1 TEORÍA DE REDES. CIRCUITOS LINEALES Sentido convencional de la corriente: Supondremos que la corriente eléctrica en los circuitos lineales que vamos a estudiar está formada por un flujo de cargas positivas que se origina en el polo positivo de las fuentes y se mueven a través de los elementos conductores del circuito hasta alcanzar el polo negativo de las fuentes. Símbolo de resistencia
2 Rama: grupo de componentes de un circuito por los que circula la misma corriente. Nudo / nodo: punto de conexión de dos o más ramas. Red: Sistema de conductores que forman un circuito cerrado. Lazo: Cualquier trayectoria cerrada en una red. Malla: Lazo que no contiene otra trayectoria cerrada en su interior TERMINOLOGÍA BÁSICA DE LA TEORÍA DE REDES Resistencia Fuente de voltaje Fuente de corriente
3 LEYES DE KIRCHHOFF Ley de Kirchhoff de la corriente. LKC: En cualquier instante, la suma de todas las corrientes que concurren en un nudo es igual a cero. Ley basada en la conservación de la carga (ecuación de continuidad): cuando el circuito funciona en régimen estacionario, la carga no se acumula en ningún punto del mismo. Para su aplicación damos un signo a las corrientes entrantes y el signo opuesto a las corrientes salientes. Ley de Kirchhoff del voltaje. LKV: La suma de las caídas de tensión a lo largo de cualquier trayectoria cerrada debe ser igual a cero en cualquier instante. Definición de caída de tensión. La caída de tensión V12 entre dos puntos de un circuito (potencial del punto 1 respecto al punto 2) se define como la energía (en julios) disipada cuando una carga de +1 C circula entre el punto 1 y el punto 2. Ley basada en la conservación de la energía: la energía disipada en las resistencias debe ser suministrada por las fuentes para mantener constante el flujo de cargas. Ejemplo: Si V12 = +5V, la tensión V2 es menor que V1 ? se disipan 5 J cuando + 1C circula desde 1 ? 2 Si V12 = -5V, la tensión V2 es mayor que V1 ? la energía de +1 C de carga se incrementa en 5 J cuando circula desde 1 ? 2. Esto implica que debe haber fuentes que suministren tal energía.
4 LEYES DE KIRCHHOFF (Cont.) Reglas de aplicación 1. En una resistencia hay una caída de tensión positiva en el sentido de la corriente cuyo valor es i·R (ley de Ohm). 2. En una batería (o fuente de c.c.) hay una caída de tensión positiva (igual a su valor V0) en el sentido del terminal + al – con independencia del sentido de la corriente. (Gp:) Resto del circuito +9 V -9 V Ejemplo: medidas con polímetros ¿Lectura? ? ¿Lectura? Ejemplo2 -4.5 V -9 V (Gp:) Mismo potencial (Gp:) Mismo potencial
5 FÓRMULAS DE LOS DIVISORES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE Divisor de tensión Formado por un conjunto de resistencias en serie (circula la misma corriente por todas ellas, la resistencia equivalente es igual a la suma de las resistencias). Datos conocidos aplicamos LKV para calcular i Cálculo de caídas de tensión a través de las resistencias (ley de Ohm) Caída de tensión a través de fuente: Intensidad calculada a partir de LKV Fórmula del divisor de tensión: sirve para calcular la caída de tensión (voltaje) en cada resistencia. En general: para la resistencia Rk Forma alternativa de representar el circuito: cortado a tierra. Símbolo de tierra. Representa el potencial más bajo, convencionalmente igual a cero. Resistencia en serie:
6 Divisor de corriente Formado por un conjunto de resistencias en paralelo (todas las resistencias están sometidas a la misma diferencia de potencial, y circula una corriente diferente por cada una de ellas). Resistencia equivalente: el inverso de la resistencia de la asociación en paralelo es igual a la suma de los inversos de las resistencias que lo forman. FÓRMULAS DE LOS DIVISORES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE Datos conocidos Resistencia paralelo ? Obtenemos RP La d.d.p. entre los extremos de cada resistencia paralelo es V0. Ley de Ohm: Circuito equivalente LKV: (Gp:) igualamos Fórmula del divisor de corriente para la resistencia Rk Obsérvese que se verifica LKC El mismo circuito cortado a tierra
7 FÓRMULAS DE LOS DIVISORES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE. EJEMPLO Determinar la corriente y la caída de tensión en cada una de las resistencias del circuito siguiente. LKV: Las resistencias de 2 k? y 3 k? forman un divisor de corriente en el que la corriente entrante es i = 3 mA. Cálculo de caídas de tensión Esta es la caída de tensión en las resistencias de 2 k? y 3 k? Dibujar el mismo circuito cortado a tierra Esta es la corriente en la resistencia de 2.8 k?
8 FUENTES DE TENSIÓN o VOLTAJE Fuente ideal de tensión o voltaje (independiente) Es aquella que mantiene siempre la misma diferencia de potencial entre sus terminales, igual a la fuerza electromotriz ? de la fuente, independientemente de la corriente que circula por ella y de las tensiones en otras partes del circuito. Fuente real de tensión o voltaje Excepto cuando se encuentra en circuito abierto, toda fuente real de tensión sufre una pérdida de voltaje entre sus terminales debido a que dentro de la misma existe resistencia al paso de la corriente y por lo tanto una parte de la energía que la fuente puede suministrar por unidad de carga se invierte en que la corriente circule a través de la propia fuente. Una fuente real puede considerarse como una fuente ideal de tensión ? conectada en serie con una resistencia interna r. LKV: Caída tensión Fuerza electromotriz (f.e.m.) de una fuente Se define como el trabajo que la fuente es capaz de realizar sobre la unidad de carga positiva para transportarla del polo negativo hasta el positivo a través de su interior. En el S.I. se expresa en J/C, es decir, en voltios. Fuente de tensión o voltaje dependiente Aquella cuyo valor de tensión depende de las tensiones o corrientes de otras partes del circuito, (No serán consideradas en este tema). Una fuente de voltaje es de mayor calidad cuanto menor sea su resistencia interna r. Potencia suministrada por una fuente
9 Fuente ideal de corriente (independiente) Es un elemento que suministra a la rama en la que se encuentra conectado una corriente constante independientemente de la diferencia de potencial entre sus terminales.. Fuente real de corriente Una fuente real de corriente puede considerarse como la combinación de una fuente ideal con una resistencia r en paralelo, de modo que una fracción de la corriente suministrada por la fuente de corriente ideal no llega a salir al circuito exterior. La calidad de una fuente de corriente es tanto mayor cuanto mayor sea el valor de la resistencia r. FUENTES DE CORRIENTE Circuito exterior Ejemplo Equivalente: 4R
10 CIRCUITO ABIERTO Y CORTOCIRCUITO Circuito abierto: puede considerarse como una conexión con resistencia infinita. Por él no circula corriente. Cortocircuito: es una unión carente de resistencia. Por lo tanto entre sus terminales no hay caída de tensión. APARATOS DE MEDIDA: VOLTÍMETROS Y AMPERÍMETROS Voltímetro: destinado a medir las caídas de tensión entre dos puntos de un circuito. Se conecta en paralelo y lo ideal es que el aparato se comporte como un circuito abierto (es decir, su resistencia interna RV sea muy grande), para que por él no circule ninguna corriente que pueda alterar la medida de tensión entre los dos puntos conectados a, b. Circuito Voltímetro Amperímetro: destinado a medir la corriente que circula por una rama de un circuito. Se conecta en serie y lo ideal es que el aparato se comporte como un cortocircuito (es decir, su resistencia interna RA sea lo menor posible), para que pueda medirse la corriente circulante sin alterarla (sin introducir una caída de tensión extra que afecte a su valor). Circuito Rama Amperímetro
11 SUPERPOSICIÓN En un circuito lineal donde existen diversas fuentes de voltaje y/o de corriente, las intensidades circulantes y las caídas de tensión en los distintos elementos del circuito pueden calcularse por adición de las contribuciones de cada una de las fuentes en el elemento considerado. + ? Para llevar a cabo el cálculo de la contribución una fuente en particular, se considerará que el resto de fuentes de voltaje se sustituyen por un cortocircuito (consideradas ideales, su resistencia interna es cero), y el resto de fuentes de corriente se sustituyen por un circuito abierto (consideradas ideales, su resistencia interna es infinita). Ejemplo. Calcular la corriente que circula por la resistencia de 200 ? y la caída de tensión entre los terminales de la fuente de corriente. La contribución a la corriente en cada rama y a la caída de tensión en cada elemento del circuito es la suma de las contribuciones de los siguientes circuitos simples, constando cada uno de una sola fuente: Cálculo i1: divisor de corriente Cálculo i2: LKV y luego divisor corriente Cálculo i3: LKV Caída de tensión entre los terminales de la fuente de corriente: la misma que en la rama situada más a la derecha.
12 TEOREMA DE THEVENIN En cualquier circuito lineal, toda combinación de resistencias, fuentes de voltaje y fuentes de corriente (red lineal), vista desde un par de terminales a y b, puede sustituirse por: * Una fuente de voltaje VTh igual al voltaje medido en circuito abierto entre los terminales a, b. * Una resistencia en serie con la fuente anterior cuyo valor es la resistencia equivalente entre a y b. Red lineal Resto circuito Importante: este teorema implica que cuando una red lineal es sustituida por su equivalente Thèvenin, las corrientes y voltajes del resto del circuito no sufren alteración. Resistencia equivalente Rab: para su cálculo se determina la resistencia equivalente desde los terminales a, b, después de sustituir las fuentes de voltaje por cortocircuitos y las fuentes de corriente por circuitos abiertos. Ejemplo: determinar el equivalente Thévenin entre los terminales a, b del circuito (véase resultado ejemplo anterior) (Gp:) ? (Gp:) Resto circuito (Gp:) Circuito (Gp:) ¿Interpretación?
13 TEOREMA DE NORTON En cualquier circuito lineal, toda combinación de resistencias, fuentes de voltaje y fuentes de corriente (red lineal), vista desde un par de terminales a y b, puede sustituirse por: * Una fuente de corriente ideal igual a la corriente de cortocircuito iCC entre los terminales a, b. * Una resistencia en paralelo con la fuente anterior cuyo valor es la resistencia equivalente entre a y b. Red lineal Resto circuito Importante: este teorema implica que cuando una red lineal es sustituida por su equivalente Norton, las corrientes y voltajes del resto del circuito no sufren alteración. (Gp:) Resto circuito La corriente de cortocircuito es la corriente que circularía a través de una conexión de resistencia cero que conectase los terminales a y b, cuyo valor está dado por iCC = VTh/Rab. La resistencia equivalente Rab se calcula del mismo modo indicado en el apartado de equivalente Thèvenin. Ejemplo: determinar el equivalente Norton entre los terminales a, b del circuito Thèvenin (Gp:) Cortocircuito (Gp:) Circuito (Gp:) CC (Gp:) i
14 CONVERSIONES ENTRE FUENTES DE VOLTAJE E INTENSIDAD Conversión de fuente de corriente y resistencia en paralelo (Gp:) Resto circuito Aplicando el teorema de Thévenin, para el resto del circuito esto es equivalente a Resto circuito Si se cumple Resto circuito Si se cumple Aplicando el teorema de Norton, para el resto del circuito esto es equivalente a Conversión de fuente de voltaje y resistencia en serie (Gp:) Resto circuito
15 MÉTODO DE MALLAS Es un algoritmo basado en la LKV que, ilustrado con un ejemplo, se aplica siguiendo estos pasos: 1. Se numeran las mallas, se elige arbitrariamente un sentido, horario o antihorario, y se asigna a cada malla del circuito a resolver una corriente ficticia, denominada corriente de malla, la cual circula en el sentido elegido (el mismo para todas las mallas del circuito a resolver). 2. Siendo n el número de mallas, se construye una matriz cuadrada de resistencias colocando en la diagonal principal la suma de resistencias de cada malla, y siendo los elementos fuera de la diagonal principal los opuestos de las sumas de las resistencias compartidas por dos mallas adyacentes (es decir, las situadas en la rama que limita ambas mallas). Obsérvese que la matriz de resistencias así construida es simétrica porque las resistencias compartidas por la malla i y la malla j aparecen tanto en la columna j de la fila i como en la fila i de la columna j. (Gp:) Compartida mallas 2 y 3 (Gp:) Compartida mallas 1 y 3 (Gp:) Compartida mallas 1 y 2 (Gp:) Compartida mallas 2 y 1 (Gp:) Compartida mallas 3 y 1 (Gp:) Compartida mallas 3 y 2 (Gp:) Malla 1 (Gp:) Malla 2 (Gp:) Malla 3
16 MÉTODO DE MALLAS (CONTINUACIÓN) 3. Se construye un vector de fuerzas electromotrices que contiene un elemento por cada malla. Cada uno de estos elementos es la suma algebraica de los valores todas las fuentes que existan en el contorno de dicha malla, figurando la f.e.m. de cada fuente con signo + cuando al recorrer la malla en el sentido arbitrariamente elegido se entra en ella por el polo negativo, y signo – cuando se entra en ella por el polo positivo. 4. Las corrientes de malla se calculan resolviendo la siguiente ecuación matricial: donde las incógnitas son las componentes del vector de las corrientes de malla (iM), dado por Para resolver el sistema calculamos los siguientes determinantes: Solución:
17 MÉTODO DE MALLAS (CONTINUACIÓN) Pregunta 2. ¿Tiene alguna ventaja definir las ficticias corrientes de malla para resolver el circuito, en lugar de calcular la corriente en cada rama aplicando directamente las leyes de Kirchhoff?. Pregunta 1. Demostrar sobre el ejemplo anterior, por aplicación directa de las leyes de Kirchhoff, que el algoritmo indicado conduce al resultado correcto para las corrientes de malla. Ejemplo numérico. Resolver el circuito siguiente. Calcular qué corriente circula por cada fuente y determinar la caída de tensión entre A y B. Matriz de resistencias Determinantes Vector f.e.m Ecuación matricial del sistema (Sentido de la corriente de malla opuesto al que supusimos) Sentido opuesto a iM1 Sentido opuesto a iM1 (Gp:) Sentido real
18 Una red lineal está formada por la fuente de corriente, fuentes de voltaje y resistencias que aparecen en el siguiente diagrama de circuito. Utilizando la conversión entre fuentes de intensidad y fuentes de voltaje para aplicar después el método de mallas, se pide: (a) Determinar la corriente circulante por la resistencia de 2.2 k? y la d.d.p. en la de 0.05 k?. ¿Merece algún comentario el resultado? (b) Calcular el equivalente Thévenin entre los terminales de la resistencia de 2.2 k?. EJEMPLO (c) Si sustituimos la resistencia de 0.05 k? por otra de 5.05 k?, dejando invariable todos los demás elementos del circuito, ¿cómo se vería afectada la corriente que circula por la resistencia de 2.2 k? y la d.d.p. entre sus extremos? ¿Qué corriente circula por la resistencia de 5.05 k?? ¿Qué d.d.p. hay en la fuente de corriente?
19 Mallas: La fuente de corriente proporciona 1200 mA. Pero al ser su resistencia en paralelo tan pequeña, casi toda la corriente (1183 mA) se desvía a través de ésta y no está disponible para el resto del circuito. EJEMPLO. SOLUCIÓN. Corrientes malla Resistencia 2.2 k?: (a) Convertimos la fuente de corriente y su resistencia paralelo en fuente de voltaje / resistencia serie (a) Determinar la corriente circulante por la resistencia de 2.2 k? y la d.d.p. en la de 0.05 k?.
20 (b) Calcular el equivalente Thévenin entre los terminales de la resistencia de 2.2 k?. EJEMPLO. SOLUCIÓN. Resistencia entre C y D Cortocircuitamos las fuentes de voltaje y abrimos la fuente de corriente Tres resistencias en paralelo Voltaje Thèvenin: es la d.d.p. medida por un voltímetro ideal entre los terminales C y D. Puesto que ya calculamos antes la corriente circulante por la resistencia de 2.2 k?, podemos determinar inmediatamente dicho voltaje.
21 (c) Si sustituimos la resistencia de 0.05 k? por otra de 5.05 k?, dejando invariable todos los demás elementos del circuito, ¿cómo se vería afectada la corriente que circula por la resistencia de 2.2 k? y la d.d.p. entre sus extremos? ¿Qué corriente circula por la resistencia de 5.05 k?? ¿Qué d.d.p. hay en la fuente de corriente? EJEMPLO. SOLUCIÓN. La fuente de corriente proporciona 1200 mA. Como su resistencia en paralelo es ahora mayor, la fracción de la corriente de la fuente que circula por ella es bastante menor que en el apartado a). En consecuencia, crece la corriente que circula por las ramas del circuito, en particular por la de 2.2 k?. Corrientes malla Resistencia 2.2 k?: Mallas: 1779 V