Programación lineal en el dinero, la comida y el amor

3a Reunión Académica de Profesores de Matemáticas en Aguascalientes Organizada por La Asociación Matemática en Aguascalientes A. C. Delegación Estatal de la Asociación Nacional de Profesores de Matemáticas 30 de enero de 2016 PROGRAMACIÓN LINEAL EN EL DINERO, LA COMIDA Y EL AMOR Autor M. I. David Gómez Salas

Objetivo: Contribuir a desarrollar la habilidad de representar los problemas de la vida real, mediante un sistema de ecuaciones que permita analizar y obtener soluciones al problema de la vida real.

En este caso se presenta como ejemplo el uso de la programación lineal en la solución y análisis de algunos problemas de la vida cotidiana y/o profesional. Se formulan tres tipos de problemas que pueden presentarse en la vida real, como sistemas de programación lineal. Una vez alcanzado este propósito se obtienen las soluciones aplicando algún programa de computo de los que existen en el mercado. Un programa de fácil acceso es el comando Solver de Excel.

Ejemplos: 1.- Maximizar la ganancias de las inversiones 2,- Minimizar costos de las comidas 3.- Maximizar la felicidad en una relación de amor

1- MAXIMIZAR LAS GANANCIAS EN LAS INVERSIONES

Se tienen 400 millones para invertir en 4 opciones. Unas inversiones se pueden hacer en el presente y otras a futuro.

Opciones: 1.- Por cada peso devuelve 2.75 pesos, 2 años después 2.- Por cada peso devuelve 3.20 pesos, 3 años después 3.- Por cada peso devuelve 3.30 pesos, 3 años después. Disponible al inicio del año 2. 4.- Por cada peso devuelve 2.25 pesos, 1 año después. Disponible al inicio del año 4.

Sea: Xij.- El dinero invertido en la opción i en el año j Yj.- El dinero no invertido en el año j

Representación gráfica de inicio (depósito) y fin de la inversión(retiro): El objetivo es Maximizar z = 2.75X11+2.75X12+2.75X13+3.2X21+3.2X22+3.3X32+2.25X44

Restricciones: X11 + x21 + Y1 = 400 …………………………………………Año 1 X12 + X22 + X32 + Y2 = Y1 …………………………………………Año 2 X13 + Y3 = Y2 + 2.75X11……………………………Año 3 X44 + Y4 = Y3 + 2.75X12+3.2X21………………..Año 4 X11 + x21 + Y1 X12 + X22 + X32 – Y1 + Y2 X13 – 2.75X11 – Y2+ Y3 X44 – 2.75X12 – 3.2X21- Y3+ Y4 = 400 = 0 = 0 = 0

PRESENTACIÓN DEL SISTEMA PARA RESOLVER EN SOLVER DE EXCEL

Ejemplo de planeación de inversiones Monto invertido en la inversión tipo i, en el año j x11 x12 x13 x21 x22 x32 x44 y1 y2 y3 y4 SP Año1 1 1 1 0 = 400 Año2 1 1 1 -1 1 0 = 0 Año3 – 2.75 1 -1 1 0 = 0 Año4 – 2.75 – 3.2 1 -1 1 0 = 0 Tasa 2.75 2.75 2.75 3.2 3.2 3.3 2.25 0 Coeficiente de xij 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Valor de la función objetivo PRESENTACIÓN DE LA SOLUCIÓN EN HOJA DE EXCEL

Ejemplo de planeación de inversiones Monto invertido en la inversión tipo i, en el año j x11 x12 x13 x21 x22 x32 x44 y1 y2 y3 y4 SP Año1 1 1 1 400 = 400 Año2 1 1 1 -1 1 0 = 0 Año3 – 2.75 1 -1 1 0 = 0 Año4 – 2.75 – 3.2 1 -1 1 0 = 0 Tasa 2.75 2.75 2.75 3.2 3.2 3.3 2.25 4160 Coeficiente de xij 0 0 0 400 0 0 1280 0 0 0 0 Valor de la función objetivo

Z = 400×2.75 +1280×2.25 = 1280+2880 = 4160

INFORME DE RESPUESTAS EN SOLVER DE EXCEL

Celda objetivo Celda Nombre Igual $M$10 Tasa SP 4160 Celda Celdas cambiantes Nombre Igual Límite Celda inferior objetivo Límite Celda superior objetivo $B$11 $C$11 $D$11 $E$11 $F$11 $G$11 $H$11 $I$11 $J$11 $K$11 $L$11 x11 x12 x13 x21 x22 x32 x44 y1 y2 y3 y4 0 0 0 400 0 0 1280 0 0 0 0 0 0 0 400 0 0 1280 0 0 0 0 4160 4160 4160 4160 4160 4160 4160 4160 4160 4160 4160 0 0 0 400 0 0 1280 0 0 0 0 4160 4160 4160 4160 4160 4160 4160 4160 4160 4160 4160

2- EJEMPLO DE LA DIETA

La naranja cuesta 4 pesos/kilo y tiene 12 gramos de vitamina C y un gramo de vitamina A La uva cuesta 60 pesos/kilo y tiene 0 gramos de vitamina C y 26 gramos de vitamina A La zanahoria cuesta 12 pesos/kilo y tiene 3 gramos de vitamina C y 10 gramos de vitamina A La lechuga cuesta 4 pesos/kilo y tiene 2 gramos de vitamina C y 4 gramos de vitamina A

Se desea preparar una ensalada para 10 personas que contenga en total cuando menos 10 gramos de vitamina C y 12 gramos de vitamina A.

x1 = Kilos de naranja x2 = Kilos de uva x3 = Kilos de zanahoria x4 = Kilos de lechuga

Minimizar costos Z1 = 4×1 + 60×2 + 12×3 + 4×4

Restricciones: 12×1 + 0x2 + 3×3 + 2×4 x1 + 26×2 + 10×3 + 4×4 = 10 = 12 x1 x2 x3 x4 x1 = 0; x2 = 0; x3 = 0; x4 = 0

PRESENTACIÓN DEL SISTEMA PARA RESOLVER EN SOLVER DE EXCEL

Ejemplo: El problema de la dieta Naranja Uva Zanahoria Lechuga

Suma producto Vitamina A 12.00 0.00 3.00 2.00 0 = 10.00 = 12.00 0 0.00 Vitamina C Costos Solución 1.00 26.00 4.00 60.00 0.00 0.00 10.00 12.00 0.00 4.00 4.00 0.00 Valor de la función objetivo

PRESENTACIÓN DE LA SOLUCIÓN EN HOJA DE EXCEL

Ejemplo: El problema de la dieta Naranja Uva Zanahoria Lechuga

Suma x1 x2 x3 Vitamina A 12.00 0.00 3.00 x4 2.00 producto 10 = 10.00 = 12.00 12 13.04 Vitamina C 1.00 26.00 Costos 4.00 60.00 Solución 0.35 0.00 10.00 12.00 0.00 4.00 4.00 2.91 Valor de la función objetivo

INFORME DE RESPUESTAS EN SOLVER DE EXCEL

Celda objetivo (Mínimo) Celda Nombre Valor original Valor final 0.000 13.043 $F$6 Costos

Celdas cambiantes Celda Nombre Valor original Valor final $B$7 Solución x1 0.00 0.35 $C$7 Solución x2 0.00 0.00 $D$7 Solución x3 0.00 0.00 $E$7 Solución x4 0.00 2.91

2A- LAS VITAMINAS SOLUBLES (DUAL DEL PROBLEMA DE LA DIETA)

Un laboratorio farmacéutico desea determinar el precio máximo a que podría vender la vitamina C y vitamina A, solubles. El dueño del restaurante desea que no sea más caro que comprar las frutas como fuente de vitaminas y que le resulte más simple agregar las 10 gramos de vitamina C y 12 gramos de vitamina A; al agua para 10 personas.

El laboratorio sabe que: La naranja cuesta 4 pesos/kilo y tiene 12 gramos de vitamina C y un gramo de vitamina A La uva cuesta 60 pesos/kilo y tiene 0 gramos de vitamina C y 26 gramos de vitamina A La zanahoria cuesta 12 pesos/kilo y tiene 3 gramos de vitamina C y 10 gramos de vitamina A La lechuga cuesta 4 pesos/kilo y tiene 2 gramos de vitamina C y 4 gramos de vitamina A

xC = Precio de la vitamina C en $/g xA = Precio de la vitamina A en $/g

Maximizar precios de venta Z2 = 10xc + 12xA

Restricciones para que no prefieran comprar naranja, uva, zanahoria o lechuga : 12xC + xA = 4 0xC + 26xA 3xC + 10xA = 60 = 12 2xC + 4xA = 4 xC = 0; xA = 04

PRESENTACIÓN DEL SISTEMA PARA RESOLVER EN SOLVER DE EXCEL

El problema de las vitaminas solubles = = = = 4.00 60.00 12.00 4.00 Suma de productos 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Vitamina Vitamina C A

Xc Xa Naranja 12.00 1.00 Uva 0.00 26.00 Zanahoria 3.00 10.00 Lechuga 2.00 4.00 Requerimientos 10.00 12.00 $/g 0.00 0.00 Valor de la función objetivo

PRESENTACIÓN DE LA SOLUCIÓN EN HOJA DE EXCEL

El problema de las vitaminas solubles = = = = 4.00 60.00 12.00 4.00 Suma de productos 4.00 22.61 9.48 4.00 13.04 Vitamina Vitamina C A

Xc Xa Naranja 12.00 1.00 Uva 0.00 26.00 Zanahoria 3.00 10.00 Lechuga 2.00 4.00 Requerimientos 10.00 12.00 $/g 0.26 0.87 Valor de la función objetivo

INFORME DE RESPUESTAS EN SOLVER DE EXCEL

Celda objetivo (Máximo) Celda Nombre Valor original Valor final 0.00 13.04 $D$10 Requerimientos Suma de productos

Celdas cambiantes Nombre Celda $B$11 $/g Xc $C$11 $/g Xa Valor original 0.00 0.00 Valor final 0.26 0.87 Restricciones Celda Nombre Valor de la celda Fórmula Estado Divergencia $D$6 Naranja Suma de productos 4.00 $D$6< =$F$6 Obligatorio 0 $D$7 $D$8 Uva Suma de productos Zanahoria Suma de productos 22.61 9.48 $D$7< =$F$7 $D$8< =$F$8 Opcional 37.39130435 Opcional 2.52173913 $D$9 Lechuga Suma de productos 4.00 $D$9< =$F$9 Obligatorio 0

Primal: Z1 = 4×1 + 60×2 + 12×3 + 4×4 Z1 = 4(0.35) + 0x2 + 0x3 + 4(2.91) Z1 = 1.4 + 11.64 Z1 = 13.04

Minimizar costos Z1 = 4×1 + 60×2 + 12×3 + 4×4

Restricciones: 12×1 + 0x2 + 3×3 + 2×4 = 10 x1 + 26×2 + 10×3 + 4×4 = 12 x1 = 0; x2 = 0; x3 = 0; x4 = 0 Dual: Z2 = 10xc + 12xA Z2 = 10(0.26) + 12(0.87) Z2 = 2.6 + 10.44 Z2 = 13.04

Maximizar precios de venta Z2 = 10xc + 12xA

Restricciones: 12xC + xA = 4 0xC + 26xA = 60 3xC + 10xA = 12 2xC + 4xA = 4 xC = 0; xA = 04

3 – LA FELICIDAD DE PEPE

Pepe desea maximizar la felicidad mensual que le producen los abrazos y besos de Marisol, realizando el menor esfuerzo. En una escala de calificación de cero a cinco. Pepe califica con 3 unidades de felicidad un abrazo y con 5 unidades de felicidad un beso.

1.- Marisol premia a Pepe con abrazo o beso de acuerdo los méritos siguientes: — 1 visita a casa + 3 acompañamientos a la Escuela = Un abrazo. — 2 acompañamientos al Centro Comercial + 2 acompañamientos a la Escuela = Un beso.

2.- El padre de Marisol solo permite que en un mes Pepe la visite a su casa un máximo de 4 veces; la acompañe al Centro Comercial un máximo de 12 veces; y la acompañe a la escuela un máximo de 18 veces.

3.- Un acompañamiento a la Escuela solo se puede contabilizar para el abrazo o para el beso, no para ambos.

4.- Cada mes la contabilidad se inicia a partir de cero. No se conservan saldos del mes anterior.

Preguntas, con la menor pérdida de energía: ¿Cual es el máximo de unidades de felicidad puede obtener Pepe, al mes? ¿Cuántas veces debe visitarla a su casa? ¿Cuántas veces debe acompañarla al centro comercial? ¿Cuántas veces debe acompañarla a la escuela? ¿Cuántos abrazos y besos recibirá Pepe?

Sea x1 el número de abrazos x2 el numero de besos El objetivo es Maximizar z = 3×1 +5×2

Sujeto a la restricciones siguientes: x1 + 0x2 = 4 ….. Casa 0x1 + 2×2 = 12 ….. Centro Comercial 3×1 + 2×2 = 18 ….. Escuela

PRESENTACIÓN DEL SISTEMA PARA RESOLVER EN SOLVER DE EXCEL

Ejemplo: La felicidad de Pepe Abrazos(x1) Besos(x2) Sumaproducto 1.00 0.00 0.00 0.00 2.00 0.00 3.00 2.00 0.00 = 4.00 = 12.00 = 18.00 Casa C. Comercial Escuela Unidades de 0.00 felicidad Renglón para solución 3.00

0.00 5.00

0.00

SOLUCIÓN OBTENIDA EN SOLVER DE EXCEL

Ejemplo: La felicidad de Pepe Abrazos(x1) Besos(x2) Sumaproducto Casa C. Comercial Escuela 1.00 0.00 0.00 2.00 3.00 2.00 2.00 12.00 18.00 = 4.00 = 12.00 = 18.00 Unidades de 36.00 felicidad Solución 3.00 2.00 5.00 6.00 Visitas a casa = 2 Acompañamientos al Centro Comercial = 12 Acompañamientos a la Escuela = 18 Abrazos = 2 Besos = 6 Felicidad = 36 unidades de felicidad

RESULTADOS DE EXCEL

Celda objetivo (Máximo) Celda Nombre Valor original Valor final $D$9 Unidades de felicidad Sumaproducto 0.00 36.00 Celdas cambiantes Celda Nombre Valor original Valor final 0.00 0.00 2.00 6.00 $B$10 Solución Abrazos(x1) $C$10 Solución Besos(x2)

Restricciones Celda Nombre Valor de la celda Fórmula Estado Divergencia $D$6 Casa Sumaproducto 2.00 $D$6< =$F$6 Opcional 2 $D$7 C. Comercial Sumaproducto $D$8 Escuela Sumaproducto 12.00 $D$7< =$F$7 Obligatorio 18.00 $D$8< =$F$8 Obligatorio 0 0

3A- EL SEGUNDO AMOR

Tiempo después Marisol tiene nuevo novio, Juan y la visitará a su casa 4 veces, la acompañará al centro comercial 12 veces y la acompañará a la escuela 18 veces. En su relación con Pepe, Marisol no determinó cuanto le costaba, en unidades de felicidad, cada visita a su casa, acompañamiento al centro comercial y acompañamiento a la escuela. Supo que para Pepe un abrazo equivalía a 3 unidades de felicidad; y un beso equivalía a 5 unidades de felicidad. Marisol desea conocer cuanta felicidad produce cada visita a su casa, acompañamiento al centro comercial y al acompañamiento a la escuela. En el fondo Marisol sigue amando a Pepe, por eso desea darle lo menos posible de amor a Juan, pero que Juan reciba igual o un poco más de felicidad que la que recibió Pepe.

Sean: x1 Unidades de felicidad por visita a casa x2 Unidades de felicidad por acompañamiento al Centro comercial x3 Unidades de felicidad por acompañamiento a la Escuela

El objetivo es Minimizar z = 4×1 +12×2+ 18 x3

Sujeto a la restricciones siguientes: x1 + 0x2 + 3×3 0x1 + 2×2 + 2×3 = 3 ….. Abrazo = 5 ….. Beso PRESENTACIÓN DEL SISTEMA PARA RESOLVER EN SOLVER DE EXCEL

Ejemplo: El segundo amor x1 Casa, C Comercial, x2 Escuela, x3 Sumaproducto Abrazo Beso 1 0 3 0 2 2 0.00 0.00 = 3 = 5 Frecuencia mensual 4 12 18 0.00 Renglón para solución 0.00 0.00 0.00 SOLUCIÓN EN SOLVER DE EXCEL

Ejemplo: El segundo amor Casa, x1 C Comercial, x2 Escuela, x3 Sumaproducto Abrazo Beso 1 0 3 0 2 2 3.00 5.00 = 3 = 5 Frecuencia 36.00 mensual Solución 4 0.00 12 1.50 18 1.00