• • • • • • 3 Objetivo Esta presentación pretende mostrar porqué motivos, el hombre tuvo necesidad de crear nuevos tipos de “números”. No necesariamente se sigue el devenir histórico. El orden adoptado es el que se supone mas conveniente desde el punto de vista didáctico. Nuestro enfoque clásico es el de realizar operaciones aritméticas en orden creciente de dificultad: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación, con los conjuntos numéricos conocidos. En la medida que se planteen operaciones aritméticas imposibles, se introducirán nuevos conjuntos numéricos para hacerlas posibles. Se justifica así la ampliación del campo numérico correspondiente. Comenzaremos con los números naturales y la suma. Ampliación de los Campos Numéricos
• • • • • 4 Números naturales Aceptamos que todos conocemos los números aprendidos al comienzo de nuestra escuela primaria, a los que llamamos: “Números Naturales” 1; 2; 3; . . . 105; 106; 107; . . .999; . . .1.689; . . . 27.546;. . . 3. 475.628; . . . 547.890.132; . . . Esta serie numérica se considera infinita porque no existe un último valor. Los números naturales son los que usamos habitualmente, cuando se trata de contar los elementos de un conjunto cualquiera. Vamos a suponer, a partir de ahora, que no conocemos ningún otro tipo de número. Ampliación de los Campos Numéricos
• • 5 Suma ó Adición Con los números Naturales podemos hacer, sin ningún impedimento, la primera operación aritmética directa: la Suma En efecto, siempre el resultado de una suma de números naturales, es también otro número natural: 15 + 24 = 39 314 + 568 = 882 43215 + 63298 = 106513 1234567 + 4567891 = 5802458 . . . etc. etc. No hay en esto ninguna dificultad. Ampliación de los Campos Numéricos
• • • • 6 Resta o Diferencia. La operación aritmética siguiente, inversa de la suma, es la Resta. Es posible entre números naturales, solo cuando el minuendo es mayor que el sustraendo: 28 – 17 = 11 714 – 93 = 621 86512 – 5724 = 80788 . . . Etc. Pero si se pretende hacer una resta en la que el minuendo sea menor que el sustraendo, comprobamos que no existe solución dentro de los números naturales. 7 – 11 = ? 56 – 64 = ? 590 – 720 = ? Para hacer posible estas operaciones, se convino en hacer las restas “al derecho” y colocar adelante del resultado un signo menos ( – ) : 7 – 11 = – 4 56 – 64 = – 8 590 – 720 = – 130 Ampliación de los Campos Numéricos
• • • 7 Se crearon así los “ Números Negativos “, otro conjunto infinito, que junto con los Números Naturales, permitieron resolver la resta en casi todos los casos. Faltaba aún dar solución a las restas en las que el minuendo y el sustraendo fuesen iguales: 45 – 45 = ? 112 – 112 = ? 1150 – 1150 = ? Para esto se introdujo el cero ( 0 ), que juntamente con los números naturales y los negativos, permitieron dar solución a la resta en cualquier circunstancia: 45 – 45 = 0 112 – 112 = 0 1150 – 1150 = 0 Ampliación de los Campos Numéricos
8 Naturales (N) Cero (0) Enteros (Z) Negativos Algunos autores suelen llamar a los números naturales “enteros positivos”. Si también se incluye el “0”, el conjunto a veces se nombra como “ no negativos” Ampliación de los Campos Numéricos
• • • • • • • • 9 Consideraciones generales A esta altura de la presentación es necesario destacar que: El signo menos ( – ) señala tanto la operación aritmética “resta”, como el carácter de un número como negativo. Debe quedar claro que ambos significados son realmente distintos, si bien pueden tener algunos puntos de contacto (que nos lleven a error). En efecto, una cosa es plantear la operación resta y otra diferente es señalar un número como negativo. Se puede considerar al número entero como formado por un número natural al que se le antepone un signo: Números positivos: Números negativos: El número cero ( 0 ): +1; +2;+3;. . .+114; . . .+5632; . . .etc. -1; -2; -3; . . .-169; . . . -2478; . . .etc. no tiene signo Al número natural, independiente del signo, se le llama “valor absoluto” . Se definen además como “números opuestos” a aquellos que tienen igual valor absoluto y signos contrarios: 8 y -8; -112 y 112; 920 y -920 Por convención los números positivos o naturales se escriben habitualmente, sin el signo + . Ampliación de los Campos Numéricos
• • • : 10 Consideraciones generales Para aclarar conceptos se recuerdan las reglas para supresión de paréntesis: Si están precedidos por el signo + , los paréntesis pueden suprimirse directamente y se dejan sin variar los signos de los términos interiores. Si en cambio antecede al paréntesis el signo – , al suprimirlos deben cambiarse todos los signos de los términos contenidos. Se recuerdan asimismo las reglas prácticas para sumar números enteros: Para sumar dos enteros del mismo signo, se deja ese signo y se suman los valores absolutos: (+27) + (+9) = 27 + 9 = 36 (-27) + (-9) = -27 – 9 = -36 Para sumar dos enteros de diferente signo, se restan, en valor absoluto, el menor del mayor de ellos y se coloca el signo del mayor: (-27) + (+9) = -27 + 9 = -18 (27) + (-9) = 27 – 9 = 18 La regla práctica para restar números enteros es suprimir paréntesis y luego operar en forma normal, como se indica en los ejemplos siguientes: +27 – (+9) = 27 – 9 = 18; -27 – (-9) = -27 + 9 = -18; +27 – (-9) = 27 + 9 = 36; -27 – (+9) = -27 – 9 = -36; Ampliación de los Campos Numéricos +63 – (+80) = 63 – 80 = -17 -63 – (-80) = -63 + 80 = 17 +63 – (-80) = 63 + 80 = 143 -63 – (+80) = -63 – 80 = -143
• • • 11 Consideraciones generales Recordemos que se llama “Suma Algebraica” a una sucesión de sumas y restas, por ejemplo: 17 + 25 – 38 – (12 + 5) + (22 – 15) + 45 = Una forma de resolverla es: 1º) Suprimir todos los paréntesis de acuerdo con las reglas 2º) Sumar todos los términos positivos 3º) Sumar todos los términos negativos 4º) Operar con los resultados de acuerdo con las reglas vistas. 17 + 25 – 38 – 12 – 5 + 22 – 15 + 45 = (17 + 25 + 22 + 45) – (38 + 12 + 5 + 15) = 109 – 70 = 39 Otro ejemplo: (100 – 250) – (-25 – 8) – 30 + 10 = 100 – 250 + 25 + 8 – 30 + 10 = (100 + 25 + 8 + 10) – (250 + 30) = 143 – 280 = -137 Ampliación de los Campos Numéricos
• • • y • • 12 Multiplicación ó Producto. Con los Números Enteros siempre es posible efectuar, sin dificultades, la siguiente operación aritmética directa: la Multiplicación A lo sumo se debe introducir la adecuada regla de los signos: Recordemos que (+) . (+) = (+) ; (-) . (-) = (+) (+) . (-) = (-) 9 . 7 = 63 -9 . -7 = 63 -9 . 7 = -63 9 . -7 = -63 125 . 48 = 6000 -125 . -48 = 6000 -125 . 48 = -6000 125 . -48 = -6000 Además, siempre, cualquier número multiplicado por cero es cero: 28 . 0 = 0 1589 . 0 = 0 Z.0=0 Tampoco hay en esta operación directa, ninguna dificultad. Ampliación de los Campos Numéricos
• • • • 13 División ó Cociente. La operación aritmética siguiente, inversa de la multiplicación, es la División. Ella solo es posible entre números enteros, cuando el resultado es un cociente exacto. En efecto: 20 / 4 = 5 63 / 9 = 7 -120 / 4 = -30 porque porque porque 5 . 4 = 20 7 . 9 = 63 -30 . 4 = -120 . . . etc. . .etc. Recordemos que la “regla de los signos” es la misma que para el producto. Pero para algunas divisiones no hay un cociente exacto, por ejemplo: 20 / 3 ? 6 porque 6 . 3 = 18 ? 20 y además: 20 / 3 ? 7 porque 7 . 3 = 21 ? 20 Como vemos no existe un número entero que satisfaga el cociente 20 / 3 Ampliación de los Campos Numéricos
• • • • • 14 Podrían darse infinitos casos, como el planteado, de cocientes que no tienen resultado en el campo de los números enteros. Para hacer posible estas operaciones, se convino en dejar el cociente indicado y darle la categoría de número. Así la división planteada 20 / 3 = 20/3 , pasa a tener solución con esta nueva ampliación de los campos numéricos. El cociente imposible entre enteros: 20 dividido 3, tiene ahora solución con la fracción 20/3 , que puede leerse como : veinte tercios Se crearon así los” Números Fraccionarios”, otro conjunto infinito, que junto con los Números Enteros, permiten resolver el cociente en casi todos los casos. En general entonces, el número fraccionario (o simplemente fracción), tendrá la forma a/b, en donde tanto “a” como “b” son números enteros cualesquiera, tanto naturales positivos, como negativos. Ampliación de los Campos Numéricos
15 Enteros (Z) Fraccionarios (F) Racionales (Q) Se debe aclarar que el nombre de “racionales”, proviene del concepto matemático de la palabra “razón” como sinónimo de “relación” ; “división” o “cociente y no tiene nada que ver con la facultad de razonar, discutir o juzgar. Ampliación de los Campos Numéricos
16 • En la fracción a/b, el entero “a” (superior), se denomina “numerador” y el “b” (inferior), se llama “denominador”. “a” puede también valer cero. En ese caso la fracción vale cero con cualquier denominador: 0/b = 0 • En cambio el denominador de la fracción, “ b ” nunca puede valer “ 0 ”. • En efecto, si por ejemplo el número entero 48 se quisiera dividir por “0” y el resultado fuese un número cualquiera “ k “, se tendría: 48 / 0 = k . • Entonces por definición debería ser k . 0 = 48 , lo cual es un absurdo. Como la demostración se puede repetir para cualquier número, puede decirse que queda absolutamente excluída la división por “0”. Esta última afirmación, debe ser tenida muy en cuenta. Ampliación de los Campos Numéricos
• • • 17 Consideraciones Generales Las fracciones ordinarias a/b pueden ser: propias, impropias, cuando a < b , o sea que a/b < 1. Ej. 3/5; 2/3; 11/15; -5/9; etc. cuando a > b , o sea que a/b > 1 . Ej. 7/3; 9/13; 7/2; -15/17; etc. aparentes, cuando parecen ser fracciones, pero en realidad son enteros, pues el cociente a/b es inmediato. Ej. 2/2; 10/2; 7/7; 15/5; etc. Se denominan fracciones decimales a aquellas de la forma a/b, cuyo denominador es, en todos los casos, la unidad seguida de ceros: 10; 100; 1000; 10000; . . .etc., siendo nombradas respectivamente como: décimos; centésimos; milésimos; diezmilésimos; . . .etc. Por convención, para escribir una fracción decimal, se anota el numerador. Luego contando a partir de la derecha y hacia la izquierda, tantos lugares como ceros tenga el denominador, se coloca la coma decimal que la separa de la parte entera. Ejemplos: 2/10 = 0,2 2/100 = 0,02 2/1000 = 0,002 2/10000 = 0,0002 25/10 = 2,5 25/100 = 0,25 25/1000 = 0,025 25/10000 = 0.0025 425/10 = 42,5 425/100 = 4,25 425/1000 = 0,425 425/10000 = 0,0425 5284/10 = 528,4 5284/100 = 52,84 5284/1000 = 5,284 5284/10000 = 0,5284 Ampliación de los Campos Numéricos
18 • Ejemplos de números fraccionarios son: 1/2; 2/3; ¾; -5/8; -12/63; 17/-3; -27/5; 1/-7 . . .etc. • Como se dijo, tanto el numerador como el denominador, pueden ser cualquier entero positivo o negativo, pero por convención se le adjudica a la fracción el signo que resulta de aplicar la “regla de los signos”, ya vista. • Señalemos que: cualquier número entero puede escribirse en la forma de fracción, simplemente colocando como denominador la unidad: 9 = 9/1; -14 = -14/1; 29 = 29/1; 742 = 742/1 . . . etc. • De lo anterior debe quedar claro que un número racional es de la forma a/b , siendo a y b números enteros cualesquiera y con la única condición de que debe ser b ? 0 . • Los enteros positivos y los negativos, quedan incluídos en los racionales con la fracción a/1 . El cero también se expresa en forma racional como 0/b = 0 . Ampliación de los Campos Numéricos
19 ————-Unidades de millón: 10^6 = 1 000 000 —————-centenas de mil: 10^5 = 100 000 —————decenas de mil : 10^4 = 10 000 ————- unidades de mil : 10^3 = 1 000 ——————– centenas : 10^2 = 100 ——————– decenas : 10^1 = 10 —————— unidades : 10^0 = 1 6. 7 4 8. 5 2 3 , 6 3 5 . 2 4 8 Décimos : 10^(-1) = 0,1————- Centésimos : 10^(-2) = 0,01————- Milésimos: 10^(-3) = 0,001————— Diezmilésimos: 10^(-4) = 0,000 1—————- Cienmilésimos: 10^(-5) = 0,000 01—————– Millonésimos: 10^(-6) = 0,000 001—————– Sistema Decimal de Posición ( base 10 ) Ampliación de los Campos Numéricos
• 20 Consideraciones Generales • Destacamos que las fracciones decimales, escritas en la forma vista, constituyen los tan comunes y familiares Números Decimales No debe interpretarse lo anterior como que los números decimales son una nueva ampliación numérica. Simplemente consisten en una forma cómoda y convencional de escribir los números racionales. • Todo número racional puede expresarse como un número decimal. Para ello basta con dividir el numerador por el denominador en la forma conocida, ya sea en forma manual o usando una calculadora. • Al hacer las operaciones, se obtienen dos tipos de resultados decimales diferentes. • En algunos casos la conversión resulta en un número que tiene una cantidad limitada (o finita) de cifras decimales. Estos se llaman decimales finitos: ½ = 0,5 ¼ = 0,25 3/10 = 0.3 11/4 = 2,75 27/100 = 0,27 5/2 = 2,5 -1/32 = -0,03125 -3/4 = -0,75 3/8 = 0,375 53/16 = 3,3125 9/64 = 0,140625 -7/35 = -0,2 Ampliación de los Campos Numéricos
21 Consideraciones Generales • En otros casos el resultado de la división tiene la parte decimal formada por infinitas cifras, pero a partir de cierto lugar, un grupo de ellas, llamado período, se repite en forma indefinida y en el mismo orden. Se los conoce como decimales infinitos periódicos ( o simplemente decimales periódicos). El período se suele indicar con una barra: 1/3 = 0,33333333. . . ( período de una cifra: 3) = 0,3 37/11 = 3,36363636. . . (período de dos cifras: 36) = 3,36 9/7 = 1,285714285714. . .( período de seis cifras: 285714) = 1,285714 8/15 = 0,53333333. . . (un decimal no periódico y el período de una cifra: 3) = 0,53 805/990 = 0,813131313. . .(un decimal no periódico y un período de dos cifras: 13) = 0,813 8248866/990 = 82,57123123. . .(dos cifras enteras, dos decim. no periód. y período de tres cifras:123) Existen reglas simples y claras para pasar de un decimal periódico a una fracción ordinaria. • Se puede demostrar en forma rigurosa, que la expresión decimal de todo número fraccionario es o bien un decimal finito o sino un decimal infinito periódico. • Recíprocamente, puede demostrarse que, todo decimal finito o todo decimal infinito periódico, es necesariamente la expresión de un número racional. Ampliación de los Campos Numéricos
• • • • 22 Potenciación ó Potencia. Por Definición, la Potencia “enésima” de un número “ a “ (base), es otro número “ b “, que resulta de multiplicar “a” por sí mismo, un número “n” de veces. an = a . a . a . . . ( n veces ) = b base exponente potencia Con los números racionales siempre es posible efectuar sin dificultades la tercera operación directa: la potenciación A lo sumo hay que tener en cuenta las propiedades y reglas que se estudian en el álgebra básica, respecto de la forma de operar en todos los casos: Potencia de base fraccionaria: Potencia de exponente “ 0 “: Potencia de exponente negativo: Potencia de exponente 1/n : Potencia de exponente fraccionario: (a/b) n = a n / b n a 0 = 1 para todo a a (-n) = 1 / a n a (1/n) = nv a a (m/n) = n v (am) Como vemos, esta operación directa, no presenta ninguna imposibilidad numérica. Ampliación de los Campos Numéricos
• “ “ “ “ • • • • 23 Radicación ó Raíz. La operación inversa de la potenciación o potencia, es la radicación o raíz. Si a n = b , significa que la raíz enésima de b es a : a = nv b , siendo el índice “n” cualquier número natural (entero positivo) y el radicando “b” un número racional. v 25 = 5 y también v 25 = -5 porque 5 2 = 25 y -5 2 = 25 v 81 = 9 3v27 = 3 v 81 = -9 solamente 9 2 = 81 y -9 2 = 81 3 3 = 27 4v625 = 5 y también 4v625 = -5 5 4 = 625 y -5 4 =625 Las raíces de índice par tienen dos soluciones en el campo racional, mientras que las de índice impar solo tienen un resultado. Si el índice de una raíz es 2, la raíz se llama cuadrada, si el índice es 3 cúbica, si el índice es 4 cuarta, etc. Nos referiremos por comodidad solo a las raíces cuadradas, pero los razonamientos valen para cualquier índice. Las raíces de números que son cuadrados perfectos son por supuesto, números racionales. Pero las raíces cuadradas de números que no son cuadrados perfectos se puede demostrar que no son racionales. Ampliación de los Campos Numéricos
.. pero 24 • En efecto, si intentáramos hallar la ,v2 por aproximaciones sucesivas, utilizando números decimales, podríamos comprobar que por mas que agreguemos cifras decimales de orden superior, no encontraríamos un valor tal que multiplicado por sí mismo, de por resultado exactamente 2. Así se obtendrían sucesivamente valores por debajo y por encima de 2: 1,41 2 = 1,9881 1,414 2 = 1,999396 1,4142 2 = 1,99996164 ……………. 1,414213562 2 = 1,999999999 1,415 2 = 2,002225 1,4143 2 = 2,00024449 1,41422 2 = 2.000018208 ……………….. 1,414213563 2 = 2,000000002 Se podría seguir agregando decimales, (y así se hizo históricamente), independientemente de lo tedioso que resulte, jamás se encontrará el número decimal buscado. Lo que sí se obtiene es un número decimal infinito, en el que no se detecta la aparición de un período o grupo de cifras que se repita. Anteriormente hemos afirmado y demostrado que un número racional únicamente puede expresarse como un decimal finito o un decimal infinito periódico. • En consecuencia debe quedar claro que un número decimal infinito y no periódico no es un número racional. Ampliación de los Campos Numéricos
v 2 25 • Podrían darse infinitos casos como el analizado, de raíces que no tienen resultado racional. v23; v85; v113; 3v83; -v415; -v5348; 4v29; . . . etc. • Para hacer factible estas operaciones, se convino en dejar el radical indicado y darle la categoría de número: = v2 , que como no es racional se lo llamó número irracional. • Hay que señalar que se debe a los antiguos griegos (400 años A.C), una demostración analítica por “reducción al absurdo”, que prueba, sin lugar a dudas que: v 2 no es de la forma a/b • Omitimos la demostración por claridad, aún que ella avalaría el hecho experimental, que antes presentamos con números decimales. • Se conocen otros números, que si bien no se obtienen como resultado de intentar encontrar una solución a una raíz genérica, poseen sí infinitos decimales no periódicos. Ejemplos de estos pueden ser el conocido número pi = 3,141592654. . ., de la geometría y el número e = 2,718281828. . ., base de los logaritmos naturales También ellos se consideran números irracionales. Ampliación de los Campos Numéricos
26 Racionales (Q) Reales (R) Irracionales (I) El nombre de “Números Reales” es solo de origen histórico y no debe interpretarse, como “los únicos con existencia verdadera”. Ampliación de los Campos Numéricos
• • • • • 27 Consideraciones Generales • Al plantear las distintas variantes numéricas en la radicación, se omitió deliberadamente, considerar la posibilidad de tener un índice par y a la vez el radicando negativo. Tal combinación no tiene solución en el campo de los números reales. En efecto, si consideramos la v (-4), el resultado no puede ser 2 porque 2 ^ 2 = 4; tampoco será -2 por cuanto (-2) ^ 2 = 4 ( también positivo ). • Planteamos algunas raíces imposibles en el campo real y utilizamos conocidas reglas del algebra v-4 = v -1 . 4 = v -1 . v 4 = v-1 . 2 v-25 = v -1 . 25 = v -1 . v25 = v-1 . 5 v-81 = v -1 . 81 = v -1 . v81 = v-1 . 9 . . .etc.etc. . . En las expresiones anteriores, hemos partido de infinitas indeterminaciones, pero llegamos en todos los casos a una única indeterminación : v -1 Se designa a la expresión v -1 , con la letra “ i “ , tal que: i 2 = -1 . Este signo se llama unidad imaginaria. Como consecuencia, los resultados anteriores son respectivamente: i2; i5; i 9 ; . . .etc…etc. . .llamados números Imaginarios Ampliación de los Campos Numéricos
28 Reales (R) Complejos (C) Imaginarios El término Imaginario, es un nombre histórico poco afortunado, que ha permanecido desde sus orígenes. Por otra parte, todos los números introducidos, tanto los negativos, como los fraccionarios y los irracionales, exigen ser “imaginados”. Ampliación de los Campos Numéricos
• • • • • • 29 Consideraciones Generales Sabemos que todo número positivo tiene dos raíces cuadradas. Con la convención adoptada puede demostrarse que la raíz cuadrada de un negativo no es excepción: v -n = i vn y v -n = -i vn ; llamándose a la positiva, raíz cuadrada principal. El número Complejo se considera como la asociación de un real y un imaginario, formado por un par ordenado a ; b , donde a es la parte real y b es la parte imaginaria. Como tanto a como b, tienen sus respectivos signos, se acostumbra usar como separación entre a y b el signo de este último: así en general se anotará: a + bi (también se usa a + ib). Un real tiene la parte imaginaria nula: a + 0i. En un imaginario vale cero la parte real: 0 + bi . Las operaciones aritméticas con números complejos se definen de manera tal que no contradigan la operatoria conocida. No obstante no se profundizan estos temas pues corresponderían a un estudio mas profundo. Para finalizar, se puede afirmar que no hay ninguna exigencia matemática que haya hecho necesaria una nueva ampliación de los campos numéricos, mas allá de los Números Complejos. Ampliación de los Campos Numéricos
• • • • 30 Resumen Los números naturales permiten hacer sumas sin dificultad. La resta, primera operación inversa, resulta imposible en algunos casos. Para hacerla posible se introdujo el cero y los números negativos. Naturales. cero y negativos. conforman el conjunto de los números enteros. Los enteros no ofrecen dificultad para efectuar productos. El cociente, segunda operación inversa, carece de sentido en muchas circunstancias. .Las imposibilidades planteadas se resuelven definiendo los números fraccionarios. Enteros y fraccionarios. originan el nuevo conjunto de los números racionales. Con los racionales y algunas reglas algebraicas, se pueden realizar potenciaciones. La radicación, operación inversa, presenta también imposibilidades. Estas se solucionan con la introducción de los números irracionales. . Racionales e irracionales. forman conjuntamente los números reales. Pero la radicación real es imposible, cuando la raíz es de índice par y el radicando es negativo. Para satisfacer la imposibilidad planteada, se crearon los números imaginarios. Reales e imaginarios. completan el último escalón. formando los números compleios.. • Veamos el esquema general siguiente: Ampliación de los Campos Numéricos
44 Ampliación de los campos numéricos – Esquema general Naturales (N) Negativos (-N) Cero (0) Suma y Resta son operaciones Enteras. Resta imposible Enteros (Z) Fraccionarios(F) Suma, Resta, Producto y Cociente son operaciones Racionales. División Imposible Racionales (Q) Irracionales (I) Raíz Imposible Reales (R) Imaginarios Raíz par de Si agregamos Potencia y Radicación, tenemos operaciones Reales. Complejos (C) Negativo No existen mas ampliaciones Ampliación de los Campos Numéricos