El problema de la comprensión de lo infinito ha suscitado inquietudes desde la antigüedad. Ya Zenón de Elea, filósofo de antes de nuestra era, se preguntaba: ¿Cómo es que la suma de infinitos números positivos puede arrojar un número finito? El razonaba de la siguiente forma: Supongamos que Aquiles corre por el estadio. Antes de llegar al final, tiene recorrer la primera mitad, de donde le resta una mitad. Para recorrer esta mitad, primero tiene que recorrer la mitad de la mitad que le resta. De donde le resta un cuarto del estadio. Pero antes de recorrer esta cuarta parte, tiene que recorrer su mitad. Y así sucesivamente. En fin, razonaba él, siempre le queda algo por recorrer.
Zenón no negaba que Aquiles llegase al final del estadio. Él lo que intentaba señalar la dificultad racional para comprender el hecho. Lo que Zenón afirma es que la carrera de Aquiles se puede representar por la serie numérica
½ + ¼ + 1/8 + 1/16 + …
Donde cada sumando expresa la parte del estadio que Aquiles va recorriendo. Como puede apreciarse, se trata de infinitos términos. En siglos pasados, los matemáticos empezaron a pensar que se podía hacer extensivo el concepto de suma a las series de este tipo. La teoría de series y sucesiones resolvió el problema, al descubrir que las series convergentes pueden tener suma finita. En este caso, la serie de Zenón tiene suma igual a 1.
Como puede verse, Zenón se equivoca. Su tesis de que la suma de infinitos números positivos no puede dar un número finito positivo, es falsa. Pero, a pesar de que las matemáticas resolvieron el problema concreto que Zenón plantea, los matemáticos actuales siguen discutiendo acerca de la naturaleza de la infinitud, en este caso matemática. Así, por ejemplo, la matemática constructivista niega que se pueda tomar la ley del tercero excluido de la lógica en las operaciones con los conjuntos infinitos, y discuten en torno a la naturaleza de los conjuntos potencial y actual. Estas discusiones están relacionadas con el descubrimiento de paradojas en la teoría de conjunto, base de las matemáticas actuales, en particular con el análisis del concepto "conjunto de todos los conjuntos, que no se contienen a sí mismos en calidad de elemento".
Tratemos de aclarar qué relación hay entre los conceptos de infinitud, conjunto y, en particular, con el concepto "conjunto de todos los conjuntos, que no se contienen a sí mismo en calidad de elemento".
Comúnmente, se piensa que los objetos matemáticos, tales como los números, expresan sólo la cantidad, y que no tienen que ver con la diversidad cualitativa del mundo. Las matemáticas (y la lógica matemática en parte) se abstraen de la diversidad cualitativa del mundo, pero esta abstracción no es absoluta. En el número y en el concepto "elemento" está contenida la calidad en forma abstracta.
¿Qué es "1"? Es la unidad. ¿Qué es "2"? Es dos unidades. Pero, ¿Qué es una unidad? Una determinación cuanticualitativa de la realidad. "1", "2", "3", etc., se refieren a unidades cuanticualitaticas, es decir, a objetos de la realidad; en el lenguaje de la teoría de conjuntos, se refiere a elementos del mundo. Con los números 1, 2, 3,… estamos contando objetos de la realidad, elementos del conjunto de la realidad, determinaciones cualitativas. En el número nos abstraemos de la calidad concreta, pero no de la abstracta. "1" es una unidad de una calidad X. "2" es una calidad X y otra calidad Y. Claro que aquí, al decir "X" y" Y" nos estamos refiriendo a calidades que todavía son concretas, pero son menos concretas que cuando decimos "una manzana" y "una naranja". Cuando decimos "1" nos abstraemos de que sea X o Y, nos abstraemos de todo lo concreto que puede haber en la unidad en cuestión. Pero "1" tiene la calidad de ser 1, es decir, la calidad "1". Por tanto, las matemáticas se abstraen de la calidad concreta de la realidad pero estudian la calidad de la realidad de forma abstracta. No pueden deshacerse del todo de la calidad. En el número está instalada la calidad.
Al estudiar el número, y los conjuntos de números, los matemáticos, y con ellos las matemáticas, estudian la calidad. La infinitud matemática se refiere, entonces, a la infinitud cuanticualitativa del mundo. La calidad es idéntica al ser. Una cosa es lo que es en virtud de su calidad. Al perder su calidad deja de ser lo que es. Pero la calidad no puede existir al margen de la cantidad. De la misma forma que, como vimos anteriormente, la cantidad no puede existir al margen de la calidad. Las matemáticas lo que hacen es abstraerse de la calidad concreta y estudiar la cantidad en su unidad abstracta con la calidad. La infinitud matemática, la infinitud en los conjuntos de sus elementos y en los números, se refieren a la infinitud del mundo y a los objetos de este mundo.
Es reconocido, por casi todos, que el mundo es infinito, que el conjunto de elementos que forman el mundo es infinito. Esto hace que el proceso del conocimiento, el reflejo del mundo en el pensamiento, sea infinito también. Pero, ¿qué significa la tesis de que el mundo es infinito? A veces, se nos dice que el mundo es infinito en el espacio y en el tiempo. Estas tesis no son del todo exactas, o no expresan adecuadamente lo que queremos decir.
Son las cosas (los objetos o elementos) los que pueden ser o no ser infinitos en el espacio y eternos ("infinitos", si se quiere decir así) en el tiempo. Paro, ¿son el espacio mismo infinito y el tiempo mismo eterno (infinito)? No. Ser infinito, en el sentido más amplio de la palabra, es no tener un comienzo y no tener un final. Sabemos que el Universo (el universo en que vivimos) tiene un comienzo, que surgió hace unos 14 mil (o quizás un poco más) millones de años. Y sabemos que este universo (en el que vivimos) está acotado espacialmente, es decir, que espacialmente tiene un comienzo y un final. El Universo (el universo en que vivimos) surgió como tiempo, como espacio, como materia, como movimiento, etc., de un huevo primigenio en una gran explosión. Por tanto, el Universo no es infinito. Y, con él, no es infinita ni la materia, ni es infinito el tiempo, el espacio, el movimiento, etc.
No hay que ser físico para llegar a esta conclusión. Si estamos en el "ahora" (es decir, en el presente actual), es porque partimos de un punto. No se puede llegar, si no se parte, es decir, si no se inicia el movimiento. Si el tiempo, digamos, fuera infinito mirando para atrás, no pudiéramos estar aquí ahora, pues nunca hubiésemos partido. Si el Universo está en el aquí y en el ahora, es porque tiene un comienzo en el tiempo y en el espacio. Kant se pierde en este análisis, llega a sus antinomias, porque partía de conceptos "abstractos" (para nuestra época) del tiempo y el espacio. Los consideraba infinitos.
¿En qué sentido, entonces, el mundo es infinito? En primer lugar, en el sentido de que es diverso de forma infinita en calidad; y, en segundo lugar, en el sentido en que es infinito en cantidad. Son la calidad y la cantidad las que pueden ser infinitas.
El universo en que vivimos, el Universo, es finito: finito en tiempo, en espacio, en movimiento, en materia (en el número y calidad de los átomos, digamos, que la conforman, en el número y calidad de objetos materiales que la integran, etc.), etc. Al mismo tiempo, al lado de este Universo, hay (deben haber) otros universos. Estos otros universos también serán finitos. El mismo número de universos es finito. Pero, al lado del número finito de estos universos, existirán otras cosas (que no son universos), que serán otros entes del mundo. Estos otros entes del mundo, que serán finitos también, junto con los universos, y otras cosas más y así y así, conforman la diversidad cualitativa infinita del mundo. El Mundo (la categoría "el mundo") se refiere a la infinitud en la diversidad de la calidad de la realidad.
Esta infinitud del mundo se da, al mismo tiempo, a través de la finitud. Una manzana concreta, digamos, es finita. Es finita en tiempo y en espacio, en masa, en energía, etc. La infinitud sólo puede darse a través de la finitud. Las cosas, los elementos que integran el mundo (las calidades) son todas finitas. La misma diversidad cualitativa del Universo es finita. Eso es lo que quiere decir, entre otras cosas, que el Universo es finito.
La finitud puede darse, a su vez, por medio de la infinitud. Una manzana concreta, digamos, se supone algo infinito. Se nos dice que es infinita en su diversidad cualitativa, que es infinita por el conjunto de propiedades y relaciones que tiene y entabla respectivamente, etc. Esta tesis supone que la manzana en cuestión es inagotable en su diversidad cualitativa. Pero esta tesis no es del todo exacta, o, mejor dicho, no expresa adecuadamente la realidad. Por más diversa que sea en sus elementos, la manzana es una cosa finita. En ella no está contenido el Mundo, ni incluso la materia. Puede no tener, digamos, átomos de plomo. La tesis de que en un punto está contenida toda la materia es sólo válida para cuando entendemos a la materia como la composición del punto en cuestión. En la manzana puede estar contenida la materia, porque la materia es un atributo de nuestro universo. Pero los elementos de otros universos pueden no estar contenidos en la manzana. Eso es lo que quiere decir que la manzana es finita.
Pero la manzana puede ser vista como una cosa infinita. Supongamos que nos queremos comer la manzana. Para comernos la manzana, la picamos en partes. Supongamos que actuamos así: Primero la picamos a la mitad, y nos comemos una mitad. Nos queda una mitad por comer. El segundo paso es picar la mitad, que nos queda, a la mitad, y comernos una de estas mitades, que ya son un cuarto de la manzana. Y así sucesivamente. Se comprenderá que nunca terminaríamos por comernos la manzana. Siempre nos quedaría una parte, por muy pequeña que fuera, por comer. En otras palabras, hemos dividido el objeto en partes infinitas.
Claro está, que llegado un punto en esta división, ya no operamos con la manzana, sino con átomos y partículas elementales, que no son ya la manzana. Pero en principio, el intervalo de espacio que representa la manzana, intervalo que es finito, lo podemos dividir en infinitas parte (subintervalos).
El espacio y el tiempo, sus intervalos, al ser continuos, se pueden dividir en infinitos subintervalos. Así es como Zenón divide el estadio que recorre Aquiles. Pero un intervalo de tiempo o de espacio es finito. Tienen un comienzo y un fin. Como intervalos, como calidades, son finitos. Por eso, el intervalo en cuestión, que es finito, se puede expresar de forma infinita, existe por medio de la infinitud.
Por tanto, la infinitud se da a través de la finitud de las calidades concretas que lo integran; la finitud, por medio de la infinitud. Cada calidad es finita, en el sentido que es concreta, es decir, en el sentido de que en ella entran estas o aquellas propiedades y relaciones pero no entran estas u otras propiedades y relaciones. Cada finitud (cada intervalo de espacio, por ejemplo) es infinito, en el sentido de que lo podemos descomponer en infinitas partes.
Pero el mundo es, también, infinito en cantidad. Cada calidad, por sí misma, como algo concreta, es una unidad. Para ser una calidad concreta hay que ser una unidad (un ente, un algo). La realidad está conformada por cosas singulares: una manzana, un universo, una piedra, etc. Lo general existe como un singular más. Las cosas generales son cosas generales y, al mismo tiempo, cosas singulares. Cada cosa singular es una unidad. Y como cosa singular es que es una calidad. Es decir, la singularidad aparece como la unicidad de la calidad. Por tanto, la calidad aparece como la unidad de cosas singulares, concretas. Pero si la diversidad cualitativa del mundo es infinita, entonces será infinita la serie de números con los que se enumeran estas cosas, estos elementos del conjunto Mundo, estas calidades.
El número es la primera determinación de la cantidad. La cantidad existe bajo la forma del número. Los números naturales, con los cuales contamos estas cosas, elementos, son infinitos porque infinitas son las cosas singulares, concretas, es decir, las unidades cualitativas de la realidad. Por el hecho de que las unidades cualitativas del mundo son infinitas es que infinita es la cantidad. Al reducir las cosas a iguales cantidades, es que las cosas aparecen como calidades infinitas. Y a la inversa: Al reducir las cosas a iguales calidades (es decir, al reducirlas por igual a unidades cualitativas) es que las cosas aparecen como distintas cantidades. La cantidad es lo que diferencia a dos cosas de igual calidad. La cantidad aparece, así, como la abstracción de la calidad.
Pero sólo, con relación a las calidades del Mundo, los números son infinitos; con relación a un universo, una realidad concreta son finitos. En cada realidad concreta la cantidad de las cosas singulares, al tomarlas en una relación, es finita. Pero el pensamiento hace abstracción de esta finitud, y piensa la infinitud. Piensa al mundo como lo infinito, infinito en calidad y infinito en cantidad.
Tomemos dos cosas de igual calidad. Tomemos, digamos, una manzana y otra manzana. Tenemos, así, dos manzanas: la manzana A y la manzana B. ¿Qué relación hay entre las dos manzanas? Como calidad "manzana" ambas cosas son iguales. Se diferencias, entonces, por la cantidad. Para establecer las diferencias cuantitativas entre la manzana A y la manzana B, hay que contraponerlas (de acuerdo a una propiedad, digamos que la masa): ver cuántas veces cabe la manzana A en la manzana B, como el que mide cuantas veces cabe el diámetro de una circunferencia en su perímetro.
La relación en que la manzana A cabe en B es concreta: ½, ¼, 3/2, etc. Pero es, además, continua. Como magnitud (gradación) aparece de forma concreta en un número. Pero los mismos números se mueven, como el que se mueve por una recta, de forma continua. Entre dos puntos, de esta recta digamos, siempre cabe un tercero, con lo que la gradación de los números es continua. Pero esta relación de cantidad, en la que A cabe en B, puede ser todo lo grande (el número) que se quiera.
Sólo ahora caemos en la cuenta que esta relación de cantidad es infinita también. Cada relación de cantidad en que un A cabe en un B es concreta, es decir, singular, es, en otras palabras, finita. Pero por principio, es todo lo grande que se quiera. Si contraponemos la masa del Universo a la de un átomo concreto de oxígeno, será un número muy, pero muy, grande. Pero será finito en última instancia. Pero el pensamiento hace abstracción, y supone la relación todo lo grande que se quiera. En el Mundo hay relaciones de cantidad (es decir, contraposiciones de este tipo) todo lo grande que se quiera. Es mundo porque es, entre otras cosas, infinito en cantidad. El Mundo (la categoría "el mundo") se refiere a la infinitud en la cantidad.
Esta forma en que el objeto A cabe en el objeto B es la medida. Medir es contraponer un objeto, que actúa en calidad de patrón, a otro, que es el que vamos a medir. La medida es la otra forma fundamental en que aparece la cantidad, en que se manifiesta. La medida es la segunda expresión fundamental de la cantidad.
¿Cuántos átomos de oxígeno caben en el Universo?, no lo sabemos. Pero de seguro existe la medida. La medida es la cantidad, el límite, dentro del cual en una calidad caben cambios cuantitativos, sin que estos cambios afecten la calidad en cuestión. Al acumularse unidades cuantitativas en un objeto (digamos, átomos de oxígeno en el Universo), llega un momento en que se sobrepasa la medida. Cuando esto ocurre, se rompe la unidad cualitativa vieja, y en su lugar surge una nueva calidad. La nueva calidad tiene, a su vez, una nueva medida, y así sucesivamente. Por tanto, la cantidad transita en calidad y viceversa. Este tránsito es el paso de lo viejo a lo nuevo, y ocurre como negación dialéctica.
¿Qué es, entonces, el Mundo? Es un conjunto infinitos de cosas, de infinitos elementos, cosas o elementos que son infinitos en calidad y en cantidad. ¿Y qué peculiaridad, singularidad tiene ese conjunto? ¿En qué se diferencia del resto de los conjuntos? Llevado al lenguaje de la teoría de conjuntos, en que es el conjunto de todos los conjuntos, que no se contienen a sí mismos en calidad de elemento.
Los matemáticos, al estudiar los conjuntos y desarrollar su teoría, han llegado a la comprensión (elaboración, construcción) del conjunto general: el conjunto de todos los conjuntos, que no se contienen a sí mismos en calidad de elemento. Este conjunto general es una generalización del mundo. El concepto de conjunto es un enfoque matemático del estudio de la calidad y la cantidad. El conjunto y sus elementos es una abstracción de la realidad, es la abstracción de lo concreto, lo singular en la calidad y la cantidad. Ser un elemento de un conjunto es ser una determinación cuanticualitativa de la realidad.
Los conjuntos pueden ser finitos e infinitos, es decir, tener un número finito de elementos o tener un número infinito. El elemento, del conjunto, es la unidad de la cantidad y la calidad, unidad que puede ser representada, a su vez, como algo finito o infinito. Por tanto, los conjuntos infinitos son relativos al Mundo y a los objetos de este mundo. Hablan de la infinitud de la calidad y cantidad del Mundo y de los objetos de este mundo. Hay, entonces, dos formas de la infinitud. La primera se refiere a la infinitud del mundo en calidad y cantidad, y la segunda se refiere a la infinitud de los objetos de este Mundo.
Un intervalo de espacio o de tiempo, que es un elemento más de un conjunto, es finito. Este finito, el pensamiento lo puede trocar en infinito. El estadio (el espacio), que recorre Aquiles, es finito. Pero Zenón lo divide en infinitas partes. La sucesión de Zenón, es decir: ½, ¼, 1/8, …, es infinita. Es, por tanto, un infinito. Pero es un conjunto. De donde, la finitud de un intervalo de espacio se puede expresar por un conjunto infinito de intervalos. También el tiempo que demora Aquiles en recorrer el estadio es finito. Digamos que puede demorar 5 minutos. Pero, también, se puede dividir en infinitas partes, y, por tanto, expresar en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Es, por tanto, un conjunto de infinitas partes.
Se comprenderá que aquí se trata de la posibilidad que tiene el pensamiento de dividir el intervalo de tiempo o el intervalo de espacio en infinitas partes, posibilidad que se da por la realidad que tienen (el tiempo y el espacio) de ser divisibles de forma infinita. El tiempo y el espacio son finitos, en tanto que son formas de existencia de la materia, es decir, en la medida que son calidades de nuestro Universo. Como las calidades: la calidad "tiempo" y la calidad "espacio", son finitos. Pero, por cuanto son continuos, unas cantidades finitas de tiempo o de espacio: un intervalo de ellos, lo podemos dividir en infinitas partes.
Las series convergentes, como sucesiones de sumas parciales, es decir, como conjuntos, se refieren a conjuntos infinitos, que son, por principio, finitos. Es decir, se refieren a intervalos de tiempo y de espacio, que como intervalos son finitos, pero que hemos dividido en infinitas partes. Por ejemplo, la serie 1 + ½ + ¼ + 1/8 + … es convergente. Su suma es 2. ¿Qué sentido matemático tiene este "2"?, que se refiere, por ejemplo, a dos estadios.
La distinción, entonces, entre series convergentes y series divergentes se refiere a la distinción entre el infinito, relativo a los objetos de este mundo, y el infinito, relativo al Mundo. O, más exactamente, el infinito del mundo en calidad y cantidad es un infinito, que llevado al lenguaje de las series, es divergente. Un infinito convergente se refiere a un objeto (intervalo de espacio, etc.) finito. El hecho de tener suma finita nos enseña que se trata de algo concreto y singular. La serie que se forma, al hacer las sumas parciales de la sucesión, que se forma al contar los objetos del mundo, es divergente. 1+2+3+4+…+ n + … es una serie divergente. La divergencia de las series se refiere, preferentemente, a objetos, que expresan la infinitud del mundo. Por eso es que hay series que tienen suma finita y hay otras que no tienen suma o que su suma es un infinito.
¿Cómo es que existe, entonces, esta infinitud del mundo: como actual o como potencial? En las dos formas.
Suponer la infinitud como actual o como potencial es introducir las nociones de tiempo y de espacio en su comprensión. Cuando formamos un conjunto infinito, como el de los números naturales, bajo el principio, digamos, de que 1 es 0+1 y 2 es 1+1 y que 3 es 2+1 y así sucesivamente, formamos un conjunto en el cual hemos introducido el factor tiempo. Cuando, por el contrario, formamos un conjunto infinito, como el de los números reales, digamos que se encuentran entre el número 0 y el número 1, lo consideramos, digamos en la recta numérica situada en el plano, como algo espacial. La primera "construcción" es "potencial"; la segunda, "actual". En la primera, las cosas aparecen paso a paso, paulatinamente; en la segunda, dadas de golpe, hechos al mismo tiempo. Pero el tiempo y el espacio son formas generales del ser de nuestro universo, y no del Mundo. Los conjuntos infinitos relativos al Mundo no existen en tiempo y espacio. Por tanto, el tiempo y el espacio son formas de la materia, que el sujeto que "comprende" el conjunto infinito, proyecta al objeto.
Se puede contar, con el auxilio de los números naturales, sucesivamente en el tiempo las distintas calidades. Pero este conteo nunca va a ser infinito. Siempre será, por muy largo que sea, finito. Cuando pasamos a la infinitud, hacemos una abstracción. De igual forma, podemos juntar números, con el auxilio del acto de medir la relación de la medida entre dos objetos, en un segmento del espacio. Pero este conjunto nunca va a ser infinito. Siempre será, por muy amplio que sea, finito. Y cuando posamos a la infinitud, hacemos una abstracción. Se puede contar la calidad y se puede medir la calidad. En el primer caso, estamos ante los conjuntos potenciales; en el segundo, ante los conjuntos actuales. Por tanto, en los conjuntos infinitos actuales y potenciales, el sujeto proyecta las categorías del tiempo y del espacio.
Pero, se preguntará el lector, ¿cómo es que existe la infinitud del mundo si no existe ni en tiempo ni en espacio?, como una contradicción, pero no lógico-formal. La infinitud del mundo se expresa, en el lenguaje de la teoría de conjunto, en la infinitud del conjunto de todos los conjuntos, que no se contienen a sí mismo en calidad de elemento. Es infinito este conjunto, porque es el conjunto de todos los conjuntos; y en el universo hay infinitos conjuntos.
Y es una contradicción porque, por cuanto es el conjunto de todos los conjuntos, que no se contienen a sí mismo en calidad de elemento, de no contenerse a sí mismo, debía contenerse. Por cuanto es el conjunto de todos los conjuntos, debía contenerse. Por otra parte, de contenerse, no debía contenerse, por cuanto es el conjunto de todos los conjuntos, que no se contienen en calidad de elemento. De donde, si no se contiene, debía contenerse; pero, si se contiene, no debía contenerse. Esto es una contradicción.
Notemos que el pensamiento, el pensar, la mente, el Yo, es un conjunto que se contienen a sí mismo en calidad de elemento. El Yo, la mente, el pensar (es decir, estos objetos ideales) pueden contenerse a sí mismos en calidad de elemento sin entrar en contradicción. Al formar un conjunto de cosas (estrellas, digamos), la naturaleza del conjunto difiere de la naturaleza de lo que integra el conjunto, es decir, de la naturaleza de los elementos. El pensamiento, la mente, el Yo, en cambio, pueden pensarse a sí mismo, con lo que se hacen contenido de sí mismos.
Por eso, el conjunto, que no se contiene a sí mismo en calidad de elemento, se refiere a cosas, a elementos del mundo, y no a ideas. Llamemos "normal" este tipo de conjunto y "anormal" al conjunto que se contiene como elemento.
Formemos, por ejemplo, el conjunto de todas las abstracciones. Si este conjunto lo consideramos una abstracción (una idea) más, entonces entra como elemento al conjunto en cuestión. Pero si consideramos al conjunto no como abstracción (no como idea), sino como una cosa, entonces, al no ser una abstracción, no entra al conjunto en cuestión en calidad de elemento. De donde, el que sea cosa o idea es lo que lo hace que no entre o que entre respectivamente.
Veamos más a fondo la contradicción, que alberga el conjunto de todos los conjuntos, que no se contienen en calidad de elemento, es decir, el conjunto de todos los conjuntos normales. Este conjunto, decíamos, es el conjunto general, es decir, el mundo en general, visto desde el lenguaje de la teoría de conjunto.
Notemos que es general porque es la forma más general de conceptualizar el ser desde el lenguaje de la teoría de conjunto. Si un conjunto se contiene a sí mismo en calidad de elemento, es decir, si es anormal, entonces se refiere a una forma del pensamiento. Si, por el contrario, no se contiene, si es normal, entonces se refiere a una forma del ser. El conjunto de todos los conjuntos normales será, entonces, la forma más general del ser. No hay un conjunto normal más amplio que este.
Supongamos que el mundo se contiene. En tal caso no podemos suponer que no se contiene. La tesis es que se contiene. ¿Qué es lo que sucede?, que no debía contenerse. La contradicción es entre la realidad ontológica consistente en contenerse y la realidad deontológica de no deber contenerse. Supongamos, entonces, que no se contiene. En tal caso, no podemos suponer que se contiene. La tesis es que no se contiene. ¿Qué es lo que sucede?, que entra, esta tesis, en contradicción con la del debe ser, es decir, con la tesis de que debía contenerse. De nuevo, aquí, la contradicción es entre la realidad ontológica y la deontológica. Pero las contradicciones entre el ser y el debe ser no son de incumbencia de la lógica formal. Esta contradicción es dialéctica, no es lógico formal. Las contradicciones lógico-formales que hay que vetar son las del ser, las ontológicas.
Pero, se preguntará el lector, ¿se contiene o no se contiene? La respuesta es muy sencilla: Si se contiene, entonces no es verdad que no se contiene. Pero, por cuanto está en contradicción con el debe ser, pasa –como pasa, cambia, el agua de estado líquido a estado gaseoso- a no contenerse. Es decir, cambia la infinitud (el mundo) de contenerse a no contenerse. Y cuando no se contiene, cuando no es verdad que se contiene, entonces cambia la infinitud, es decir, pasa a contenerse. Y cambia porque está en contradicción con el debe ser. Por tanto, la infinitud (el mundo) está en constante cambio: pasando de contenerse a no contenerse y viceversa. Y lo hace según la ley del tránsito de la cantidad en calidad. Es un proceso de negación dialéctica. Cada vez que cambia en calidad, estamos ante una nueva calidad, nueva calidad que tiene una nueva medida. Es decir, estamos ante un nuevo mundo. Y así sucesivamente. La fuente de este movimiento es la contradicción entre el ser y el debe ser.
Desde este punto de vista, la ley del tercero excluido rige con todo fuerza en la consideración del mundo como conjunto. El Mundo, la infinitud, se contiene o no se contiene. Cuando se contiene (a sí mismo en calidad de elemento), está cambiando en dirección a no contenerse, es decir, está evolucionando. Al pasar cierto tiempo, al acumularse la cantidad y sobrepasar la medida, revoluciona; y pasa a no contenerse. Entonces no se contiene. Pero, cuando no se contiene, está evolucionando hacia contenerse, está cambiando, por cuanto está en contradicción con el debe ser. Al pasar cierto tiempo, al acumularse la cantidad y sobrepasar la medida, una vez más revoluciona; y pasa a contenerse; y así sucesivamente. Por tanto, se contiene o no se contiene.
Tenemos, así, que el Mundo está en constante movimiento. La fuente de este movimiento es la contradicción entre su ser y su debe ser. El movimiento real del mundo es la manifestación de esta contradicción real. El movimiento real del mundo es la forma real de solución de esta contradicción.
Las matemáticas, y con ella los matemáticos, al pensar la infinitud del mundo, por medio del concepto "conjunto de todos los conjuntos, que no se contienen a sí mismo en calidad de elemento", es decir, por medio del concepto "conjunto de todos los conjuntos normales" han encontrado una contradicción dialéctica, y la identificado con una contradicción lógico-formal. Con ello, han eliminado la diferencia entre ambas contradicciones, cometiendo un error metodológico.
Este supuesto, el anterior (de que el mundo está en constante cambio de contenerse a no contenerse y viceversa), da por sentado que el mundo (la infinitud) está en movimiento. El movimiento, junto con el espacio y el tiempo –pues no se puede entender el movimiento sin el espacio y el tiempo-, son atributos de la materia, de nuestro universo (quizá y pueda haber un universo de antimateria donde no exista ni el tiempo, ni el espacio, ni el movimiento, tal y como lo entendemos los hombres). Por tanto, es una proyección del sujeto a la infinitud. Pero no se puede hacer otra cosa que proyectar las formas generales de nuestro ser a la comprensión de la infinitud. El hombre está atrapado en su finitud.
Al pensar algo (los conjuntos, los elementos, etc.) lo pensamos en tiempo, en espacio, en movimiento, como cosa material. Lo pensado es la cosa, la cosa en movimiento, en movimiento en tiempo y espacio. De lo que no se mueve no podemos decir nada. Las cosas nos son dadas en el movimiento. Gracias al movimiento interactuamos con ellas, y, por tanto, sabemos de ellas. El hombre no puede dejar de proyectar las formas de su ser a lo pensado. Al pensar el conjunto de todos los conjuntos normales, el Mundo, lo pensamos en tiempo, en espacio, en movimiento. Por tanto, el hombre piensa la infinitud del mundo, es decir, de los conjuntos, desde su finitud.
Al pensar la infinitud del mundo de esta forma, es decir, el mundo como el conjunto de todos los conjuntos normales, nos encontramos, una vez más, con la dialéctica de lo general y lo singular, dialéctica concreta que en la historia de la filosofía es mal interpretada. Los matemáticos al elaborar el concepto de conjunto de todos los conjuntos normales, han elaborado el concepto de Mundo en el lenguaje de la teoría de conjunto.
El Mundo es único, se nos dice. Esta idea encierra una contradicción. ¿Cómo se piensa esta unicidad? Al pensar esta infinitud, el Mundo, lo pensamos como algo concreto, singular, es decir, como lo único. Si el mundo es un concepto (el concepto "el mundo"), entonces es una calidad en la cantidad de una unidad. Al mismo tiempo, en la tesis "el mundo es único" está instalada la idea de que el mundo es lo único que hay. Se nos dice que lo que hay es sí y sólo sí materia, se nos dice que la unidad del mundo consiste en su materialidad. Ahora bien, al pensarlo como lo único que hay, queda fuera de él (del mundo), entonces, la realidad que no es mundo. Es decir, nos queda por pensar el no-mundo, que será también una realidad concreta. De donde, podemos formar un nuevo concepto: la unidad "mundo y no-mundo". Este nuevo concepto contiene, como elemento, al mundo y al no-mundo. De donde, el mundo no es ya el Mundo (es decir, lo único que hay), pues no es infinito. Es finito, una vez que existe el no-mundo. Tenemos que formar, entonces, una nueva infinitud: la infinitud "mundo y no-mundo". Y así sucesivamente.
Es evidente, que esta tesis, de que el mundo es único, encierra una contradicción. El Mundo no es único. Es la dialéctica de lo general y lo singular. El mundo en general existe al lado de los mundos singulares; el mundo general existe como un singular más al lado de los otros mundos singulares. Por tanto, no es único, en el sentido que sea lo único que hay.
Normalmente, el pensamiento piensa lo general como un singular más. Por ejemplo, el número "a+b.i" es un singular, es un número concreto, es único, etc., pero es, a su vez, lo general¸ es la forma más general del número que existe. No hay un número más general que este. Todo otro número es una singularidad de este número, una manifestación. Por ejemplo, el número "3" es un singular del número "a+b.i". En el 3, "a" es igual a tres, y "b" es igual a cero.
Con el conjunto de todos los conjuntos normales pasa lo mismo, que con el número "a+b.i". En la realidad lo que hay son conjuntos de cosas; la diversidad cuanticualitativa infinita del mundo se refiere a la diversidad de conjuntos de cosas. En el lenguaje de la teoría de conjunto, el mundo es una infinitud de conjuntos de cosas, es decir, de conjuntos normales. Cada conjunto singular normal es una manifestación, una singularidad, del conjunto general, es decir, del conjunto de todos los conjuntos normales. A su vez, este conjunto general es, al mismo tiempo, un conjunto singular. Es un conjunto más que está al lado de los otros conjuntos.
El Conjunto de todos los conjuntos normales no es lo único que hay. Es lo general del mundo, o, mejor dicho, la forma general. El mundo general. F. Engels se equivoca al afirmar que lo que hay es, sí y sólo sí, materia, que la unidad del mundo consiste en su materialidad, y que el mundo es único, en el sentido de que es lo único que hay. En primer lugar, la materia no es lo único que hay. La materialidad es atribuible sólo a nuestro Universo (y quizá a algunos más). En segundo lugar, el mundo (en el sentido del conjunto de universo y entes de la realidad) no es único, en el sentido que es lo único que hay. Existen muchos mundos singulares. Cada mundo singular es único. Nuestro Universo es un mundo singular, único. El mundo general existe al lado de los mundos singulares, y existe como un singular más. Engels entiende mal la dialéctica de lo general y lo singular. Esta limitación es histórica. Para su época no se había desarrollado hasta el final la teoría de conjunto y la cosmología.
Autor:
Evelio A. Pérez Fardales