Guía didáctica para el Interaprendizaje de Medidas de Tendencia Central (página 2)

Como la posición de la mediana es 10,5, su valor es el promedio de los datos décimo y undécimo. Para observar con claridad cuáles son los datos décimo y undécimo se aconseja calcular la frecuencia acumulada.

Se observa que el décimo dato es 4 y el undécimo es 5, por lo tanto:

2.4.2.2) Para Datos Agrupados en Intervalos

a) Por interpolación

Ejemplo ilustrativo: Calcular la mediana de los pesos de un grupo de 50 personas que se distribuyen de la siguiente manera:

Solución:

Primero se calcula n/2 y después se averigua el intervalo en el que está la mediana, este intervalo recibe el nombre de intervalo o clase de la mediana. Para averiguar el intervalo en el que está la mediana se aconseja calcular la frecuencia acumulada.

En este ejemplo el intervalo de la media es [65,75).Se observa que 16 valores están por debajo del valor 65. Los 9 que faltan para llegar a 25 se interpolan en el ancho del intervalo de la mediana que en este ejemplo es 10.

19 corresponde a 10

1 corresponde a 10/19

Por lo tanto la Mediana es igual 65+4,737= 69,737

b) Empleando la ecuación

Ejemplo ilustrativo: Calcular la mediana del ejemplo anterior y representarla mediante un histograma de frecuencias acumuladas.

Se calcula la frecuencia acumulada como se muestra en la siguiente tabla:

Solución:

c) Resolviendo de manera gráfica

A continuación se presenta un histograma para la frecuencia acumulada.

Observando el gráfico se determina que Md = 65+AE

Los triángulos ABC y AED son semejantes, por lo que se cumple:

TAREA DE INTERAPRENDIZAJE

1) Escriba 3 diferencias entre media aritmética y mediana.

2) Realice un organizador gráfico sobre la mediana.

3) Calcule la mediana de los números 6, 6, 5, 2, 3, 4, 4, 5, 5, de manera manual y empleando Excel.

Md= 5

4) Cree y resuelva un ejercicio similar al anterior

5) Calcule la mediana de los números 11, 12, 9, 10, 7, 8, de manera manual y empleando Excel.

Md= 9,5

6) Cree y resuelva un ejercicio similar al anterior.

7) Dados los siguientes 35 números:

2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 4, 4, 4, 4, 8, 8, 8, 6, 6, 6, 6, 6, 10, 10, 10, 8, 8, 8, 10, 10 y 10

7.1) Calcule la mediana sin agrupar los datos de manera manual y empleando Excel.

Md=6

7.2) Calcule la mediana agrupando los datos en una tabla de frecuencias.

Md=6

8) Cree y resuelva un ejercicio similar al anterior.

9) Calcule la mediana de las siguientes edades de personas y representarla mediante un histograma para la frecuencia acumulada.

Md= 67,93

10) Cree y resuelva un ejercicio similar al anterior.

11) Dados los siguientes números:

50, 55, 59, 60, 69, 65, 66, 69, 63, 64, 70, 72, 77, 78, 79, 79, 77, 78, 71, 72, 73, 75, 77, 74, 73, 73, 74, 77, 80, 82, 85, 88, 89, 89, 85, 81, 82, 83, 82, 81, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 99, 100 y 109

11.1) Agrupe los datos en intervalos de ancho 10.

11.2) Calcule la media aritmética de manera manual y empleando Excel.

78,7

11.3) Calcule la media geométrica de manera manual y empleando Excel.

77,77

11.4) Calcule la media armónica de manera manual y empleando Excel.

76,81

11.3) Calcule la mediana por interpolación, empleando la ecuación y empleando un histograma para la frecuencia acumulada.

78,33

12) Cree y resuelva un ejercicio similar al anterior.

Medidas de posición

Son similares a la mediana en que también subdividen una distribución de mediciones de acuerdo con la proporción de frecuencias observadas. Mientas que la mediana divide a una distribución en mitades, los cuartiles (Q) la dividen en cuartos, los deciles (D) la dividen en décimos y los puntos percentiles (P) la dividen en centésimos.

Colectivamente, cuartiles, deciles y percentiles se denominan cuantiles. Puesto que sirven para ubicar datos particulares dentro de ciertas porciones de una distribución de datos, toman el nombre de medidas de posición.

2.5.1) CUARTILES.- Son cada uno de los 3 valores Q1, Q2, Q3 que dividen a la distribución de los datos en 4 partes iguales.

2.5.1.1) Propiedades

Los cuartiles son un caso particular de los percentiles. Hay 3 cuartiles:

Primer cuartil: Q1=P25, segundo cuartil: Q2=D5 =P50=Mediana, tercer cuartil: Q3=P75

2.5.1.2) Métodos de Cálculo

a) Para Datos No Agrupados

La posición o ubicación de los cuartiles se encuentra aplicando la siguiente ecuación:

Donde:

n = número total de datos

k = número del cuartil

Ejemplo ilustrativo:

Encuentre los cuartiles dada la siguiente distribución, y represéntelos gráficamente mediante un diagrama de caja y bigotes: 6, 9, 9, 12, 12, 12, 15 y 17

Solución:

Para calcular los cuartiles se ordena los datos de menor a mayor

Aplicando la ecuación para el cuartil uno se obtiene:

Como la posición del cuartil 1 es 2,5, su valor es el promedio de los datos segundo y tercero

O también la posición 2,5 dice que el cuartil 1 está ubicado al 50% del trayecto comprendido entre el segundo dato, que es 9 y el tercer dato que es 9, es decir, Q1= 9+0,5(9-9) = 9

Interpretación: Este resultado indica que el 25% de los datos es inferior a 9

En Excel se calcula insertando la función CUARTIL

Aplicando la ecuación para el cuartil dos se obtiene:

O también la posición 4,5 dice que el cuartil 2 está ubicado al 50% del trayecto comprendido entre el cuarto dato, que es 12 y el quinto dato que también es 12, es decir,

Q2= 12+0,5(12-12) = 12

Interpretación: Este resultado indica que el 50% de los datos es inferior a 12

Aplicando la ecuación para el cuartil tres se obtiene:

O también la posición 6,5 dice que el cuartil 2 está ubicado al 50% del trayecto comprendido entre el doceavo dato, que es 12 y el quinceavo dato que 15, es decir, Q3= 12+0,5(15-12)

Q3= 12+0,5(3)=12+1,5=13,5

Interpretación: Este resultado indica que el 75% de los datos es inferior a 13,5

Notas importantes:

-Los cálculos en Excel para un número impar de datos coinciden con los cálculos realizados con las ecuaciones.

-Para un número par de datos, aunque en ciertas ocasiones coinciden, suele existir diferencias en los cálculos del Q1 y Q3 realizados con Excel. Este error de cálculo es: e = 0,25d, en donde d es la distancia de separación de los datos

-Para el Q1 se resta el error al valor obtenido con Excel

-Para el Q3 se suma el error al valor obtenido con Excel

En nuestro ejemplo e = 0,25(x7 –x6 ) = 0,25(15-12) = 0,25(3) = 0,75. Al sumar el error al valor Q3 inicialmente calculado con Excel se obtiene el valor correcto como se muestra en la siguiente figura:

Para elaborar un diagrama de caja y bigotes es necesario saber:

Un diagrama de caja y bigotes es una representación gráfica que ayuda a visualizar una distribución de datos: caja desde Q1 a Q3 (50% de los datos), y bigotes el recorrido (distancia desde valor mínimo hasta el valor máximo).

Para elaborar un diagrama de caja se procede de la siguiente manera:

a) Se marca los valores de la serie de datos sobre el eje horizontal o vertical.

b) Se ubica sobre el eje el valor mínimo, primer cuartil, mediana o segundo cuartil, tercer cuartil y el valor máximo.

c) Se construye un rectángulo (caja) paralelo al eje, de longitud desde Q1 a Q3 y anchura arbitraria.

De acuerdo al ejemplo ilustrativo se tiene:

Valor mínimo = 6

Q1 = 9

Q2 = 12

Q3 = 13,5

Valor máximo = 17

b) Para Datos Agrupados en Tablas de Frecuencias

Se aplica la misma ecuación empleada para el cálculo en los datos no agrupados

Ejemplo ilustrativo: Dada la siguiente tabla:

1) Calcular el cuartil 2

2) Representar los cuartiles en un histograma para la fra(%) (Frecuencia relativa acumulada medida en porcentajes). Determinar gráficamente el valor de los cuartiles

Solución:

1) Cálculo del cuartil 2

Aplicando la primera ecuación para el cuartil dos se obtiene:

Como la posición del cuartil 2 es 4,5, su valor es el promedio de los datos cuarto y quinto

Para observar con claridad cuáles son los datos cuarto y quinto se aconseja calcular la frecuencia acumulada

Se observa que el cuarto dato es 12 y el quinto dato es 12, por lo tanto

2) Representando los cuartiles en un histograma para la fra(%)

Calculando la fra(%) se obtiene:

c) Para Datos Agrupados en Intervalos

Se emplea la siguiente ecuación:

Ejemplo ilustrativo: Dado los siguientes datos sobre pesos de un grupo de 50 personas:

1) Calcular los cuartiles empleando la ecuación

2) Calcular los cuartiles empleando un histograma para fra(%) (Frecuencia relativa acumulada mediada en porcentajes)

Solución:

1) Cálculo de los cuartiles empleando la ecuación

1.1) Cálculo del primer cuartil

Primero se calcula nk/4 y después se averigua el intervalo en el que está el cuartil, este intervalo recibe el nombre de intervalo o clase del primer cuartil. Para averiguar el intervalo en el que están los cuartiles se aconseja calcular la frecuencia acumulada

Por lo tanto en este ejemplo:

El intervalo del segundo cuartil es 55-65.

El número total de datos es n=10

Se observa que 6 valores están por debajo del valor 55, es decir Fa=6.

La frecuencia absoluta (fQ) del intervalo del cuartil es 10

El ancho del intervalo del cuartil es c=65-55=10.

Al aplicar la ecuación se obtiene:

1.2) Cálculo del segundo cuartil

Primero se calcula nk/4 y después se averigua el intervalo en el que está el cuartil, este intervalo recibe el nombre de intervalo o clase del cuartil.

Por lo tanto para el segundo cuartil se tiene:

Intervalo: 65-75

n=10

Fa=16

fQ =19

c =75-65 =10

Al aplicar la ecuación se obtiene:

1.3) Cálculo del tercer cuartil

Primero se calcula nk/4 y después se averigua el intervalo en el que está el cuartil, este intervalo recibe el nombre de intervalo o clase del cuartil.

2) Cálculo de los cuartiles empleando un histograma para fra(%)

2.1) Calculando la fra(%) se obtiene:

2.2) Elaborando el histograma en Excel y en Paint se obtiene la siguiente figura:

Histograma para la fra(%)

2.3) Cálculo del primer cuartil

Observando en gráfico tenemos que el Q1 = 55 + AE

Los triángulos ABC y AED son semejantes, por lo que se cumple:

2.3) Cálculo del segundo cuartil

Observando en gráfico tenemos que el Q2 = 65 + CI

Los triángulos CFG y CIH son semejantes, por lo que se cumple:

Despejando CI se obtiene:

2.3) Cálculo del tercer cuartil

Observando en gráfico tenemos que el Q3 = 75 + GM

Los triángulos GJK y GML son semejantes, por lo que se cumple:

2.5.2) DECILES

2.5.2.1) Definición

2.5.2.2) Métodos de Cálculo

a) Para Datos No Agrupados

La posición o ubicación de los deciles se encuentra aplicando la siguiente ecuación:

Donde:

n = número total de datos.

k = número del decil.

Ejemplo ilustrativo:

Calcular el quinto decil de la siguiente distribución: 6, 9, 9, 12, 12, 12, 15 y 17

Solución:

Para calcular los deciles se ordena los datos de menor a mayor.

Aplicando la ecuación para el quinto decil se obtiene:

O también la posición 4,5 dice que el decil 5 está ubicado al 50% del trayecto comprendido entre el cuarto dato, que es 12 y el quinto dato que también es 12, es decir,

D5= 12+0,5(12-12) = 12

En Excel se calcula de la siguiente manera:

Como D5 es igual a P50 se introduce la función PERCENTIL

b) Para Datos Agrupados en Tablas de Frecuencia

Se emplea la misma ecuación utilizada en el cálculo de los deciles para datos sin agrupar.

c) Para Datos Agrupados en Intervalos

Se emplea la siguiente ecuación:

2.5.3) PERCENTILES O CENTILES

2.5.3.1) Definición

Son cada uno de los 99 valores P1, P2, P3,……..P99 que dividen atribución de los datos en 100 partes iguales.

2.5.3.2) Métodos de Cálculo

a) Para Datos No Agrupados

La posición o ubicación de los percentiles se encuentra aplicando la siguiente ecuación:

Donde:

n = número total de datos

k = número del percentil

Ejemplo ilustrativo:

Calcular los percentiles de orden 20 y 33 del peso de diez personas que pesan (en kg)

80, 78, 65, 73, 65, 67, 72, 68, 70 y 72

Solución:

Se ordena los datos de menor a mayor se tiene:

1) Cálculo del percentil de orden 20 se obtiene:

En Excel se obtiene un valor aproximado insertando la función PERCENTIL

2) Cálculo del percentil de orden 33 se obtiene:

b) Para Datos Agrupados en Tablas de Frecuencia

Se emplea la misma ecuación utilizada en el cálculo de los percentiles para datos sin agrupar.

c) Para Datos Agrupados en Intervalos

Se emplea la ecuación:

TAREA DE INTERAPRENDIZAJE

1) ¿El valor de la mediana con qué valor del cuartil, decil y del percentil coincide?. Plantee y resuelva un ejercicio para ilustrar su respuesta.

2) ¿Por qué a los cuartiles, deciles y percentiles se les considera como medidas de posición?

3) Realice un organizador gráfico sobre las medidas de posición.

4) Calcule los 3 cuartiles de las siguientes distribuciones de datos de manera manual y empleando Excel. Realice un diagrama de caja y bigotes de manera manual y empleando Graph.

6) Cree y resuelva un ejercicio similar al presentado en el cálculo de los cuartiles para datos agrupados en intervalos.

7) Emplee los datos del ejercicio anterior y calcular los cuartiles empleando un histograma para la frecuencia absoluta acumulada.

8) Calcule el quinto decil de 1, 3, 6, 9, 12, 15, 18 y 21 de manera manual y empleando Excel.

D5=10,5

9) Cree y resuelva un ejercicio sobre el cálculo del decil 3 y del decil 7 para datos agrupados en tablas de frecuencias.

10) Cree y resuelva un ejercicio sobre el cálculo de los deciles de orden 4 y 8 para datos agrupados en intervalos empleando las ecuaciones y a través de un histograma para la fra(%).

11) Calcule el percentil de orden 25 de 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 y 22 de manera manual y empleando Excel.

P25=6

12) Calcule el percentil de orden 75 de 10, 20, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 120 y 140.

P75=95

13) Plantee y resuelva un ejercicio sobre el cálculo de los percentiles 35 y 60 para datos agrupados en tablas de frecuencias.

14) Plantee y resuelva un ejercicio sobre el cálculo de percentiles 45 y 85 para datos agrupados en intervalos empleando las ecuaciones y a través de un histograma para la fra(%).

Moda

La moda de un conjunto de datos es el valor que aparece con mayor frecuencia.

2.6.1) PROPIEDADES

– No es afectada por valores muy altos o muy bajos.

– La moda, al igual que la mediana, no se presta para tratamientos algebraicos como la media aritmética.

– La moda puede no existir, e incluso no ser única en caso de existir.

– Cuando en un conjunto de datos hay tres o más datos diferentes con la misma frecuencia mayor, esta información a menudo no resulta útil (demasiadas modas tienden a distorsionar el significado de moda). Por lo que en estos casos se considera que el conjunto de datos no tiene moda.

Para un conjunto de datos unimodales existe la siguiente relación empírica:

Media aritmética – moda = 3 (media aritmética – mediana)

2.6.2) MÉTODOS DE CÁLCULO

2.6.2.1) Para Datos No Agrupados

Se observa el dato que tiene mayor frecuencia

Ejemplo ilustrativo N° 1

Determinar la moda del conjunto de datos 2, 4, 6, 8, 8 y 10

Solución:

Mo = 8, porque es el dato que ocurre con mayor frecuencia. A este conjunto de datos se le llama unimodal

En Excel se calcula insertando la función MODA

Ejemplo ilustrativo N° 2

Determinar la moda del conjunto de datos: 2, 4, 6, 8 y 10

Solución:

Este conjunto de datos no tiene moda, porque todos los datos tienen la misma frecuencia.

Ejemplo ilustrativo N° 3

Determinar la moda del conjunto de datos: 2, 4, 6, 6, 8, 8 y 10

Solución:

Este conjunto de datos tiene dos modas, 6 y 8, y se llama bimodal.

2.6.2.2) Para Datos Agrupados en Tablas de Frecuencia

Se observa el dato tiene mayor frecuencia

Ejemplo ilustrativo: Calcule la moda o modas (si las hay) de los siguientes datos:

Solución:

Se observa que el dato con mayor frecuencia es 6, por lo tanto Mo = 6

2.6.2.3) Para Datos Agrupados en Intervalos

Se halla en el intervalo o clase que tenga la frecuencia más alta, llamada intervalo o clase modal. Se emplea la siguiente ecuación:

Ejemplo ilustrativo: Calcule la moda o modas (si las hay) de los siguientes datos:

Solución:

Se observa que la clase modal es 30-39, ya que es el intervalo con la mayor frecuencia.

Aplicando la ecuación

Gráficamente empleando un histograma se calcula la moda de la siguiente manera:

La clase modal es 30-39, ya que es el intervalo con la mayor frecuencia

Observando el histograma se tiene que Mo = 30 + FB

Los triángulos ABC y EBD son semejantes, por lo que se cumple:

Donde:

AC = Diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la clase que la antecede.

BG es igual al ancho del intervalo 30-39 menos FB.

DE = Diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la clase que le sigue.

Reemplazando valores y despejando FB se tiene:

TAREA DE INTERAPRENDIZAJE

1) Realice un organizador gráfico sobre la moda.

2) Para una tienda de modas o para un diseñador de autos, ¿ de qué le serviría saber el valor de la moda?.

3) Se está estudiando el ingreso diario de un grupo de personas y se tiene los siguientes valores en dólares: 350, 400, 500, 350, 550, 1500 y 2000.

3.1) Calcule manualmente y empleando Excel la media aritmética, la mediana y la moda.

3.2) ¿Qué valor es más representativo del ingreso promedio?. Argumente su respuesta.

4) Plantee un resuelva un ejercicio con datos sin agrupar y comprueba la relación empírica entre la media aritmética, mediana y moda.

5) Averigüe a 30 compañeros de su clase sobre el número de hermanas y hermanos.

5.1) Elabore una tabla de frecuencias.

5.2) Calcule la media aritmética, mediana y moda.

6) Dados los siguientes datos: 50, 52, 59, 60, 60, 63, 64, 65, 69, 69, 70, 70, 72, 72, 74, 74, 75, 75, 76, 75, 74, 70, 77, 78, 78, 79, 79, 75, 80, 80, 81, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 98, 99, 100 y 109

6.1) Calcule manualmente y empleando Excel la media aritmética, la mediana y la moda con los datos sin agrupar.

6.2) Agrupe los datos en intervalos de ancho 10. Complete la siguiente tabla:

6.3) A partir de la tabla anterior calcule media aritmética, la mediana y la moda.

6.4) Calcule la media aritmética empleando Excel.

6.5) Calcule la moda empleando un histograma.

Mo=76,47

6.6) Calcule la mediana a través de un histograma para la fra(%)

Md=78,33

6.7) ¿Por qué varían los resultados de los datos sin agrupar con los datos agrupados en intervalos?

Autor:

Mario Suarez