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Esquema general de computar grafos graph sparsity (m/n ratio) static/dynamic nature weighted/unweighted, weight distribution vertex degree distribution directed/undirected simple/multi/hyper graph problem size granularity of computation at nodes/edges domain-specific characteristics paths clusters partitions matchings patterns orderings Input data Problem: Find *** Factors that influence choice of algorithm Graph kernel traversal shortest path algorithms flow algorithms spanning tree algorithms topological sort ….. Graph problems are often recast as sparse linear algebra (e.g., partitioning) or linear programming (e.g., matching) computations
Definiciones y Representación Un grafo no dirigido G es un par (V,E), donde V es un cjto. finito de puntos llamados vértices y E es un cjto. finito de aristas o arcos. Una arista e ? E es un par no ordenado (u,v), u,v ? V. En un grafo dirigido, e es un par ordenado (u,v). Una arista (u,v) es incidente del vértice u y es incidente a v. Una ruta del vértice v al u es una secuencia < v0,v1,v2,…,vk> de vertices donde v0 = v, vk = u, y (vi, vi+1) ? E para i = 0, 1,…, k-1. La longitud de la ruta está definida por el número de aristas en la ruta.
Definiciones y Representación a) Grafo no dirigido (b) Grafo dirigido
Definiciones y Representación Un grafo no dirigido está conectado si cada par de vértices está conectado por una ruta. Un bosque es un grafo acíclico, y un árbol es un grafo conectado acíclico. Un grafo que tiene pesos asociados con cada arista es un grafo ponderado.
Definiciones y Representación Un grafo se puede representar por una matriz de adyacencia o una lista de aristas (o vértices). Las matrices de adyacencia tienen un valor ai,j = 1 si los nodos i , j comparten una arista; 0 en caso contrario. En un grafo ponderado, ai,j = wi,j, el peso de la arista. La lista de adyacencia para un grafo G = (V,E) consiste de un array Adj[1..|V|] de listas. Cada lista Adj[v] es una lista de todos los vértices adyac. a v. Para un grafo de n nodos, la matriz de adyacencia ocupa espacio de T(n2) y la lista ocupa T(|E|).
Definiciones y Representación Grafo no dirigido y su matriz de adyacencia Grafo no dirigido y su lista de adyacencia
Minimum Spanning Tree Un spanning tree de un grafo no dirigido G es un subgrafo de G que es un árbol que contiene todos los vértices de G. Un un grafo ponderado, el peso de un subgrafo es la suma de los pesos de las aristas del subgrafo. Un minimum spanning tree (MST) sería el spanning tree con peso mínimo.
Minimum Spanning Tree Un grafo no dirigido y su minimum spanning tree.
Minimum Spanning Tree: Algoritmo de Prim Es un algoritmo goloso (greedy). Empieza escogiendo un vértice arbitrario, y lo incluye en el actual MST. Hace crecer al actual MST incorporando en él al vértice más cercano a uno de los vértices del actual MST.
Minimum Spanning Tree: Algoritmo de Prim
Minimum Spanning Tree: Algoritmo de Prim Versión secuencial (no paralela)
Algoritmo de Prim paralelo El “while”– es difícil ejecutarlos en paralelo. El “for” interno es más fácil de paralelizar. Sea p el número de procs., y n el número de vértices. La matriz de adyacencia se particiona en bloques 1-D, con el vector de distancia d particionado así también. En cada paso, el proc. escoge el nodo más cerca localmente, luego se hace una reducción global para escoger el nodo más cercano global. Se inserta ese nodo al MST, y se hace el broadcast respectivo a todos los procs. Cada proc. actualiza su parte del vector d localmente.
Algoritmo de Prim paralelo La partición del vector de distancia d y la matriz de adyacencia A entre p procs.
Algoritmo de Prim paralelo El costo de seleccionar el nodo más cercano es O(n/p + log p). El costo del broadcast es O(log p). El costo de actualización local del vector d es O(n/p). El tiempo paralelo por iteración es O(n/p + log p). El tiempo total paralelo es O(n2/p + n log p). La isoeficiencia es O(p2log2p).
Ruta más corta – un solo origen En un grafo ponderado G = (V,E,w), el problema de la ruta más corta con un solo origen es encontrar las rutas más cortas de un vértice v ? V a los demás vértices en V. El algoritmo de Dijkstra es parecido al de Prim. Mantiene un conjunto de nodos de los cuáles se sabe sus rutas más cortas. Este conjunto crece basado en el nodo más cercano al origen usando uno de los nodos en el actual conjunto de ruta más corta.
Algoritmo de Dijkstra Algoritmo de Dijkstra, secuencial
Algoritmo de Dijkstra paralelo Similar a Prim paralelo para MST. La matriz de adyacencia ponderada se particiona usando bloques 1-D. Cada proceso escoge, localmente, el nodo más cercano al origen, seguido por una reducción global para escoger el siguiente nodo. Se hace broadcast de ese nodo y del vector l actualizado a todos los procesadores Performance paralela es idéntica al Prim paralelo
Rutas más cortas – todos los pares Dado un grafo ponderado G(V,E,w), el problema de todos los pares de rutas más cortas es encontrar las rutas más cortas entre todos los pares de vértices vi, vj ? V. Hay varios algoritmos que resuelven este problema.
Rutas más cortas – todos los pares:Algoritmo basado en MatMult Considere la multiplicación de la matriz de adyacencia ponderada consigo misma – pero reemplaze las multiplicaciones de números x*y por sumas x+y, y las sumas x+y por min(x,y). El “producto” de la matriz de adyacencia ponderada consigo misma = una matriz que contiene las rutas más cortas de longitud 2 entre cualquier par de nodos. Luego, “ An ” contiene todas las rutas más cortas.
Algoritmo basado en MatMult
Algoritmo basado en MatMult “An” es calculado doblando las potencias: A, A2, A4, A8, … Se necesita log n MatMults, cada una se tarda O(n3). Complejidad serial: O(n3log n). Hay mejores algoritmos, con complejidad O(n3).
Algoritmo basado en MatMult, en paralelo Cada una de las log n MatMults se pueden hacer en paralelo. Se pueden usar n3/log n procs para computar cada producto matriz-matriz en tiempo log n. Tiempo total: O(log2n).
Dijkstra para todos los pares Ejecutar n instancias de Dijkstra para 1 solo origen, uno para cada uno de los n vértices como origen. Complejidad es O(n3).
Dijkstra para todos los pares, en paralelo Hay dos estrategias para paralelizar – ejecutar cada uno de los n problemas de ruta más corta con un solo origen en un diferente procs. (partición de los orígenes), o usar la versión paralela de la ruta más corta con un solo origen (paralelizar cada origen).
Partición de los orígenes Use n procs, cada proc Pi calcula las rutas más cortas desde el vértice vi a los demás vertices con Dijkstra secuencial. No hay comunicación entre procesadores (suponiendo que la matriz de adyacencia esta replicada en todos los procs). Tiempo paralelo: T(n2). Es de costo óptimo, pero solo puede usarse n procs. ? La isoeficiencia es p3.
Paralelizar cada origen Cada ruta más corta de un solo origen es hecha en paralelo. Se pueden usar hasta n2 procs. si combino con método anterior. Dados p procs (p > n), cada problema individual es ejecutado por p/n procs. Tomaría un tiempo de:
Costo óptimo p = O(n2/log n) , isoeficiencia es T((p log p)1.5)
Algoritmo de Floyd Para cada par de vértices vi, vj ? V, considere todas las rutas de vi a vj cuyos vértices intermedios pertenecen a {v1,v2,…,vk}. Sea pi(,kj) (de peso di(,kj) ) la ruta más corta de entre ellas. Si vk está en la ruta más corta de vi a vj, entonces pi(,kj) es la misma que pi(,kj-1) Si vk está en pi(,kj), entonces podemos partir a pi(,kj) en 2 rutas – una de vi a vk y otra de vk a vj . Cada una de estas rutas usan vértices de {v1,v2,…,vk-1}.
Algoritmo de Floyd La siguiente relación de recurrencia se observa: Esta ecuación debe ser computada por cada par de nodos y para k = 1,…, n. Complejidad serial es de O(n3).
Algoritmo de Floyd Computa todas las rutas más cortas entre todos los pares de vértices del grafo G = (V,E) con matriz de adyacencia A.
Algoritmo de Floyd en paralelo con Bloques 2-D Matriz D(k) se divide en p bloques de tamaño (n / vp) x (n / vp). Cada proc. actualiza su parte de la matriz durante cada iteración. Para computar dl(,kk-1) el proc Pi,j debe obtener dl(,kk-1) and dk(,kr-1). En general, durante la iteración kesima, cada uno de los vp procs conteniendo parte de la fila kesima la envía a los vp – 1 procs de la misma columna. De la misma forma, cada uno de los vp procs que contienen parte de la kesima columna la envían a los vp – 1 procs de la misma fila.
Algoritmo de Floyd en paralelo con Bloques 2-D (a) Matriz D(k) distribuida en bloques 2-D mapeados así: vp x vp subbloques, (b) el subbloque de D(k) asignado al proc Pi,j
Algoritmo de Floyd en paralelo con Bloques 2-D (a) Patrones de comunicación en mapeo en bloques 2-D. Al computar di(,kj), info debe mandarse a los procs subrayados desde otros 2 procs en la misma fila y columna. (b) La fila y columna de vp procs que contiene la kesima fila y columna las envía junto con columnas y filas.
Algoritmo de Floyd en paralelo con Bloques 2-D Floyd en paralelo usando blqoues 2-D. P*,j son todos los procs en la jesima columna, y Pi,* son todos los procs en la fila iesima. La matriz D(0) es la matrix de adyacencia
Algoritmo de Floyd en paralelo con Bloques 2-D Durante cada iteración del algoritmo, la fila kesima y la columna kesima de procs hacen un broadcast 1-a-todos a lo largo de sus filas/columnas. El tamaño del broadcast es n/vp elementos, tiempo: T((n log p)/ vp). El paso de sincronizar toma T(log p). El tiempo de computación es T(n2/p). Tiempo paralelo de Floyd con bloques 2D es:
Se puede usar O(n2 / log2 n) procs a costo óptimo. Isoeficiencia es T(p1.5 log3 p). Se puede mejorar si se relaja la sincronización estricta luego de cada iteración.
Algoritmo de Floyd en paralelo con Bloques 2-D
Floyd acelerado con Pipelining El paso de sincronización del Floyd paralelo se puede remover sina afectar los resultados. Un proc comienza a trabajar en la kth iteración apenas se ha computado la iteración (k-1)esima y tiene partes relevantes de la matriz D(k-1)
Floyd acelerado con Pipelining Asume que elproc 4 en el tiempo t acaba de computar de la columna kesima de la matriz D(k-1). Manda el segmento a procs 3 y 5. Estos procs reciben el segmento en el momento t + 1 (1 tiempo= lo que tarda un segmento de un nodo a su vecino inmediato). Procs lejos del 4 reciben el segmento después. Proc 1 (en el boundary) no reenvía elemento después de recibirlo.
Floyd acelerado con Pipelining En cada paso, n/vp elementos de la 1ra fila se envían desde Pi,j al Pi+1,j. Similarmente, elementos de la 1ra columna se envían de Pi,j al Pi,j+1. Cada paso demora: T(n/vp). Luego de T(vp) pasos, el proc Pvp ,vp obtiene los elementos relevantes de la 1ra cola y 1ra col en tpo T(n). Los valores de otras filas y cols siguen luego de T(n2/p) modo pipeline. Proc Pvp ,vp termina su parte de computación en T(n3/p) + T(n). Cuando el proc Pvp ,vp ha terminado en la iteración (n-1)th, envía los valores relevantes de la nth fila y columna a otros procs.
Floyd acelerado con Pipelining Tiempo paralelo:
Usa hasta O(n2) procesadores eficientemente. Isoeficiencia es T(p1.5).
Comparación La performance y escalabilidad de varios algoritmos se muestra.
Clausura transitiva (Transitive Closure) Si G = (V,E) es un grafo, entonces la transitive closure de G es el grafo G* = (V,E*), donde E* = {(vi,vj) | hay un path del vi al vj en G} La matriz de conectividad G es una matriz A* = (ai*,j) tal que ai*,j = 1 si hay alguna ruta de vi a vj a i = j, y ai*,j = 8 de otra manera. Para computar A* se asigna un peso de 1 para cada arista E y se usa cualquiera de las rutas mas cortas – todos los pares.
Componentes conectados Los componentes conectados de un gafo no dirigido son las clases equivalentes de vértices bajo la relación “es alcanzable desde” Grafo con 3 componentes conectados: {1,2,3,4}, {5,6,7}, y {8,9}.
Usando alg. Depth-First Search Hacer DFS en el grafo para obtener un bosque- cada árbol de la forest es un “connected component” separado (b) Es un bosque obtenido de un trasverse DF del gráfico en (a).
Componentes conectados en paralelo Particionar el grafo entre los procs y correr algoritmos independientes en cada proc. En este punto, tenemos p “spanning forests”. En el segundo paso, se combinan estas “forest” de 2 en 2 hasta que solo quede 1.
Componentes conectados en paralelo La matriz de adyacencia de G en (a) se particiona en dos (b). Cada proceso consigue un subgrafo de G ((c) y (e)). Cada proceso computa el spanning forest de su subgrafo ((d) y (f)). Finalmente, los dos bosques se combinan en uno.
Componentes conectados en paralelo Para unir pares de bosques, el algoritmo usa conjuntos disjuntos de aristas. Definimos estas operaciones en esos conjuntos: find(x) Devuelve un puntero al elemento representativo del cjto conteniendo x . Cada cjto tiene su propio y único representativo. union(x, y) Une los conjuntos conteniendo los elementos x , y. se asume que los dos cjtos eran disjuntos antes de esta operación.
Componentes conectados en paralelo Para unir el bosque A con el B, para cada arista (u,v) de A, se efectúa una operación find para determinar si los vértices están en el mismo árbol de B. Si no, los dos árboles (cjtos) de B conteniendo u y v se unen con una operación unión. Caso contrario, no se hace “union”. Por lo tanto, unir A y B requiere no más de 2(n-1) “find” y (n-1) “union”.
Componentes conectados: paralelo con Bloques 1-D The n x n adjacency matrix is partitioned into p blocks. Each processor can compute its local spanning forest in time T(n2/p). Merging is done by embedding a logical tree into the topology. There are log p merging stages, and each takes time T(n). Thus, the cost due to merging is T(n log p). During each merging stage, spanning forests are sent between nearest neighbors. Recall that T(n) edges of the spanning forest are transmitted.
Componentes conectados: paralelo con Bloques 1-D The parallel run time of the connected-component algorithm is
For a cost-optimal formulation p = O(n / log n). The corresponding isoefficiency is T(p2 log2 p).
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