Introducción.-
Muchos estudios se basan en el conteo de las veces que se presenta un evento dentro de un área de oportunidad dada. El área de oportunidad es una unidad continua o intervalo de tiempo o espacio (volumen o área) en donde se puede presentar más de un evento. Algunos ejemplos serían los defectos en la superficie de un refrigerador, el número fallas de la red en un día, o el número de pulgas que tiene un perro. Cuando se tiene un área de oportunidad como éstas, se utiliza la distribución de Poisson para calcular las probabilidades si:
– Le interesa contar las veces que se presenta un evento en particular dentro de un área de oportunidad determinada. El área de oportunidad se define por tiempo, extensión, área, volumen, etc.
– La probabilidad de que un evento se presente en un área de oportunidad dada es igual para todas las áreas de oportunidad.
– El número de eventos que ocurren en un área de oportunidad es independiente del número de eventos que se presentan en cualquier otra área de oportunidad.
– La probabilidad de que dos o más eventos se presenten en un área de oportunidad tiende a cero conforme esa área se vuelve menor.
Fórmula.-
La distribución de Poisson tiene un parámetro, llamado (letra griega lambda minúscula), que es la media o el número esperado de eventos por unidad. La varianza de la distribución de Poisson también es igual a l , y su desviación estándar es igual a
. El número de eventos X de la variable aleatoria de Poisson fluctúa desde 0 hasta infinito.
Donde:
P(X) = Probabilidad de X eventos en un área de oportunidad
= Número de eventos esperados
X = Número de eventos
e = Constante matemática base de los logaritmos naturales aproximadamente igual a 2718281828….
Este número es de gran importancia, tan sólo comparable a la del número π (pi), por su gran variedad de aplicaciones. El número e suele definirse como el límite de la expresión:
(1 + 1/n)n
Cuando n tiende hacia el infinito. Algunos valores de esta expresión para determinados valores de la n se muestran en la tabla siguiente:
Observando la columna de la derecha de la tabla anterior, se puede ver que a medida que n crece el valor de la expresión se aproxima, cada vez más, a un valor límite. Este límite es 2,7182818285….
Ejemplos ilustrativos
1) Suponga una distribución de Poisson. Si = 1 , calcular P(X= 0)
Solución:
Aplicando la fórmula se obtiene:
También se puede obtener con lectura de la tabla de probabilidades de Poisson
El cálculo de P(X = 0)con = 1 en Excel se realizan de la siguiente manera:
a) Se inserta la función POISSON
b) Clic en Aceptar. En la ventana de Argumentos de la función, en X seleccionar B2 en Media escribir o seleccionar B1 y en Acumulado escribir Falso.
c) Clic en Aceptar
Los cálculos en Winstats se muestran en la siguiente figura:
Los cálculos en GeoGebra se muestran en la siguiente figura:
Nota:
Escoger la opción Poisson[ < Media >, < Valor de Variable >, < Acumulativa Booleana > ]
Escribir 1 en < Media >, 0 en < Valor de Variable >, false en < Acumulativa Booleana >
Para P(X= n), siendo n el número de eventos o ensayos, en < Acumulada Booleana > se escribe false
Para P(X= n), siendo n el número de eventos o ensayos, en < Acumulada Booleana > se escribe true
2) Suponga una distribución con = 5. Determine P(X = 10)
Solución:
P(X ≥ 10) = 1 – P(X ≤ 9)
P(X ≤ 9) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + … + P(X = 9)
Aplicando la fórmula o con lectura en la tabla de la distribución de Poisson se obtiene:
P(X ≤ 9) = 0,0067 + 0,0337 + 0,0842 + 0,1404 + 0,1755 + 0,1755 +0,1462 + 0,1044 +0,0653 + 0,0363
P(X ≤ 9) = 0,9682
Entonces:
P(X ≥ 10) = 1 – P(X ≤ 9) = 1 – 0,9682 = 0,0318
Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:
Los cálculos en Winstats se muestran en la siguiente figura:
Autor:
Mario Orlando Suárez Ibujes