“UN DESCUBRIMIENTO GEOMÉTRICO” (De “EL SOL” Nros. 448 y 460, Cusco, noviembre de 1905) NUEVO TEOREMA DE GEOMETRÍA.
1º .- “Todo polígono regular es medio proporcional entre el círculo inscripto en él y su círculo isoperímetro”.
DEMOSTRACIÓN
Halladas Las áreas respectivas, se verá que forman la proporción enunciada. En efecto sea P (Fig. 1) un polígono regular de n lados; sea C el círculo inscripto en él y C’ su círculo isoperímetro. Vamos a probar que C : P = P : C’ En efecto sea uno de los lados del polígono regular P, su apotema r, que es también el radio del 2 (n r) 2 , es decir, la mitad del producto de su círculo inscripto C. Según esto el área del círculo C es como se sabe
El área del polígono P cuyo perímetro es n mide
perímetro n por su apotema r.
n r Se tiene así: P = 2
pr : n r n r n r2 pr2 ? El perímetro n del polígono P ha de ser circunferencia del círculo C’ y por tanto el radio de este será n 2p es decir, a su circunferencia partido por 2p y puesto que el área de todo círculo es igual a p multiplicado por el cuadrado de su radio, el círculo C’, será:
2
? 2p ? 4p2 4p
Ahora se ve que existe la proporción: 2 2 2 = : 2 2 4p Pues el producto de los extremos que es: = ?n2 2 ? 4p ? ? ? n2 2r2 4 Es igual al de los medios que es: 2 2 × = 2 2 4 Luego: C : P = P : C’, que es lo que nos proponíamos probar. 2º Este teorema segundo, que no es sino un corolario de otros muy conocidos, lo enunció sólo con el fin de apoyar el tercero que va a continuación: La razón de un círculo a un polígono regular de n lados que le circunscribe es constante. Sea C y C’ (Fig. 2) dos círculos; P y P’ dos polígonos regulares circunscritos del mismo número n de lados existe la proporción C : P = C’ : P’ Su demostración es tan sencilla que parece excusado ponerla.
3º.- Generalización del teorema primero. “La razón de un polígono regular de n lados a su círculo isoperímetro, es la misma que la de cualquier círculo al polígono regular que le circunscribe también de n lados. Demostración En efecto, según el teorema primero y conservando las mismas notaciones tenemos: C : P = P : C’ Ahora, en lugar de C : P, se puede poner c : p, es decir la razón de un círculo cualquiera c al polígono regular p del mismo número de n lados que el polígono P, y resultará: P : C’ = c : p, conforme al teorema. 4º.- En los teoremas primero y tercero dado el polígono regular de n lados, se ha considerado su círculo isoperímetro; recíprocamente, dado un círculo se puede considerar el polígono regular de n lados, que le sea isoperímetro; entonces resulta lo siguiente: “La razón de un polígono regular de n lados isoperímetro a un círculo dado, es la misma que la relación de otro círculo cualquiera a su polígono circunscrito también de n lados”.
DEMOSTRACIÓN En el fondo es el mismo teorema tercero: si se quiere se puede repetir la demostración. UN EJEMPLO. Así la razón de un cuadrado o hexágono regular isoperímetro a un círculo dado, es la misma que la relación de este círculo al cuadrado o hexágono regular que le circunscribe.
IMPORTANCIA DEL TEOREMA. Se funda este en una idea original, la relación de los círculos con los polígonos regulares circunscriptos, punto que aún no ha sido desarrollado; es un campo abierto a investigaciones profundas. Se comprende fácilmente que el teorema se presta a desarrollos al cual más variados; para dar una ligera noción de ellos, fijémonos en lo más sencillo tomando el ejemplo concreto de la relación de un círculo, cuyo radio sirve de unidad al cuadrado (Fig. 3) que le circunscribe.
= n a2 En este caso, el área del círculo es p (radios cuadrados) el perímetro del cuadrado circunscrito es de 8 (radios) y su área de 4 (radios cuadrados) El área del Círculo isoperímetro al cuadrado será, según el teorema, el cuarto término de la proporción: 16 p :4 = 4: p 16 Hallemos ahora la relación del área del círculo isoperímetro al número p y tendremos p2 Relación desconocida cuyo valor hallaríamos sólo numéricamente, de una manera aproximada.
Si, pues, por alguna combinación feliz se pudiera construir geométricamente la expresión 16 p2 , entonces quedaría hallado el círculo isoperímetro al cuadrado de perímetro 8, es decir, conseguida la rectificación de una circunferencia. Igual resultado se podría esperar si se consiguiese la desaparición, en la relación, 16 p2 del divisor 2 mediante ésta a la determinación del círculo isoperímetro y consiguiendo la rectificación de su circunferencia. CONCLUSIÓN
Si la rectificación de la circunferencia del círculo no es un problema que está fuera del límite de los alcances del entendimiento humano, como hasta el presente parece serlo; si algún día admitiese solución posible, no temo afirmar que esta tendría, por base, el teorema que llevo expuesto.
II Bajo este tema he publicado en el número 448 de este acreditado diario (El Sol) una proposición, relativa a las relaciones de los círculos con los polígonos regulares, que los circunscribe, y ¿no se podía esperar otro teorema análogo, comparando los círculos con los polígonos regulares inscritos en ellos? Es lo que efectivamente sucede, he aquí su resultado: 1º.- “Todo polígono regular de n lados es medio proporcional entre el círculo circunscrito a él y un segundo círculo, cuya circunferencia es la cuarta proporcional a las tres rectas, radio del círculo dado, perímetro del polígono regular y apotema de éste”.
DEMOSTRACIÓN Halladas las áreas respectivas, se verá que forman la proporción enunciada. En efecto, consideremos un círculo C (Fig. 2), cuyo radio sirva de unidad y un polígono regular P de n lados inscripto en él. Queremos hallar el cuarto término de la proporción. C:P=P:X El área del círculo C es p unidades cuadradas. Y del polígono P es n a 2 Llamando a uno de sus lados y a su apotema. Luego tendremos la proporción: n a n a 2 2 : X p : El cuarto término X es 2 2 4p Que ha de ser área de un círculo C’: hallemos su radio y su circunferencia. Partiendo de la fórmula conocida, del área de un círculo, A=pR2, tendremos que: R2 = 2 2 4pp2 , Por tanto
n a 2p R = , luego la circunferencia de C’ es n a 2p
Se ve, pues, que el cuarto término de X de la proporción C : P = P : X, es un círculo que tiene por circunferencian a . Mas, n a es evidentemente el cuarto término de la proporción: 1: n =a : n a Es decir la cuarta proporcional a las tres rectas 1, radio del círculo C, n perímetro del polígono P y a su apotema conforme al teorema.
2º Transformación de los dos teoremas del presente y del ya publicado bajo el número 1º. Dado un círculo C, imaginemos dos polígonos regulares de n lados, uno circunscrito al círculo C y otro inscrito en él. Del centro de los dos polígonos tracemos radios a sus n vértices; resultarán n triángulos iguales que llamaremos “Triángulo en el Centro” En el polígono circunscrito tendremos la siguiente relación: “El círculo dado es a su triángulo en el centro como éste es a un segundo círculo, cuya circunferencia es el lado del polígono regular circunscrito”. Sea C (Fig. 4) un círculo dado; P su polígono regular circunscrito; T uno de sus triángulos en el centro; (0.1) un lado del polígono regular P, y C’ el círculo cuya circunferencia es Debemos tener C : T = T : C’
DEMOSTRACIÓN
Completamente análoga a la anterior. 3º.- En el polígono regular inscrito tendremos esta otra relación. “El círculo es a un triángulo en el centro, como éste es a un segundo círculo, cuya circunferencia es la cuarta proporcional a las tres rectas; radio del círculo dado, lado del polígono regular inscripto y apotema de éste”. Sea C (Fig. 5) un círculo dado; P un polígono regular inscripto en él; uno de sus lados; a su apotema; T uno de los triángulos en el centro y C’ un segundo círculo; cuya circunferencia sea la cuarta proporcional a las tres rectas, radio del círculo C; lado del polígono P y apotema a; es decir que exista la proporción: C : T = T : C’
DEMOSTRACIÓN Completamente análogo a la precedente del número 1º.
4º.- En el fondo, estos dos teoremas últimos son los mismos que el precedente del número 1º y del ya publicado también bajo el número 1º, pero bajo esta forma, prestaría, me parece, mejores servicios. En efecto si multiplicamos por n los términos medios de las dos proporciones anteriores resultarán nT y nT, es decir, las áreas de los polígonos P y P’ circunscritos e inscritos, que son medio proporcionales, entre los círculos, como ya se ha enunciado.
Cusco, noviembre 20 de 1905. M. Eusebio Corazao Doctor en Ciencias.
P c’ c c’ c c c’ c’ P c
r Fig 2 P c 1 C P P Fig 1 Fig 3 Fig 4 Fig 5 T T a FUENTES: “EL CIENTIFICO CALQUEÑO EUSEBIO CORAZAO” POR EL DR. ALCIDES F. ESTRADA CUSCO – 1987. PAG. 43; Y LA REVISTA UNIVERSITARIA 2DO. SEMESTRE 1932
r x pr =p 3.- COMENTARIO DEL DOCTOR FEDERICO VILLAREAL UN DESCUBRIMIENTO GEOMÉTRICO (De la “Revista de ciencias” de Lima – Año IX, N. 2, 1906) Con este título se ha publicado en el Cuzco, en el periódico El Sol del 18 de noviembre y 2 de diciembre del año pasado dos artículos por el doctor en ciencias M. Eusebio Corazao, profesor del Colegio Nacional de Ciencias y de la Universidad de esa ciudad, ese descubrimiento consiste, según el citado profesor, en un nuevo teorema de Geometría, que lo enuncia así: “Todo polígono regular es medio proporcional entre el círculo inscripto en él y su círculo isoperímetro”, después de la demostración deduce en su primer artículo una serie de consecuencias y, en el segundo obtiene otras, partiendo del polígono regular inscripto, concluyendo así: “Si la rectificación de la circunferencia del círculo no es un problema que está fuera del límite de los alcances del entendimiento humano, como hasta el presente parece serlo; si algún día admitiese solución posible, no temo afirmar que esta tendría por base, el teorema que llevo expuesto”. Halagador es para los que nos dedicamos a las investigaciones matemáticas encontrar de cuando en cuando algo notable, fruto de los desvelos de los que se dedican a la ciencia pura, que cultivan por sí misma y no con el exclusivo objeto de arrancar provecho material a sus aplicaciones, y que atendiendo únicamente a esto descuidan ingratamente las fuentes inagotables del saber, porque no palpan el beneficio inmediato. El teorema mencionado es exacto y aún más general, porque no es necesario que el polígono sea regular basta que sea circunscriptible a un círculo, en efecto: si en una circunferencia, se toman los puntos que se quieran y se trazan las respectivas tangentes, estas formarán un polígono circunscripto, que solo es regular, cuando los puntos tomados son equidistantes. En el caso general, el área del polígono se mide por la mitad del perímetro por el radio y el cuadrado de esta expresión multiplicada y dividida por el número Pi, se descompone en dos factores: uno el área del círculo inscripto, otro del área del círculo isoperímetro al polígono. Llamando p el perímetro del polígono circunscripto a un círculo de radio r tenemos para el cuadrado del área. 1 2 2 2 p2 4 4p El primer factor del segundo miembro es el área en función del radio r del círculo inscripto al polígono y el segundo factor es el área en función de la circunferencia p del círculo isoperímetro al polígono de perímetro p. Tal es el teorema que ha indicado el señor Corazao. La teoría general de las figuras isoperímetras no ha sido estudiada todavía para formar un tratado especial correspondiente únicamente a sus propiedades, que parecen ser muchísimas y muy interesantes, ya que una parte de la teoría de ellas, fue tratada en primer lugar por Santiago Bernoulli y ocasionó una gran discusión con su hermano Juan y después de los famosos desarrollos dados por Euler, originó el cálculo de las variaciones descubierto por Lagrange; en seguida se han obtenido multitud de teoremas entre los que citaremos los siguientes, que son elementales. La figuras isoperímetras aumentan el área que encierran a medida que se regularizan, sea igualando alguno de sus lados, sea igualando sus ángulos, sea aumentando el número de lados, sea igualando la distancia de estos a un punto. Por ejemplo, al área del triángulo escaleno es menor que el área del triángulo isósceles isoperímetro y el área de éste es menor que la del triángulo equilátero isoperímetro. El triángulo tiene menor área que el cuadrilátero isoperímetro, este es menor en área que el pentágono isoperímetro y así
Haciendo x = p, y multiplicando por i = – p sucesivamente va aumentando el área de las figuras isoperímetras a medida que crece el número de lados. En los cuadriláteros tiene mayor área el isoperímetro de lados respectivamente iguales pero inscriptible en el círculo y el paralelógramo es menor que el rectángulo isoperímetro, el rombo mayor que el paralelógramo de iguales ángulos e isoperímetro; pero el cuadrado tiene mayor área que el rectángulo y que el rombo isoperímetro. Finalmente los polígonos isoperímetros formados con los mismos lados, es mayor el inscriptible; el que tiene lados iguales mayor que el isoperímetro de lados desiguales; el polígono regular mayor que el isoperímetro de lados iguales, pero de ángulos desiguales, por último, el círculo es el que tiene mayor área de todos los polígonos isoperímetros. Volviendo al teorema enunciado por el doctor Corazao, se tienen dos círculos, el inscripto y el isoperímetro y cada uno de ellos ha sido empleado por los matemáticos para buscar la razón de la circunferencia al diámetro; en efecto, 1º Tomando un polígono circunscripto de perímetro conocido se va calculando el perímetro de los polígonos de doble, cuádruplo, óctuplo……lados circunscriptos al mismo círculo que les sirve de límite mínimo y de esa manera se llega a calcular el valor de esta circunferencia cuyo radio es la apotema conocido de los polígonos. 2º Tomando un polígono de perímetro conocido se van calculando los radios y apotemas de los polígonos isoperímetros de doble, cuádruplo, óctuplo…lados acercándose al círculo isoperímetro que les sirve de límite máximo, de esa manera se llega a calcular el radio cuya circunferencia es el perímetro del polígono conocido. A pesar de estos métodos conocidos en que el polígono isoperímetro de doble número de lados tiene por apotema la media aritmética del apotema y radio del polígono anterior, y tiene por radio la media geométrica, entre el nuevo apotema y el radio primitivo; es decir, que llamando A el apotema, R el radio de un polígono regular, se tiene para el polígono isoperímetro de doble número de lados el apotema a por la fórmula: 2 a = A +R y para el nuevo radio r la fórmula: 1 2 r2 = aR = R (A + R); Sin embargo, de usar los polígonos isoperímetros en todos los trabajos elementales de Geometría, no hemos visto que ninguno se haya fijado que esos polígonos isoperímetros eran medias proporcionales entre el círculo isoperímetro que es una constante y el círculo inscrito que va creciendo, que es una variable, pues solamente se había observado que la diferencia entre los radios y apotemas iba disminuyendo y que llegarían a ser iguales para el círculo isoperímetro obteniendo de esa manera el radio de una circunferencia de magnitud conocida. Al terminar indicaremos, que la razón de la circunferencia al diámetro, calculada hasta 800 cifras decimales, está demostrado que es un número irracional de segundo orden; es decir, que no es la raíz de ninguna ecuación numérica de coeficientes enteros, como sucede para la razón de la diagonal de un cuadrado a su lado o los lados del cuadrado y triángulo inscriptos, respecto del número pi solamente se le ha expresado por series verdaderamente notables, pero nunca por una fórmula finita real, sino usando las imaginarias, como la debida a Euler, en que la unidad imaginaria elevada a la unidad imaginaria es igual al número e elevado a menos medio pi. En efecto, tomando el signo general, que expresa algebraicamente la dirección geométrica, tenemos: exi = cos x + i. Sen x 1 2 -1, resulta: ( 1 2 e -1 = -1) (*) Tomando los logaritmos:
? x x x7 ? = 2?x + + + +…? ? ? p p ? ? = ?cos + i. Sen ? ; como i = -1; cos = 0 y sen – p p = -2 -1 . log -1 Pero tenemos en general: 3 5
3 5 7 Log 1+ x 1+ x Haciendo pues: = -1 1+ x 1+ x sacamos que x = -1 luego: ? 1 1 1 1 ? ? 3 5 7 9 ? y por consiguiente: ? 1 1 1 1 1 1 ? ? 3 5 7 9 11 13 ?
Fórmula conocida del valor de p. Hemos entrado en estos detalles, para hacer notar los inmensos trabajos sobre este asunto y que no hemos visto entre ellos el teorema que señala el doctor Corazao.
Federico Villareal. 1 2 (*) Nota: en el texto debía decir: haciendo x = p y elevando ambos miembros de la ecuación a la potencia i . En tal caso el proceso es el que sigue: e( i xi)i = (cos x + i. Sen x) e p 2 ? 2 2? i i2 2 p p 2 2 = 1 entonces: ( 1 2 e -1 -1) = ii = (Nota aclaratoria de J.A.G.S.)
p p 4.- INTERPRETACIÓN GRÁFICA DEL TEOREMA DE CORAZAO:
DESARROLLADO POR EL AUTOR INGº. JULIO A. GUTIÉRREZ SAMANEZ Y PUBLICADO EN CUSCO 2003)
TRIBUTO AL MAESTRO CORAZAO 7.1.- RELACIÓN ENTRE LOS TEOREMAS DE CORAZAO Y EL PROBLEMA DE LA RECTIFICACION DE LA CIRCUNFE-RENCIA. En la relación de un círculo de r = 1 y el cuadrado que le circunscribe tenemos los datos siguientes: Circulo Inscrito Polígono Círculo Isoperímetro Radio = Área = Perímetro = Lado Área Perímetro Apotema = 2 = 4 = 8 = 1 Área = Perímetro = Radio = Fig. 2.7
Según el teorema del Dr. Corazao, el área del círculo isoperímetro del cuadrado, será, el cuarto termino de la proporción: p : 4 = 4: ? ; = 4 ? El cuarto término será = 16 p = 4×4 p Que es el valor del área del círculo isoperímetro al polígono (cuadrado) lo que se prueba del modo siguiente: Perímetro = 8 = 2p riso r iso = 4/p 2 2 2
entonces , es decir se cumple que: “El área del polígono es medio proporcional entre el 4 p círculo isoperímetro y su círculo inscrito”. (Teorema de Corazao).
HALLANDO ESA “COMBINACIÓN GEOMÉTRICA FELIZ” QUE BUSCABA CORAZAO. Dividiendo entre p la proporción anterior, el Dr. Corazao halló el número 16/p2que es la relación del área del círculo isoperímetro al número p, e intuyó que, de construirse geométricamente esta expresión, “por alguna combinación feliz”…“quedaría hallado el círculo isoperímetro al cuadrado (de perímetro 8) es decir, conseguida la rectificación de una circunferencia”. Así: : = : p p p p 2 4 16 : 2 1: 4 p =
: : Relación de proporcionalidad que enunciamos como un nuevo Teorema: Teorema: “El radio de un círculo isoperímetro de un cuadrado (4/p), es medio proporcional entre la unidad y el cuadrado de dicho radio del circulo isoperímetro o la relación entre el área del círculo isoperímetro (16/p) al área del círculo inscrito al polígono (cuadrado) (p)”. Para generalizar el teorema para cualquier cuadrado se multiplicara por el valor del apotema y la relación quedara así: ap : 4 ap 16 ap p p2 = 4 ap p Aplicando nuestro método grafico basado en el Teorema de la altura del triángulo rectángulo que es media proporcional entre las proyecciones de sus catetos sobre la hipotenusa y teniendo el valor aproximado de p podemos encontrar gráficamente los valores de 16/p y 16/p2 en las Figs. 2.8 y 2.9 con estos valores dibujamos la Fig. 2.10, trazando la función Y=4/p X, en el punto (p,4), automáticamente, aún sin saber los valores numéricos, la imagen de X=1 en Y será 4/p y la imagen de X=4/p en Y será, obviamente, 16/p2: Fig. 2.8 1 Fig. 2.9 1 1: 4 16 p p2 = 4 p 16 p p : 4 = 4 :
p p p = = 2 =1.621 p(riso)2 p(4/p)2 2 ( ins) p 1 5
4
3
2 6 0 2 3 4 5 1 4 4 16
16 Y X Y= 4 X Fig. 2.10
Al construir este gráfico muestro descubierta la “combinación feliz” que buscaba el Doctor Corazao hace cien años; por esta razón he convenido en llamar a su valor: número de Corazao = 16 p2 = 1.621 que analíticamente resulta de las siguientes relaciones:
16 Área del círculo isoperímetro del cuadrado Área del círculo inscrito en el cuadrado Isoperímetro. 16 p p Área del círculo isoperímetro Área del círculo inscrito = = = (1.2732)2 =1.621 p(rins)2 p(1) El numero de Corazao relaciona los cuadrados de los radios isoperímetro e inscrito. La relación incógnita del Dr. Eusebio Corazao (16/p: p = 16/p2) es, como vimos, la razón entre el área del círculo isoperímetro del polígono (cuadrado en este caso) al área del círculo inscrito al polígono y es igual al cuadrado del radio del círculo isoperímetro, pues es la razón entre los cuadrados de los radios del círculo isoperímetro y el círculo inscrito. 2 16 (radioiso) r = 2 Sacando la raíz cuadrada tenemos la expresión: rins riso = 4 p Generalizando, riso = K rins ; donde k es el inverso de la constante de proporcionalidad que he llamado de Gutiérrez Samanez (Nº de G.S.), que es diferente para cada polígono. En el caso del cuadrado, si el radio inscrito = 1, entonces: K = 4 p y la ecuación es: riso = 4 p rins. X Expresando en coordenadas cartesianas será:Y = 4 p
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