Ecuaciones diferenciales homogéneas de orden superior con coeficientes constantes

Ecuaciones diferenciales homogéneas de orden superior con coeficientes constantes

Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:

En donde si la ecuación diferencial se denomina homogénea, pero si entonces la ecuación diferencial se denomina no homogénea.

Principio de Superposición o linealidad

Sean soluciones de una ecuación diferencial homogénea de orden n, entonces la combinación lineal de estas es:

También es solución de dicha ecuación diferencial

Dependencia e Independencia lineal

Se dice que las funciones son linealmente independientes si la única solución de la ecuación

Donde

En caso contrario, es decir, si alguna de las constantes no es nula, las funciones son linealmente dependientes.

Wronskiano

Es una función, cuyo nombre se debe al matemático polaco Josef Hoene-Wronski, especialmente importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales. El Wronskiano se obtiene al resolver el determinante que está conformado por un conjunto de funciones y sus derivadas. Supongamos que las funciones poseen al menos derivadas, entonces el Wronskiano está dado por:

Para el caso de tres funciones

Uno de los usos más importantes del Wronskiano en las ecuaciones diferenciales es el de verificar si un conjunto de soluciones es linealmente independiente o no.

Dado un conjunto de soluciones de una ecuación diferencial homogénea de orden n, dicho conjunto de soluciones es linealmente independiente si y solo si, en algún punto de un intervalo se cumple que

Ejemplo ilustrativo

Determine, mediante el Wronskiano, si las funciones dadas son linealmente independientes o linealmente dependientes en el intervalo

Remplazando valores en

Se tiene

Resolviendo el determinante de orden 3 por el método de Sarrrus

Comoentonces, las funciones son linealmente independientes

Una ecuación diferencial homogénea de orden superior tiene la forma:

Y tiene como solución general la función por lo tanto su ecuación auxiliar viene dada por:

Estas ecuaciones puede generar muchas combinaciones, sin embargo, se presentan tres casos que ayudarán en la resolución de las mismas.

1) Primer Caso: Múltiples raíces diferentes

Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son reales diferentes, es decir entonces la solución general tiene la forma

2) Segundo Caso: Múltiples raíces iguales

Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son reales e iguales, es decir entonces la solución general tiene la forma

3) Tercer Caso: Múltiples raíces iguales

Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son conjugadas complejas, es decir,

es una raíz compleja de multiplicidad k, y sus raíz conjugada también es una raíz compleja de multiplicidad k, entonces con base en 2k soluciones complejas se tiene como solución general

Ejemplos ilustrativos

1) Resolver

Solución:

La ecuación auxiliar es:

Factorando se tiene

Las raíces son

Entonces la solución general es

Graficando para valores arbitrarios se obtiene:

2) Comprobar que es la solución de

Solución

Calculando la primera derivada de

Calculando la segunda derivada

Calculando la tercera derivada

Remplazando valores en

Como se quería comprobar

3) Encontrar la ecuación diferencial cuya solución es:

Solución:

Se observa que

Entonces

Por lo tanto al eliminar los paréntesis se obtiene la ecuación auxiliar

Entonces la ecuación pedida es