GUIAS DE ONDAS CIRCULARES La ecuación de onda es solución para Hz ? (Gp:) Hz= Hoz Jn (kcr)
Solución a la cual se aplica condiciones de borde en el interior de la guía. E? =0 : campo tangencial Hr =0 : campo radial r = a
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Considerando las ecuaciones de Maxwell Desarrolladas en coordenadas cilíndricas:
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES (Gp:) Considerando EZ= 0 y
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Las condiciones de borde implican: (Gp:) E? = 0 en r = a ?
Forzando esta condición en la expresión para Hz (Gp:) J’n (kca)
? J’n (kca) = 0. (Gp:) Hr = 0 en r = a ?
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Así, los valores permisibles de kc pueden ser escritos como: Obs: Esto se satisface para la secuencia infinita de J’(kca), es decir, los máximos y mínimos de las curvas J(kca). (Gp:) J’n (kca) = J’n (kcr)
X'np = kC a Ceros de J’n (kca) para los modos TEnp (Tabla 4-2-1 de Liao)
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES (Gp:) 0 (Gp:) 0 (Gp:) 1 (Gp:) 2 (Gp:) 3 (Gp:) 4 (Gp:) 5 (Gp:) 1 (Gp:) 2 (Gp:) 3 (Gp:) 4 (Gp:) 3.832 (Gp:) 1.841 (Gp:) 3.054 (Gp:) 4.201 (Gp:) 5.317 (Gp:) 6.416 (Gp:) 7.016 (Gp:) 10.173 (Gp:) 13.324 (Gp:) 11.706 (Gp:) 8.536 (Gp:) 5.331 (Gp:) 6.706 (Gp:) 9.696 (Gp:) 13.170 (Gp:) 11.346 (Gp:) 8.015 (Gp:) 9.282 (Gp:) 12.682 (Gp:) 13.987 (Gp:) 10.520 (Gp:) n (Gp:) p (Gp:) —– (Gp:) —– (Gp:) —–
(Tabla 4-2-1 de Liao) Ceros de J’n(kca) para los modos TEnp
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Reemplazando adecuadamente, las expresiones para el campo E.M. son: ? (Gp:) Ez = 0
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GUIAS DE ONDAS CIRCULARES donde Impedancia de onda Obs: Con kc se puede calcular fc del modo de propagación. Con el valor más pequeño de la tabla se obtiene fc del modo de dominante, que en este caso es el modo TE11. Por lo general, se opera en el modo de dominante.
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES En el rango de frecuencia de corte del modo dominante y la frecuencia de corte del modo inmediatamente superior. En este caso: (Gp:) TE11
(Gp:) TE21
(Gp:) f
Si se trabaja con una frecuencia menor a la indicada por el modo dominante ( fc ), no existe transmisión. Modo evanescente
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Parámetros de importancia para los Modos TEnp a) Constante de fase: b) Frecuencia de corte:
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES c) Velocidad de fase: donde d) Longitud de onda:
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES e) Impedancia de onda en la guía: donde Obs.: h0 sólo en el caso en que el dieléctrico es vacío.
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES 1.3 Modos TMnp Debido a que en los modos TMnp no existe componente de campo magnético en dirección de propagación (Gp:) Obs: (Gp:) El análisis es equivalente al caso anterior.
Hz =0 ? EZ ? 0
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Aplicando condiciones de borde, se obtiene: (Gp:) ? Jn (kC a) = 0
(Gp:) Xnp = kC a ?
Las raices de Jn (Xnp) son infinitas. Ceros de Jn (kCa) para los modos TMnp (Tabla 4-2-2 de Liao)
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES (Gp:) 0 (Gp:) 0 (Gp:) 1 (Gp:) 2 (Gp:) 3 (Gp:) 4 (Gp:) 5 (Gp:) 1 (Gp:) 2 (Gp:) 3 (Gp:) 4 (Gp:) 2.405 (Gp:) 3.832 (Gp:) 5.136 (Gp:) 6.380 (Gp:) 7.588 (Gp:) 8.771 (Gp:) 5.520 (Gp:) 8.645 (Gp:) 11.792 (Gp:) 13.324 (Gp:) 10.173 (Gp:) 7.106 (Gp:) 8.417 (Gp:) 11.620 (Gp:) 14.796 (Gp:) 13.015 (Gp:) 9.761 (Gp:) 11.065 (Gp:) 14.372 (Gp:) —– (Gp:) 12.339 (Gp:) n (Gp:) p (Gp:) —– (Gp:) —– (Gp:) —–
(Tabla 4-2-2 de Liao) Ceros de Jn(kca) para los modos TMnp
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES De las ecuaciones de Maxwell y considerando (Gp:) Hz = 0 (Gp:) y
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Hz = 0
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES donde Impedancia de onda Obs: Para estos modos, el modo dominante es el modo TM01. Pero como TE11 es menor que TM01,. El modo dominante para guías de onda circulares es el modo TE11.
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES a) Constante de fase: b) Frecuencia de corte: Parámetros de importancia para los Modos TMnp
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES c) Velocidad de fase: donde
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES d) Longitud de onda: e) Impedancia de onda en la guía: Obs.: h0 sólo en el caso en que el dieléctrico es vacío.
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES 1.4 Potencia Transmitida en GG.OO. circulares. (Gp:) Obs: (Gp:) Con respecto a pérdidas de potencia. Idem a GG.OO. Rectangulares.
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES 1.5 Analogía entre GG.OO. y Líneas de Tx. TEM. Existe una analogía entre las intensidades de campo E y H de las ondas TE-TM y los voltajes y corrientes de líneas de Tx., adecuadamente terminados (sin reflexión). Recordando las ecuaciones de Maxwell, en coordenadas rectangulares:
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES ? ? ? ? ? ?
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Para las ondas TM Hz= 0 ? Existe Ez (Gp:) ?
O bien, (?x E)z = 0 Es decir: En el plano xy el campo eléctrico no tiene rotacional.
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES El voltaje a lo largo de un circuito cerrado es cero. El campo eléctrico en este plano puede expresarse como el gradiente de algún potencial V. (Gp:) ?
(Gp:) ?
Potencial
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Ahora, si tomamos la ecuación ? y se considera Hz = 0, queda: (Gp:) ?
y como queda
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Intercambiando el orden de derivación donde (Gp:) : [m2]
jw? Ez : Densidad de corriente longitudinal de desplazamiento [A/m2]
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES (Gp:) (?)
Corriente en la dirección z. ; Y : Admitancia paralela. Esta ecuación es similar a la ecuación de la línea de Tx.
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Ahora, si consideramos la ecuación ? y se reemplaza nuevamente Hy, se obtiene: Arreglando se logra:
Esto se reemplaza en ?
Cambiando el orden de derivación GUIAS DE ONDAS CIRCULARES
Arreglando GUIAS DE ONDAS CIRCULARES (Gp:) (??)
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES donde (Gp:) : Impedancia
(Gp:) m (Gp:) e/kc2
(Gp:) Obs: (Gp:) Las ecuaciones (? ) y (?? ) son las ecuaciones diferenciales de una línea de Tx. sin pérdidas.
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES 1.6 Circuito equivalente a una línea de Tx. sin pérdidas para modo TM. (Gp:) m (Gp:) m (Gp:) m (Gp:) e/kc2 (Gp:) e/kc2 (Gp:) e/kc2 (Gp:) e (Gp:) e
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES a) Modos TE ( Ez= 0): En este caso (Gp:) ?
Por tanto: (?x H)z = 0 No existe rotacional para H en el plano xy. El voltaje magnético a través de un camino cerrado es nulo.
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES (Gp:) ?
(Gp:) ?
Es posible definir en el plano xy un potencial escalar magnético U. Tomando la ecuación ? y considerando Ez = 0 ?
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES sabiendo que:
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Cambiando el orden de derivación se logra: Tiene dimensiones de voltaje Dimensión de corriente.
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Considerando la ecuación ? y reemplazando:
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES Reemplazando en ? y cambiando el orden de derivación : Se obtiene:
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES 1.7 Circuito equivalente a una línea de Tx. sin pérdidas para modo TE. (Gp:) m (Gp:) m /kc2 (Gp:) m (Gp:) m (Gp:) e (Gp:) e (Gp:) m /kc2
GUIAS DE ONDAS CIRCULARES 1.8 Configuración de campos EM y métodos de excitación de modos en GG.OO. Circulares.
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