Elementos de la teoría de las relaciones binarias

Relaciones binarias entre los elementos de dos conjuntos distintos

Definición 1.1:

Definición 1.2:

Observación 1.2:

Teorema 1.1:

Teorema 1.2:

Teorema 1.3:

Teorema 1.4:

Teorema 1.5:

Teorema 1.6:

Teorema 1.10:

Relaciones binarias entre los elementos de un mismo conjunto

Teorema 2.4:

Relaciones de equivalencia entre los elementos de un conjunto

Definición 3.1: Una relación de equivalencia entre los elementos de un conjunto es una relación, reflexiva, simétrica y transitiva.

Observación 3.1: Según los teoremas 2.1, 2.2, 2.3 y 2.5, la relación entre los elementos de es una relación de equivalencia si, y solamente si,

Finalmente, según los teoremas 1.10 y 1.12

, y el conjunto de las clases se nota por y se dice que es el conjunto factor del conjunto correspondiente a la relación de equivalencia

Propiedades:

La propiedad 3) significa que dos clases de equivalencia son o bien iguales, o bien disjuntas. Finalmente, las propiedades 1) y 3) implican que el conjunto es una reunión de clases de equivalencia disjuntas.

Observación 3.4: Si y son relaciones de equivalencia en el conjunto y entonces es fácil comprobar que es también una relación de equivalencia y

Ejemplo 3.1: Si es el conjunto de las rectas del plano y , la relación de paralelismo ¦ se define por:

Es fácil verificar que esta relación es de equivalencia, la clase de equivalencia de una recta r contiene a todas las rectas paralelas a y se dice que la clase es una dirección en el plano.

Ejemplo 3.2: Si es el conjunto de los planos del espacio E y sea ¦, la relación de paralelismo de los planos, definida por:

Es fácil verificar que esta relación es una relación de equivalencia y la clase de equivalencia de un plano contiene a todos los planos paralelos a

Ejemplo 3.3: Si N es el conjunto de los números naturales, sea un número natural.

Si son dos números naturales, sea la relación definida por:

Los números tienen el mismo resto en la división entre

Obviamente, esta relación es una relación de equivalencia. Puesto que los restos posibles en la división entre son tendremos clases de equivalencia.

Ejemplo 3.3:

Relaciones de orden entre los elementos de un conjunto

Definición 4.1: Una relación de orden entre los elementos de un conjunto es una relación, reflexiva, anti simétrica y transitiva.

Observación 4.1: Según los teoremas 2.1, 2.2, 2.4 y 2.6, la relación entre los elementos de es una relación de orden si, y solamente si,

Por analogía con los conjuntos numéricos, salvo excepciones, las relaciones de orden se designarán con el símbolo =. Así, los símbolos y se pueden sustituir por los símbolos = (menor o igual) y = (mayor o igual). Con estas nuevas notaciones, la relación = será una relación de orden si cumple las condiciones:

Definición 4.2: Una relación transitiva entre los elementos del conjunto es una relación de pre-orden.

Observación 4.2: Todas las relaciones de orden son de pre-orden. Sin embargo una relación de pre-orden podría no ser una relación de orden.

Ejemplo 4.1: La relación ". El tipo de orden del conjunto ordenado de números cardinales es el número ordinal designado por 5. Los números cardinales y ordinales finitos se designan por los mismos símbolos.

Otras relaciones binarias de interés

Definición 6.1:

Definición 6.2:

Teorema 6.1:

Teorema 6.2:

Bibliografia

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[10] Mauricio Telias H.,Introducción al algebra, Univercidad de Chile, 2015

Autor:

Aladar Peter Santha