El estudio de las funciones representa un argumento muy importante en los fenómenos físicos aplicados a la ingeniería.
Un reto pedagógico para el docente universitario, consiste en transmitir conocimientos a través del gráfico, y si a este gráfico se le conocen sus asíntotas, todo su estudio se facilita. En este trabajo presentaremos de forma clara y pedagógica la obtención de asíntotas funcionales para una curva.
Consideremos la función . Observando lo siguiente:
El comportamiento asintótico por la derecha es 
, respectivamente por la izquierda 
La función 
, tiene dos asíntotas funcionales no rectilíneas.
Si se conoce las asíntotas de una función en estudio se facilita.
Definición:
Sea 
una función real de variable real definida en el intervalo 
o respectivamente 
, tal que:
, que satisface:
, o respectivamente:
.
Entonces se dice que, para 
(respectivamente: 
), la curva 
es una curva asintótica, o simplemente una asíntota para la curva 
.
Por ejemplo, la función 
, definida en 
. Se puede escribir:
, con:
, 
.
La curva de ecuación: 
, es una asíntota parabólica para la función racional 
.
Se define la distancia del punto 
a la curva 
de la siguiente manera:
Si F, es una recta 
es la medida del segmento perpendicular desde p hasta la recta.
- TEOREMA: Si
, es una asíntota para la curva 
para 
(respectivamente: 
), entonces se tiene : 
, 
.
Demostración:
Como 
es una asíntota para 
se tiene que: 
, con 
si el punto 
y por lo tanto el punto 
es de la forma 
.
Por otra parte:
Como
.-
.De (i) y (ii) se tiene:
Como 
. Entonces 
, las curvas 
, 
se pegan asintóticamente 
.
De particular importancia es el caso en el cual la curva 
presenta asíntotas rectilíneas. En tal caso se tiene:
con 
, respectivamente: 
.
La recta 
es una asíntota para 
(asíntota rectilínea derecha) o respectivamente: 
(asíntota rectilínea izquierda). Cuando L, es una asíntota rectilínea derecha e izquierda simultáneamente se dice que L es una asíntota rectilínea.
- TEOREMA: La curva F, representada por la función
. Tiene a lo más una asíntota rectilínea derecha (respectivamente izquierda).
Demostración:
Supongamos que F tiene una asíntota rectilínea derecha de ecuación 
. Por (1) se tiene:
Supongamos que F admite otra curva asintótica derecha, de ecuación:
con .-
con 
. De (i) y (ii) se tiene:Y se deduce que :
.
Garantizando la unicidad de la asíntota. La unicidad de la asíntota izquierda se demuestra de forma análoga.
ASINTOTAS DE UNA FUNCION RACIONAL.
Consideremos la función racional 
. Donde 
y 
son polinomios con coeficientes reales en la variable "x", sí 
y 
son respectivamente los polinomios cociente y resto de división de 
y 
, se tiene: 
Como el grado del polinomio
es inferior al grado del polinomio 
se tiene:
.
.
La ecuación 
es una curva asintótica para la función 
, tanto derecha como izquierda, es decir: es una asíntota.
Si 
es de grado "n" y de grado "n+1", entonces 
es de grado 1, y por lo tanto 
es una asíntota rectilínea.
Ejemplo:
La recta 
es una asíntota rectilínea para la función 
.
- TEOREMA: Toda función racional
tiene asíntota.
Demostración:
Sea n = grado del polinomio 
; m = grado del polinomio 
:
- Si
, por (1) se tiene que el grado del polinomio 
es 
, y como se cumple (2) se tiene que el polinomio 
de grado , es una asíntota para la función . - Sí
:
, Respectivamente: 
La recta 
es una asíntota rectilínea para la función 
- Si
. La recta 
es una asíntota para la función 
. Con 
y 
coeficientes principales de los polinomios.
Cuando 
, no es una función racional las cosas se complican al tratar de hacer la descomposición (1), pero existe un criterio para la búsqueda de asíntotas rectilíneas (derechas e izquierdas) para la función 
.
- Supongamos:
, (Respectivamente 
). 
La curva 
, admite una asíntota rectilínea derecha (respectivamente izquierda) de ecuación 
, basta observar que:
y hay que notar solamente que:
(respectivamente 
).
EJEMPLO:
La función 
, tiene asíntota rectilínea derecha: 
y asíntota rectilínea izquierda: 
.
EJEMPLO:
La recta 
es una asíntota rectilínea derecha.
La recta 
es una asíntota rectilínea izquierda.
- Supongamos:
y 
. 
(respectivamente para ).
La curva 
, tiene una asíntota rectilínea derecha y dicha asíntota tiene por ecuación: 
, donde:
.
En efecto: Si la curva admite asíntota derecha, ésta tiene por ecuación: 
y se tiene:
con 
.
Por lo tanto tenemos:
tomando límite: 
y por lo tanto: .
Por otra parte se tiene:
y como 
, se tiene: 
Este resultado constituye un método de cálculo para la asíntota.
EJEMPLO:
. Las rectas 
y 
son las asíntotas rectilíneas derechas e izquierdas respectivamente.
- Supongamos:
y 
(respectivamente para )
La curva 
no admite asíntota rectilínea derecha. De hecho, si la admitiera debería ser:
, con 
y 
, y esto es una contradicción ya que se tendría 
y 
.
Definición:
Sí 
, se dice que la recta 
es una asíntota vertical derecha.
Sí 
, la recta es una asíntota vertical izquierda.
Sí , es una asíntota vertical derecha e izquierda simultáneamente, se dice que es una asíntota vertical.
- TEOREMA: Sea
una curva que satisface:
o 
(respectivamente 
ó 
)
Entonces, la recta L de ecuación , satisface:
(respectivamente: 
); con 
.
Demostración:
Demostremos el teorema en el caso cuando 
y análogamente se razona cuando 
.
Sabemos que: 
y por lo tanto el punto 
es de la forma: 
. 
En particular tomando el punto 
, se tiene:
; y por lo tanto se tiene:
.
Sí 
(respectivamente 
), se tiene: 
, 
y se concluye que:
l.q.q.d.
Una función puede admitir infinitas asíntotas verticales. Por ejemplo:
, ya que:
y 
Las rectas: 
, 
, son asíntotas verticales para 
.
- Cipriano Cruz. Elementos de funciones Reales. U.C.V. Facultad de Ingeniería 1.995.
- Arcos Robinson – Cruz Cipriano. ¿Qué puede decirse acerca del gráfico de una función?. U.C.V. Facultad de Ingeniería 1.986.
- Hernández Angela. Estudio de una Función "Ejercicios de Análisis I". U.C.V. Facultad de Ingeniería 1.988.
- Spivak M. Cálculo Infinitesimal.
sabas juan