Se formula el siguiente teorema:
3.2 ) Teorema 1
Determinante de la Matriz de una Secuencia Asincrónica Suma
El determinante de la matriz asociada a una secuencia de la función asíncrona fa+ de orden n (n natural), para una secuencia de cardinalidad es dependiente de los coeficientes multiplicadores y de sus coeficientes generadores, y solamente de estos.
Su forma general es:
< 1 >
Demostración:
T1.1)
– Se demuestra para n = 1 y para una secuencia que evoluciona discretamente en los naturales
Condiciones remitidas a <Co.1>
T1.2)
- Extensión de T1.1 a cualquier paso p en los reales
El paso p aparece asociado al generador k.
Se puede verificar que una secuencia senoidal S evaluada en una discretización de paso p es equivalente a su evaluación de 1 en 1 multiplicando el coeficiente generador k por el paso, con un desplazamiento del origen.
Lo que equivale a transformar el generador k de la secuencia S proporcionalmente al valor de p.
Como queda expresado en la identidad trigonométrica, el determinante aniquila al desplazamiento del origen x que tal transformación conlleva y la proposición es válida para todo p en los reales.
T1.3)
P(1) es Verdadero, se procede por inducción
Sea P(n) verdadero por hipótesis inductiva:
El término (n+1)-ésimo de esta productoria es:
Para evaluar P(n + 1) se considera la razón entre el determinante de una matriz de orden (n+1) sobre el determinante de una matriz de orden n:
Simplificando:
Condiciones remitidas a <Co.1>
Que corresponde al término (n+1)–ésimo de la productoria. Para todo n en naturales, la razón entre el determinante de una matriz asincrónica suma de fa+ de orden (n + 1) sobre el determinante de una matriz asincrónica suma de fa+ de orden n siempre es el último término de la productoria que expresa al determinante de la primera.
P(n) implica P(n+1).
Por lo tanto el paso inductivo es válido y la demostración es completa.
—————————
Observación: en el enunciado del Teorema 1 se definía que el determinante de la secuencia de orden n dependía sólo del vector generador y del vector multiplicador, esto parecería despreciar el paso p de la secuencia, en el caso que este no sea igual a 1.
Pero como se analizó en T1.2 tomar otro paso p distinto de 1 es equivalente a transformar el coeficiente generador del término correspondiente en la fa+, con lo cual un cambio en el paso p aplica una trasformación en el conjunto generador 
y la proposición confirma su validez.
3.3) Propiedades del conjunto generador
El Teorema 1 confirma que el determinante de una matriz cuyos términos corresponden a una secuencia de funciones asincrónicas de orden n, siendo el largo de la secuencia de por lo menos 
no depende de la posición de la secuencia, sino exclusivamente de los conjuntos generador y multiplicador 
y 
respectivamente.
Se da por sobreentendido que la disposición de los términos de la matriz corresponden al orden de los mismos en la secuencia, es decir es un conjunto ordenado; en todo el trabajo optamos por un ordenamiento en columnas, pero obviamente las proposiciones siguen siendo validas si se distribuye la secuencia en filas, dada la identidad del determinante para una matriz y su transpuesta.
Esta invariabilidad del determinante respecto a la posición de la secuencia permitiría deducir las componentes de los vectores generadores.
Sin embargo, la expresión de esta función es tan compleja, que salvo para dimensiones pequeñas se hace prácticamente intratable.
A su vez, es difícil discernir entre los coeficientes ponderados del vector multiplicador y los coeficientes del conjunto generador.
Pero como se mencionó anteriormente, existen operaciones que permite acotar el valor del vector generador. Su generalización se establece a continuación
3.4) Teorema 2
Determinante de la Suma de dos Matrices consecutivas de una
Secuencia Asincrónica Suma
El determinante de la Suma de dos Matrices consecutivas, ambas asociadas a una misma secuencia de la función asíncrona fa+ de orden n (n natural) para una secuencia de cardinalidad 
+ m es dependiente de los coeficientes multiplicadores y de sus coeficientes generadores y del paso de desplazamiento m que referencia la posición inicial de la segunda matriz respecto a la primera; y solamente de estos.
Su expresión es el producto del determinante para la matriz asincrónica asociada a los vectores generadores y multiplicadores de la fa+, tal cual se verificó en la ecuación < 1 > por la productoria:
El resto de las condiciones corresponden a < Co.1 >
Donde m es el desplazamiento del origen de la fa+ de la segunda matriz respecto a la primera
Su forma general es:
Demostración:
T2.1) – Se demuestra para n = 1:
Que es la expresión de orden 1 de la ecuación < 2 > por la productoria de 1 a 1 de
P (1) es verdadero. Se procede por inducción.
Sea P(n) verdadero por hipótesis inductiva:
Se expresa P(n + 1):
El Teorema 1 justifica el determinante de una matriz asincrónica suma de orden (n + 1), y la Expresión < A > es el producto de este determinante por la productoria 
.
P(n) implica P(n+1).
Por lo tanto el paso inductivo es válido y la demostración es completa.
—————————
3.5) Teorema 3
Determinante de la Diferencia de dos Matrices consecutivas de una misma Secuencia Asincrónica Suma
El determinante de la Resta de dos Matrices consecutivas, ambas asociadas a una misma secuencia de la función asíncrona fa+ de orden n (n natural) para una secuencia de cardinalidad + m es dependiente de los coeficientes multiplicadores y de sus coeficientes generadores y del paso de desplazamiento m que referencia la posición inicial de la segunda matriz respecto a la primera; y solamente de estos.
Su expresión es el producto del determinante para la matriz asincrónica suma asociada a los vectores generadores y multiplicadores de la fa+, por la productoria:
El resto de las condiciones corresponden a <Co.1>
Donde m es el desplazamiento del origen de la fa+ de la segunda matriz respecto a la primera
Su forma general es:
Demostración:
T3.1) – Se demuestra para n = 1:
Correspondiente a la expresión de orden 1 de:
El resto de la demostración es análoga a T2.
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3.6) Corolarios de los Teoremas 2 y 3
C.2.1)
El cociente del determinante de la diferencia de dos Matrices consecutivas, ambas asociadas a una misma secuencia de la función asíncrona fa+ de orden n (n natural) para una secuencia de cardinalidad 
+ m, sobre el determinante de la primera matriz es igual a la productoria de 1 a n del cuadrado del seno del medio producto de los coeficientes generadores k por el desplazamiento m. (m entero)
Su expresión es:
< 4 >
C.2.2)
El cociente del determinante de la suma de dos Matrices consecutivas, ambas asociadas a una misma secuencia de la función asíncrona fa+ de orden n (n natural) para una secuencia de cardinalidad + m, sobre el determinante de la primera matriz es igual a la productoria de 1 a n del cuadrado del coseno del medio producto de los coeficientes generadores k por el desplazamiento m
Su expresión es:
< 5 >
C.2.3)
El cociente del determinante de la resta de dos matrices consecutivas, ambas asociadas a una misma secuencia de la función asíncrona fa+ de orden n (n natural) para una secuencia de cardinalidad + m, sobre el determinante de la de la suma de las mismas matrices es igual a la productoria de 1 a n del cuadrado de la tangente del medio producto de los coeficientes generadores k por el desplazamiento m
Su expresión es:
< 6 >
Los Corolarios 1 a 3 permiten, por medio de las operaciones mencionadas, extraer la productoria de los senos, cosenos y tangentes del cuadrado del medio producto del coeficiente de desplazamiento m por el valor del termino generador k. En esta operación se filtra los componentes del vector multiplicador asociado a cada término de fa+, como así también la posición x de origen de la secuencia.
Conclusión
Las secuencias de funciones senoidales asincrónicas tienen propiedades de composición deducibles a través de su determinante, lo cual permite acotar las frecuencias generadoras.
Teóricamente tiene importantes posibilidades algorítmicas, cuya descripción excede las posibilidades de esta sinopsis.
Nota aclaratoria
La presente monografía es extractada de un trabajo de investigación mucho más extenso, se desarrollan aquí solamente los aspectos más generales de aquella.
Para consultas o ampliaciones por favor escribir al autor
Dante E. Wojtiuk
Buenos Aires, Argentina
29 de Mayo de 2006
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