Método de las series de Taylor para resolver ecuaciones diferenciales lineales y no lineales

Objetivo

Aplicar el método de Taylor para resolver ecuaciones diferenciales, que como se verá es la misma solución que proporciona la solución en series de potencias (o de coeficientes indeterminados). Esto es, si la solución en series de potencias arroja la solución en una formula cerrada, se tendrá entonces que la solución dada por los polinomios de Taylor también entregará dicha so-lución en forma cerrada.

Por lo tanto, en el caso de solución en puntos ordinarios, debería de enseñarse el método de desarrollo de Taylor, pues viene a ser mucho más cómodo para un estudiante de ecuaciones diferenciales, pues cuando se trabaja con solución mediante series de potencias, el acomodo de los índices de la sumatoria siempre es un poco confuso para ellos. Sin embargo ambos métodos son en esencia los mismos.

Veamos en que consiste cada método.

Ya que no hay funciones elementales para calcular la integral anterior, por lo tanto no se podría escribir la solución en forma cerrada y por consiguiente tendríamos que conformarnos con alguna aproximación numérica.

Apliquemos inicialmente el método de Taylor.

Reemplazando (1.4) y (1.5) en (1.1), encontramos

Según el autor, debe ser obvio que es más fácil obtener valores adicionales de los coeficientes de la serie utilizando el método de los coeficientes indetermina-dos, que utilizando el método de las series de Taylor. En consecuencia, dice el autor, usualmente se empleará el método de los coeficientes indeterminados, descartando entonces el método de las series de Taylor.

Pero si seguimos trabajando un poco en el ejemplo anterior, por el método de series de Taylor, tenemos

Se observa la siguiente ley de formación:

Nuevamente se obtiene la solución encontrada por series de potencias:

En conclusión, el ejemplo para mostrar que el método de la series de Taylor no produce la misma calidad de las soluciones, no es válido. Es más, el autor dice que el método de Taylor se adapta fácilmente a problemas de valor inicial, lo cual, como veremos más adelante, el método funciona si lo que se quiere resolver es una ecuación diferencial sin condiciones iniciales, con la misma calidad de las soluciones que el método de las series de potencias.

Solución en series de Taylor alrededor de un punto ordinario

Las ecuaciones diferenciales homogéneas lineales de segundo orden de la forma

La solución de esas ecuaciones, en general, no pueden expresarse en términos de funciones elementales familiares. Por lo cual utilizaremos los polinomios de Taylor.

Definición (punto ordinario)

Necesitaremos el próximo teorema.

Teorema (existencia de soluciones en series de Taylor)

incluso la ecuación de Legendre (2) , la ecuación de Ayry (3), la ecuación de Chebyshev (3), y la ecuación de Hermite (5 ).

En el ejemplo siguiente se dará la solución en series de Taylor para la ecuación (6), la cual la haremos, sin pérdida de generalidad para el caso

El ejemplo resultará ilustrativo, ya que mostrará como trabajar en todos los casos.

Ejemplo 2. Encuentre la serie de potencias en x para la solución general de

Solución:

Buscamos la solución general de la forma

Al derivar la ecuación (2.1) implícitamente con respecto a x, se obtiene:

Luego se encuentra que

Ejercicio.

Ejemplo 3. Encuentre la serie en series de potencias en x para la solución general de

Solución:

Ahora determinemos los coeficientes de las potencias impares de x:

A partir de (8) y (9) vemos que

El siguiente ejemplo muestra que, en muchos casos hay que conformarnos con encontrar un número finito de términos, ya que no se tiene una formula cerrada para los coeficientes de las soluciones en series de potencia.

Ejemplo 4. Resolver el problema de valor inicial mediante series de potencias

Solución:

Luego la solución del P.V.I viene dada por

Ejemplo 5. Determinar mediante los polinomios de Taylor la solución general de la ecuación diferencial

Solución

Encontremos los primeros términos.

Luego la solución del P.V.I viene dada por

Deberá observarse que hemos hallado dos series en una forma puramente for-mal, las cuales son convergentes para todo x finito. Para ver que ambas son li-nealmente independientes definimos lo siguiente:

Ejemplo 6. Resolver el problema de valor inicial

Relalizando las multiplicaciones

Así pues,

Método series de Taylor:

Buscamos soluciones de la forma

La misma solución dada por el método de los coeficientes indeterminados, pero encontrada de una forma más sencilla como puede verse.

En el ejemplo siguiente, encontraremos por el método de Taylor , la solución de una de las ecuaciones diferenciales importantes que aparecen en la física.

Ejemplo 7. (La ecuación de Legendre)

Encuentre la solución en series Taylor alrededor de x=0 para la solución general de

Solución:

Buscamos la solución general de la forma

donde

Al derivar la ecuación (7.1) implícitamente con respecto a x, se obtiene:

Derivando la ecuación (7.4) se tiene

Continuando el proceso, se obtiene la fórmula siguiente para k=1,2,…

O bien,

luego continuar…………………

Ejemplo 8. Resuelva la ecuación diferencial

Solución.

Por el método de Taylor.

Encontremos varios valores

Entonces

En nuestro próximo ejemplo encontraremos una situación en la cual el método de Taylor no da ninguna solución (como es el caso cuando se usa series de po-tencias).

Ejemplo 9. Considere la ecuación de Euler

En el próximo ejemplo, aplicaremos el método del desarrollo de Taylor para encontrar la solución de una ecuación diferencial, en donde los coeficientes de la ecuación (1) ya no son polinomios.

Ejemplo 10. Resolver el problema de valor inicial

Solución.

Nótese que en la ecuación diferencial todos los puntos son ordinarios.

Derivamos nuevamente (10.3) y reemplazamos

luego la solución general viene dada por

Realicemos este mismo ejemplo, pero ahora usando solución en series de potencias. Para esto necesitamos del siguiente teorema.

Ahora ya podemos seguir con el ejemplo anterior.

Suponemos la solución de la forma

Ahora aplicamos el teorema anterior, para escribir el producto de las dos series en la siguiente forma:

Sustituyendo esta expresión en (10.5), obtenemos

Deberá notarse que la solución obtenida por series de potencias es más pobre que la obtenida por Taylor.

Ejercicio . Encuentre una series de potencias para la solución general de la ecuación diferencial

Los próximos ejemplos tratan con ecuaciones diferenciales no lineales.

Ejemplo 11. Encuentre la solución en series de potencias y en series de Taylor del problema de valor inicial

Solución.

La ecuación diferencial (11.1) no es lineal, sin embargo, se conoce su solución mediante el uso de

separación de variables, a saber,

Método series de potencias:

Suponemos que la ec. (11.1) tiene como solución

Igualando los coeficientes, obtenemos

Método series de Taylor:

Repitiendo el proceso una vez

Por última vez

Notése que estamos en capacidad de de calcular en forma recurrente los coe-ficientes de la serie pero no somos capaces de expresar facilmente a_n explí-citamente como función de n. De nuevo no podemos enciontrar su radio de con-vergencia.

Pero si podemos calcular recurrentemente tantos coeficientes de la serie como sea necesario para producir una solución con una exactitud deseada.

Esto es lo que pasa cuando se trata de encontrar solución en series de proble-mas no lineales.

Ejemplo 11. Encuentre la solución en series de potencias y en series de Taylor del problema de valor inicial

Solución.

En este problema podemos encontrar su solución en forma analítica como sigue:

La ecuación (12.5) resulta ser lineal, se encuentra que el factor integrante viene a ser

Reemplazando la condición inicial para encontrar C, obtenemos

Ahora encontremos su solución por el método de las series de Taylor:

Repitiendo el proceso anterior

Repetiremos el proceso unas cuantas veces

Método de Descomposición de Adomian.

Se deja como ejercicio resolver el mismo problema de valor inicial con el método de las series de potencias.

Bibilografía

1. Charles E. Robertrs Jr., Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Un enfoque al cálculo numérico.Ed. Prentice-Hall Int. 1980.

2. Kreider, Kuller, Ostberg. Ecuaciones Diferenciales. Fondo Editorial Iberoamericano. 1973.

3. Derrick W. , Grossman S. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones. Fondo Editorial Iberoamericano. 1984

4. García J. O.,Villegas G. J. , Castaño B. J, Sánchez C., J.A. Ecuaciones Diferenciales. Fondo Editorial Universidad EAFIT, 2010.

Autor:

Profesor: José Albeiro Sánchez Cano

Departamento de Ciencias Básicas

Universidad EAFIT

2010