(a) Cuando ambas flechas apuntan a c, y(x) se aproximará a c. Este tipo de punto crítico se denomina asintóticamente estable. El punto c se denomina atractor.
(b) Cuando ambas flechas no apuntan a c, y(x) se alejará de c. Este tipo de punto crítico se denomina inestable. El punto c se denomina repulsor o repulsivo. Atractores y repulsores: hay tres tipos de comportamiento que y(x) puede exhibir en las cercanías de un punto crítico c. (c) y (d) Cuando y0 a un lado de c es atraído por c y repelido por el otro lado. Este tipo de puntos críticos se denomina semiestables.
EDO autónomas y campos de direcciones La figura muestra el campo de direcciones de dy/dx = 2y – 2.Podemos observar que los elementos lineales que pasan por los puntos de cualquier recta horizontal mantienen la pendiente. Recordemos que una EDO autónoma es de la forma dy/dx = f(y), y las pendientes sólo dependen de y.
Sistemas autónomos Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden se llama autónomo, cuando puede escribirse como: La variable independiente t no aparece explícitamente en el lado derecho. Ejemplo: Este sistema no es autónomo, debido a la presencia de t en el lado derecho.
Si hacemos x = ? e y = ? ?, entonces la ecuación diferencial de segundo orden se puede escribir como un sistema autónomo de dos ecuaciones de primer orden: Nota: Cualquier EDO de segundo orden x'' = g(x,x') se puede escribir como un sistema autónomo. Haciendo y = x', tenemos que x'' = g(x,x') se transforma en y' = g(x,x'). Y la ec. de segundo orden se transforma en el sistema autónomo: x' = y; y' = g(x,y) Ecuación diferencial no lineal de segundo orden que describe el ángulo de desplazamiento de un péndulo.
Interpretación como campo vectorial Cuando la variable t se interpreta como el tiempo, decimos que un sistema de ecuaciones diferenciales es un sistema dinámico y su solución X(t) = (x1(t),…, xn(t)) se denomina estado o respuesta del sistema en el tiempo t. De modo que un sistema dinámico es autónomo cuando la velocidad X'(t) solo depende del estado actual del sistema X(t). En el caso de n = 2 o 3, suele llamarse a la solución trayectoria u órbita.
Interpretación como campo vectorial Cuando el sistema autónomo es de dos ecuaciones se denomina plano y puede escribirse como:El vector V(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) define un campo vectorial en una región del plano. V(x, y) puede interpretarse como la velocidad de una corriente en la posición (x, y). Y una solución puede interpretarse como la trayectoria de una partícula arrastrada por esa corriente.
Ejemplo: Un campo vectorial para el flujo de estado estable de un líquido alrededor de un cilindro de radio 1 está dado por donde V0 es la velocidad del líquido lejos del cilindro. Si se libera un pequeño corcho en (-3, 1), la trayectoria X(t) = (x(t), y(t)) del corcho satisface el sistema autónomo plano:
sujeto a la condición Inicial X(0) = (-3, 1).
Tipos de soluciones Si P(x), Q(x) y sus derivadas parciales de primer orden son continuas en una región R del plano, entonces una solución del sistema que satisface X(0) = X0 es única y de uno de los siguientes tres tipos básicos:
(i) Solución constante.
(ii) Una solución que define un arco.
(iii) Una solución periódica.
(i) Una solución constante x(t) = x0, y(t) = y0 (X(t) = X0 para toda t). Una solución constante se llama punto crítico o estacionario. Cuando "una partícula" se coloca en un punto crítico X0 permanece allí indefinidamente, por eso una solución constante también se denomina solución de equilibrio. Observemos que X?(t) = 0 es una solución del sistema de ecuaciones algebraicas: Nota: a un punto crítico también se le denomina punto de equilibrio, fijo, de reposo, singular, etc
Ejemplo: Determina los puntos críticos de los siguientes sistemas autónomos planos: (a) (b) (c)
Para encontrar los puntos críticos debes igualar a cero el lado derecho de las ecuaciones diferenciales.
(Gp:) y (Gp:) x (Gp:) y (Gp:) y (Gp:) x (Gp:) x (Gp:) – (Gp:) = (Gp:) ¢ (Gp:) – (Gp:) + (Gp:) = (Gp:) ¢ (Gp:) 2 (Gp:) 2 (Gp:) 2 (Gp:) 6
Solución (a)entonces y = x. Hay infinitos puntos críticos.
Como x2 = y, entonces x2 + y2 – 6 = y + y2 – 6 = (y + 3)(y – 2) = 0. Si y = – 3, entonces x2 = – 3 y no existen soluciones reales. Si y = 2, entonces . Los puntos críticos son y .
(Gp:) y (Gp:) x (Gp:) y (Gp:) y (Gp:) x (Gp:) x (Gp:) – (Gp:) = (Gp:) ¢ (Gp:) – (Gp:) + (Gp:) = (Gp:) ¢ (Gp:) 2 (Gp:) 2 (Gp:) 2 (Gp:) 6
(b)
(c)
De 0.01x(100 – x – y) = 0, tenemos x = 0 o x + y = 100. Si x = 0, entonces 0.05y(60 – y – 0.2x) = 0 se transforma en y(60 – y) = 0. Así y = 0 o y = 60, y tenemos como puntos críticos a (0, 0) y (0, 60).
Si x + y = 100, entonces 0 = y(60 – y – 0.2(100 – y)) = y(40 – 0.8y). Tenemos que y = 0 o y = 50. Y los puntos críticos son (100, 0) y (50, 50).
(ii) Una solución x = x(t), y = y(t) que define un arco, una curva plana que no se cruza a sí misma, como en la Fig (a). La Fig (b) no puede ser una solución para un sistema autónomo plano , puesto que habría dos trayectorias que comenzarían en el mismo punto P.
(iii) Una solución periódica x = x(t), y = y(t) que se denomina ciclo. Si p es el período de la solución, entonces X(t + p) = X(t). Una partícula colocada en la órbita en el punto X(0), por ejemplo, viajará por la curva hasta regresar al punto de partida en p unidades de tiempo.
Determina si los siguientes sistemas poseen una solución periódica. En cada caso, dibuja la gráfica de la solución que satisface X(0) = (2, 0).(a) (b) Solución(a) Habíamos demostrado que la solución era:
Así toda solución es periódica con período ?. La solución que satisface X(0) = (2, 0) es : x = 2 cos 2t + 2 sen 2t y = – sen 2t Recordatorio
Para ?1 = 2i, (2 – 2i)k1 + 8k2 = 0 – k1 + (–2 – 2i)k2 = 0 obtenemos k1 = –(2 + 2i)k2. Elegimos k2 = –1 Recordemos cómo se resolvía
Debido a la presencia de et, no hay soluciones periódicas. La solución que satisface X(0) = (2, 0) es:
(b) Con el método de vectores y valores propios, obtenemos:
Cambio a coordenadas polares Normalmente no es posible encontrar soluciones explícitas para un sistema autónomo no lineal. Pero a veces es posible conseguirlo al cambiar a coordenadas polares. Recuerda que las transformaciones de coordenadas cartesianas (x,y) a polares (r, ?) son: r2 = x2 + y2 y ? = tan–1(y/x)
Hallar la solución del siguiente sistema plano no lineal: que satisfaga X(0) = (3, 3). Solución
Puesto que (3, 3) es en coordenadas polares, X(0) = (3, 3) se transforma en y ? (0) = p/4.Integrando por separación de variables, tenemos que la solución es: para r ? 0. Aplicando las condiciones iniciales, tenemos
La espiral
se bosqueja en la siguiente imagen
Considera el sistema en coordenadas polares: Halla y dibuja las soluciones que satisfagan X(0) = (0, 1) y X(0) = (3, 0) en coordenadas rectangulares.
Solución Separando variables, tenemos
Si X(0) = (0, 1), entonces r(0) = 1 y ? (0) = ?/2. Así c1 = –2, c2 = ?/2. La curva solución es la espiral . Observemos que cuando t ??,? aumenta sin límite y r tiende a 3. Si X(0) = (3, 0), entonces r(0) = 3 y ? (0) = 0. Así c1 = c2 = 0 y r = 3, ? = t. Tenemos que la solución es x = r cos? = 3 cos t e y = r sen ? = 3 sen t. Es una solución periódica.
Estabilidad de sistemas lineales Hemos visto como una solución puede interpretarse como la trayectoria de una partícula que al inicio se coloca en la posición X(0) = X0. Si X0 es un punto crítico entonces la partícula permanece estacionaria. Pero, ¿qué ocurre si situamos a la partícula cerca del punto crítico?
Estabilidad de sistemas lineales Supongamos que X1 es un punto crítico de un sistema autónomo plano y que X = X(t) es una solución que satisface X(0) = X0. Nos interesa saber cómo se comporta la partícula cuando X0 está cerca de X1: (i) ¿La partícula va hacia el punto crítico? O dicho de otra forma: ¿limt?? X(t) = X1? (ii) Si la partícula no va hacia el punto crítico, ¿permanece cerca o se aleja de él? ¿La solución permanece cerca de X1 o se aleja de X1?
Punto crítico localmente estable (a) y (b). Sin embargo, si se puede encontrar en alguna vecindad dada algún valor inicial X0 que da un comportamiento similar a (c), llamamos al punto crítico inestable.
Análisis de estabilidad Consideremos x? = ax + by y? = cx + dy La matriz del sistema es Para asegurar que X0 = (0, 0) es el único punto crítico, supondremos que su determinante vale: ? = ad – bc ? 0. Puedes comprobar que entonces la ecuación característica det (A – ?I) = 0 se puede escribir como: ?2 – ?? + ? = 0 donde ? = a + d. Así
Ejemplo: Determina los valores propios del sistema en términos de c, y esboza la forma de las soluciones correspondientes a los casos c = ¼ , 4, 0 y -9. Solución Como la matriz de coeficientes es entonces tenemos ? = a + d = -1 + (-1) = -2, y ? = 1 – c. Por tanto:
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