Lógica o pensamiento científico

Lógica proposicional

Proposición: oración con valor declarativo o informativo, de la cual se puede predicar su verdad o falsedad.

Clasificación de las proposiciones

Disyunción inclusiva: una, otra o ambas. Ej …o…o; o ambas.

Disyunción excluyente: una excluye a la otra. Ej: o…o

Condicional o hipotética: una es condicional de la otra. Ej: si.. entonces

Proposiciones categóricas:

Universales: Todos

Particulares: algunos

Singulares: un individuo

Formas categóricas típicas:

Universal afirmativa à A Todo S es P

Universal negativa à E Ningún S es P

Particular afirmativa à I Algún S es P

Particular negativa à O Algún S no es P

Proposiciones analíticas:

• de verdad lógicamente determinable
• no aumenta el conocimiento.
• El predicado está contenido en el sujeto o es equivalente.

Proposiciones sintéticas:

• Su valor de verdad depende de comprobaciones extralógicas o empíricas (reales).
• Aumentan el conocimiento, pero su verdad debe ser comprobada.
• El predicado no está contenido en el sujeto.

Lógica Proposicional:

Sus expresiones se dividen en:

• Simples o atómicas: constituye la unidad mínima de la cual se puede decir que es V ó F. Se simbolizan con p,q,r,s,t,etc, y se denominan variables proposicionales.
• Compuestas o moleculares: están compuestas por dos o más proposiciones atómicas (su valor de verdad depende del de las proposiciones que la componen). Los valores de verdad dados como posibilidades de combinación entre proposiciones atómicas corresponden a los valores que pueden tener una o varias proposiciones combinadas. Sólo la comprobación empírica confirmará su valor real o fáctico. Basta con que una sea falsa, para que la molecular sea falsa.

Asignación de valores:

Considero todas las combinaciones posibles distintas que se pueden obtener, y se obtiene con la fórmula 2n, donde n es la cantidad de proposiciones atómicas que la componen. (así, dadas p,q y r, se pueden asignar ocho valores distintos)

CONECTIVAS:

NOTA: la negación también es considerada una conectiva, ya que modifica elvalor de verdad de una proposición atómica.

CONJUNCIÓN: .

Palabras conectivas: y, aunque, pero, mas, también, sin embargo, además, etc.

Condición: es V cuando ambas son V.

Tabla:

P . q

V V V

F F V

V F F

F F F

Disyunción inclusiva: v

Una, otra o ambas a la vez. (y/o)

Palabras conectivas: o

Condición: es F cuando las dos son F.

P v q

V V V

F V V

V V F

F F F

Disyunción exclusiva: w

O una o la otra (NUNCA ambas juntas)

Palabras conectivas:

O ……… o …..

O bien …. o bien

…. a menos que ….

…. salvo que ……

Condición: es V cuando uno es V y el otro es F.

P w q

V F V

F V V

V V F

F F F

Negación: –

Palabras conectivas: no, no es cierto que, no es verdad que, nunca, carece de, sin, etc.

Prefijos negativos: a, des, in, i.

Condición: lo V se transforma en F (y al revés) P -p

V F

– (P . q) F V

F V V V

V F F V

V V F F

V F F F

Condicional: É

Palabras conectivas:

Si ..p.. entonces ..q..

Si ..p.. , ..q..

Cuando …….p…………. , ……q..

Siempre ……p…………. , ….q..

Es condición suficiente..p..para que..q..

………q…….. sólo si ……p…….

Es condición necesaria…q..para que..p..

Condición: es falsa sólo si el antecedente (p) es V y el consecuente (q) es F.

P É q

V V V

F V V

V F F

F V F

Bicondicional: º

Palabras conectivas: si y sólo si; cuando y sólo cuando; es equivalente a; es condición suficiente y necesaria para; etc.

Condición: son verdaderas si ambas proposiciones tienen el mismo "valor de verdad".

P º q

V V V

F F V

V F F

F V F

Negación conjunta: ¯

Simbolizaciones equivalentes:

Palabras conectivas:

Ni…. ni…..

No…. ni…..

Condición: es V si sólo ambas proposiciones son F.

P ¯ q

V F V

F F V

V F F

F V F

Negación alternativa: /

Simbolizaciones equivalentes:

Palabras conectivas:

O no…………… o no……

Es incompatible…. con…….

Condición: es F si las proposiciones son ambas V.

P / q

V F V

F V V

V V F

F V F

Reglas de Interferencia

Reglas de Inferencia:

1. A É B

   A

   B

   p É q (p v q) É -r

   p p v q

   q -r

2. Modus Ponens (M.P):

   A É B

   -B

   -A

   p É -(q.r)

   q.r

   p

3. Modus Tollens (M.T):

   A É B

   B É C

   A É C

   r É -q

   t É r

   t É -q

4. Silogismo Hipotético (S.H):
5. Silogismo Disyuntivo (S.D):

A v B A v B

-A -B

B A

Ejemplos:

1. p É (q v r) a) (p.q) v –(r É s)

2. p . –q :. r b) r É s :. p

3. p de 2 simp. c) p.q de 1 y 2 S.D
4. q v r de 1 y 3 M.P d) p de 3 simp.
5. –q de 2 simp.
6. r de 4 y 5 S.D

1. Dilema Constructivo (D.C):

(A É B) . (C É D)

A v C

B v D

6) Dilema Destructivo (D.D):

(A É B) . (C É D)

-B v -D

-A v –C

(-p É q) . (r É -q)

-q v q

p v –r

7. Simplificación (Simp.):

A . B A . B A . B :. A

A B A . B :. B

(p É -q) . r

r

Ejemplos:

1. p É q a) p É (q . –r)

   -r :. –p

2. q É r b) p :. q
3. –q de b) y c) por M.T c) q . –r de 1 y 2 M.P
4. –p de a) y d) por M.T d) q de 3 simp.

7. Conjunción (Conj.): 9) Adición (Ad.):

A A

B A v B

A . B

Leyes Lógicas

(Leyes o principios de sustitución)

1. -(A . B) º (-A v -B)

   -(A v B) º (-A . -B)

   Ejemplo:

   (-p . q) º -(p v –q)

   -(-p . –q) º (p v q)

2. Teorema de Morgan (T.de D.M):
3. Conmutación (Conm.):

(A . B) º (B . A)

(A v B) º (B v A)

Ejemplo:

[(p . q) É -r] º [(q . p) É -r]

3) Asociación (Asoc.):

[(A . B). C] º [A .(B . C)]

[(A v B)v C] º [A v(B v C)]

Ejemplo:

B A

1)p É -(q v r) 1)(p . q) É -r 1)p É (q . –r)

2)p :.–q 2)-(-r . q) :.-p 2)-(-r . q) .q

3)-(q v r) de 1 y 2 M.P 3)r de 2, Simp. 3)-(q . –r) de 2 Conm.

4)-q . –r de 3 T.de M. 4)-(p . q) de 1 y 3 M.T 4)-p de 1 y 3 M.T

o

5)-q de 4 Simp. 5)-p v -q de 4 T.de M. 3)p É (-r . q)de 1 Conm.

6)q de 2 Simp. 4)-p de 3 y 2 M.T

7)-p de 5 y 6 S.D

4. [A v (B . C)] º [(A v B) . (A v C)]

   [A . (B v C)] º [(A . B) v (A . C)]

5. Distribución (Dist.):

   A º -(-A)

6. Doble Negación:

   (A É B) º (-B É -A)

   Ejemplo:

   (-p É q) º (-q É p)

7. Transposición (Trans.):
8. Definición del Condicional (Def. Cond.):

(A É B) º (-A v B) º -(A . -B)

8)Definición de Equivalencia (Def. de Equiv.):

(A º B) º [(A É B). (B É A)]

7. [(A É (B É C)] º [(A . B) É C]

8. Exportación (Exp.):
9. Idempotencia (Idem.):

A º (A v A)

A º (A . A)

Silogismo categórico:

Se llama silogismo a un razonamiento deductivo que posee dos premisas y una conclusión.

Todo silogismo tiene 3 términos que se identifican por su ubicación.

Término mayor: Es el que figura en el predicado de la conclusión y se simboliza con la letra P. Determina la premisa mayor, que por este motivo se ubica primera.

Término menor: Aquel que es sujeto en la conclusión y se simboliza con la letra S. Determina la premisa menor, que se ubica segunda.

Término medio: Es aquel que no aparece en la conclusión, sino en las dos premisas y se simboliza con la letra M.

Todo M es P

Todo S es M

Todo S es P

Para conformar la estructura de los silogismos categóricos debemos tener en cuenta sus modos y sus figuras.

MODOS: Son las distintas combinaciones A, E, I y O que constituyen a las premisas y la conclusión.

FIGURAS: Las distintas ubicaciones que adopta el término medio (M) en las premisas. De estas posiciones surgen cuatro figuras:

Todo silogismo debe pertenecer necesariamente a una de estas cuatro figuras.

Un silogismo queda caracterizado cuando se señala su figura y su modo.

Ejemplo:

Simbolización gráfica de proposiciones categóricas:

A: Proposición universal afirmativa: Todo S es P.

_

En símbolos: S Ç P = Æ

_ _

SP SP SP

__

SP

E: Proposición universal negativa: Ningún S es P.

En símbolos: S Ç P = Æ

_ _

SP SP SP

__

SP

I: Proposición particular afirmativa: Algunos S son P.

En símbolos: S Ç P ¹ Æ

_ _

SP SP SP

X __

SP

O: Proposición particular negativa: Algunos S no son P.

_

En símbolos: S Ç P ¹ Æ

_ _

SP SP SP

X __

SP

Diagramas de Venn:

Pasos para su graficación:

• Se simbolizan las premisas y la conclusión en Lógica de clases.
• Se traslada la información de las premisas al diagrama. Hay que tener en cuenta que si una de las premisas es universal y la otra es particular se debe comenzar diagramando la universal, aunque sea la premisa menor. NUNCA SE GRAFICA LA CONCLUSIÓN, ya que es justamente lo que debe ser obtenido para comprobar si surge como consecuencia necesaria de las premisas.
• Verificar si al diagramar las premisas, también ha quedado diagramada en forma explícita la conclusión. En este caso la forma es válida. De lo contrario es inválida.
• Cuando la información dada por las premisas no permite decidir en cual sector de los dos es posible, debe diagramarse la cruz de existencia, ésta debe dibujarse en la frontera entre ambos. Este diagrama no permite afirmar que la cruz pertenezca necesariamente a alguno de los dos sectores y por lo tanto estas formas son inválidas.

Reglas del silogismo:

1. Un silogismo categórico válido debe contener 3 términos y cada uno de ellos debe conservar el mismo sentido dentro de un razonamiento.
2. En un silogismo categórico válido el término medio debe estar distribuido, o tomado en toda su extensión, por lo menos una vez en alguna de las premisas.
3. En un silogismo categórico válido si el término menor o mayor está distribuido en la conclusión, debe estar también distribuido en la premisa respectiva. Su falta de cumplimiento se denomina falacio de ilícito menor o mayor respectivamente.
4. Un silogismo categórico que tenga sus dos premisas negativas no es válido. Pero, si una sola de las premisas es negativa, su conclusión debe ser negativa.
5. Un silogismo categóricoque tenga sus dos premisas particulares, no es válido. Pero, si una sola de las premisas es particular, su conclusión debe ser particular.
6. Si un silogismo categórico tiene sus dos premisas afirmativas su conclusión no puede ser negativa.
7. Si un silogismo categórico tiene sus dos premisas universales su conclusión no puede ser particular.

Simbolización de proposiciones categóricas:

Las proposiciones categóricas afirman algo de algo.

Las proposiciones universales van precedidas por todo o ningún, según se quiera afirmar o negar la proposición.

Las proposiciones particulares por algún que tiene el valor de por lo menos uno, y luego la afirmación o negación del predicado.

Distribución:

A: Todo S es P. Distribuye el sujeto.

E: Ningún S es P. Distribuye el sujeto y el predicado.

I: Algún S es P. No distribuye nada.

O: Algún S no es P. Distribuye el predicado.

Inferencias inmediatas

Se caracterizan por poseer una sola premisa, de la cual se desprende la conclusión.

De A, E, I u O se pueden obtener distintas inferencias: conversión, obversión, contraposición y oposición.

*Conversión:

Consiste en deducir de una proposición categórica que se presenta como premisa, otra proposición categórica como su conclusión, mediante el intercambio del sujeto por el predicado. A la premisa se la llama convertiente y a la conclusión conversa.

*Obversión:

Se caracteriza por deducir de una proposición categórica otra, también categórica, mediante el cambio de la cualidad de la proposición y la negación del término predicado. La premisa se denomina obvertiente y la conclusión obversa.

*Contraposición:

Se caracteriza por deducir de una proposición categórica otra roposición, que se obtiene reemplazando el sujeto por la negación del predicado y el predicado por la negación del sujeto. A partir de una premisa obtenemos una contrapositiva.

*Relaciones de oposición:

**Contrarias: Las proposiciones contrarias son las universales A-E.

-Pueden ser ambas F pero no ambas V.

-Si una es V la otra es F.

-Si una es F la otra queda indeterminada.

**Subcontrarias: Las proposiciones subcontrarias son las particulares I-O.

-Dos proposiciones subcontrarias pueden ser ambas V pero no ambas F.

-Si una es F la otra es necesariamente V.

-Si una es V la otra puede ser tanto V como F.

**Contradictorias: A-O, E-I

-No pueden ser ambas V o ambas F.

-Si una es F la otra es necesariamente V y viceversa.

**Subalternas: Son subalternas cuando tienen la misma cualidad pero difieren en cantidad: A-I y E-O

Subalternante: Es la proposición universal.

Subalternada: Es la proposición particular.

Si la subalternante es V, la subalternada también lo será. Pero si la subalternante es F, nada se puede inferir para la subalternada.

Si la subalternada es F, la subalternante es F, y si la subalternada es V nada se puede inferir para la subalternante.

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