos la coma decimal 2 lugares hacia la izquierda)

-0,005612  =  -5,612 • 10-3  (movimos la coma decimal 3 lugares hacia la derecha).

Nótese que la cantidad de lugares que movimos la coma (ya sea a izquierda o derecha) nos indica el exponente que tendrá la base 10 (si la coma la movemos dos lugares el exponente es 2, si lo hacemos por 3 lugares, el exponente es 3, y así sucesivamente.

 Otro ejemplo, representar en notación científica: 7.856,1

1. Se desplaza la coma decimal hacia la izquierda, de tal manera que antes de ella sólo quede un dígito entero diferente de cero (entre 1 y 9), en este caso el 7.

7,8561

La coma se desplazó 3 lugares.

2. El número de cifras desplazada indica el exponente de la potencia de diez; como las cifras desplazadas son 3, la potencia es de 103.

3. El signo del exponente es positivo si la coma decimal se desplaza a la izquierda, y es negativo si se desplaza a la derecha. Recuerda que el signo positivo en el caso de los exponentes no se anota; se sobreentiende.

Por lo tanto, la notación científica de la cantidad 7.856,1 es:

7,8561 • 103

Operaciones con números en notación científica

Multiplicar

Para multiplicar se multiplican las expresiones decimales  de las notaciones científicas y se aplica producto de potencias para las potencias de base 10.

Ejemplo:

(5,24  • 106) • (6,3  •  108)  = 5,24 • 6,3  • 106 + 8  = 33,012 •  1014  =  3,301215

Veamos el procedimiento en la solución de un problema:

Un tren viaja a una velocidad de 26,83 m/s, ¿qué distancia recorrerá en 1.300 s?

1. Convierte las cantidades a notación científica.

26,83 m/s  = 2,683 • 101  m/s

1.300 s  = 1,3 • 103  s

2. La fórmula para calcular la distancia indica una multiplicación: distancia (d)  = velocidad (V)  x tiempo (t).

d = Vt

Reemplazamos los valores por los que tenemos en notación científica

d = (2,683 • 101  m/s) • (1,3 • 103 s)

3. Se realiza la multiplicación de los valores numéricos de la notación exponencial,

(2,683 m/s) x 1,3 s  =  3,4879 m.

4. Ahora multiplicamos las potencias de base 10. Cuando se realiza una multiplicación de potencias que tienen igual base (en este caso ambas son base 10) se suman los exponentes.

(101) • (103)  = 101+3  =  104

5. Del procedimiento anterior se obtiene:

3,4879  •  104

Por lo tanto, la distancia que recorrería el ferrocarril sería de

3,4879  • 104  m

La cifra 3,4879 •  10 elevado a 4 es igual a 34.879 metros. 

Dividir

Se dividen las expresiones decimales de las notaciones científicas y se aplica división de potencias para las potencias de 10. Si es necesario, se ajusta luego el resultado como nueva notación científica.

Hagamos una división:

Suma y resta 

Si tenemos una suma o resta (o ambas) con expresiones en notación científica, como en este ejemplo: 

5,83 • 109 - 7,5 • 1010  +  6,932 • 1012  = 

lo primero que debemos hacer es factorizar, usando como factor la más pequeña de las potencias de 10, en este caso el factor será 109 (la potencia más pequeña), y factorizamos:

 109 (5,83  – 7,5 • 101  + 6,932 • 103) = 109 (5,83  -  75  +  6932)  = 6.862,83 • 109

Arreglamos de nuevo el resultado para ponerlo en notación científica y nos queda: 

6,86283 • 1012,  si eventualmente queremos redondear el número con solo dos decimales, este quedará 6,86 • 1012.

Ver: PSU: Matemática, Pregunta 06

Potenciación

Si tenemos alguna notación científica elevada a un exponente, como por ejemplo

(3 • 106)2

¿qué hacemos?

Primero elevamos (potenciamos) el 3, que está al cuadrado (32) y en seguida multiplicamos los exponentes pues la potencia es (106)2, para quedar todo:

9 • 1012

EJERCICIOS CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y NOTACION CIENTIFICA

Decir cuantas cifras significativas tiene cada número

• 7,65___________

• 658.3__________

• 523___________

• 0.924__________

• 0.000235_______

• 0.02876________

• 5.3600_________

• 8.2035_________

Representar el número con el exponencial indicado:

45698

_______________x10-3

______________________x102

0.0002876

______________x10-2

______________x105

2.34

_____________x106

___________________x10-4

Dado el número colocar el respectivo exponencial

478

0.000478×10

47800×10

0.002498

24.98×10

0.2498×10

5.146

0.5146×10

5146×10

Enviado por:

Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.

"NO A LA CULTURA DEL SECRETO, SI A LA LIBERTAD DE INFORMACION"®

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Santiago de los Caballeros,

República Dominicana,

2015.

"DIOS, JUAN PABLO DUARTE Y JUAN BOSCH – POR SIEMPRE"®