Arrastra un vértice del triángulo para comprobarlo: Dibuja las otras dos circunferencias exinscritas al triángulo: El triángulo que se forma uniendo los puntos medios de los lados de un triángulo se denomina TRIÁNGULO MEDIAL. El incentro del triángulo medial se deno- mina PUNTO DE SPIEKER del triángulo original.
Dado un triángulo, dibuja su punto de Spieker.
[F3]: Triangle
TI Voyage 200 13 Fermí Vilà
[F4]: MidPoint Para “marcar” los puntos medios: [F3]: Triángulo Para dibujar el triángulo medial: [F7]: Thick Para hacerlo más grueso: Dibuja el incentro del triángulo medial, es decir el punto de Spieker del triángulo original: El Incentro, Baricentro y el punto de Spieker de un triángulo están alineados y la recta que los contiene se denomina RECTADE SPIEKER.
Dibuja la recta de Spieker de un triángulo y compruébalo dinámicamente.
[F7]: Hide/Show Para esconder el triángulo MEDIAL y las dos bisectrices del triángulo medial, en la figura anterior:
Fermí Vilà TI Voyage 200 14 Dibuja el baricentro del triángulo anterior: Esconde ([F7]: Hide/Show) lo que “molesta”: Dibuja el incentro del triángulo: Esconde lo que molesta: Dibuja la recta que pasa por G y S y comprueba dinámicamente que la recta de Spieker pasa por I:
Fermí Vilà TI Voyage 200 15 Una bisectriz interior de un triángulo es perpendicular a su bisectriz exterior corres- pondiente.
[F3]: Triangle Para dibujar el triángulo: [F7]: Thick Para hacerlo más grueso: [F2]: Line Para prolongar dos lados del triángulo: [F4]:Angle Bisector Para dibujar una bisectriz interior y la exterior correspondiente: [F7]: Dotted Para resaltar las dos bisectrices:
Fermí Vilà TI Voyage 200 16 [F7]: Hide / Show Para esconder las dos prolongaciones: [F7]: Mark Angle Para marcar uno de los supuestos ángulos rectos:
[F6]:Angle Para calcular el ángulo: Arrastra uno o más vértices del triángulo para comprobar que el ángulo se mantiene recto:
Fermí Vilà TI Voyage 200 17 Las paralelas a los lados de un triángulo ABC que pasan por los vértices opuestos forman otro triángulo MNPde lados dobles de los del primero y cuyos puntos me- dios sonA, B y C (el triángulo ABC será el triángulo MEDIALdel MNP.
Dado el triánguloABC, construye el triángulo MNP(paralelas a los lados deABC que pasan por los vértices opuestos).
[F3]: Triangle Para definir el triángulo ABC: [F7]: Thick Para resaltarlo [F4]: Parallel Line Para dibujar las paralelas por cada vértice: [F2]: Intersection Point Para marcar los vértices M, N, P:
Fermí Vilà TI Voyage 200 18 Comprueba queAes el punto medio de MN.
[F6]: Distance & Length Para medir el segmento MAy el NA:
Arrastra uno o más vértices del triángulo y comprueba que se “mantiene el punto medio”: Las alturas de todo triángulo ABC acutángulo son bisectrices interiores del trián- gulo MNP, cuyos vértices son los pies de sus alturas y que se denomina TRIÁN- GULO ÓRTICO del primero.
Dibuja el triángulo órtico del triánguloABC.
[F3]: Triangle Para dibujar el triánguloABC (debe ser acutángulo): [F4]: Perpendicular Line Para dibujar las tres alturas ABC:
Fermí Vilà TI Voyage 200 19 [F2]: Intersection Point Para determinar los puntos MNP (vértices del ÓRTICO): [F3]: Triangle Para dibujar el triángulo órtico: [F7]: Thick Para resaltarlo
Comprueba que las bisectrices interiores del triángulo órtico, coinciden con las alturas del triángulo original.
[F7]: Dotted Para “marcar” las tres alturas del triánguloABC [F4]:Angle Bisector Para dibujar las tres bisectrices interiores del triángulo MNP:
Arrastra uno o más vértices del triánguloABC para comprobar la coincidencia (las rectas punteadas, no deben aparecer):
Fermí Vilà TI Voyage 200 20 En cambio si hacemos que el triánguloABC no sea acutángulo (no existe triángulo órtico), entonces aparecen las rectas punteadas: La circunferencia circunscrita a un triánguloABC contiene los puntos de inter- sección de la mediatriz de cada lado con las bisectrices que pasan por el vértice opuesto.
[F3]: Triangle Para dibujar el triángulo: [F4]: Perpendicular Bisector Para dibujar las tres mediatrices:
[F2]: Intersection Point Para determinar el circuncentro: [F7]: Dotted Para cambiar el aspecto de las mediatrices:
Fermí Vilà TI Voyage 200 21 [F4]:Angle Bisector Para dibujar las bisectrices interiores: [F2]: Intersection Point Para “marcar” los puntos X, Y , Z (intersección de cada mediatriz con la bisectriz del vértice opuesto):
[F3]: Circle Para dibujar la circunferencia circunscrita:
Arrastra uno o más vértices del triángulo para comprobar que los puntos X, Y, Z pertenecen a la circunferencia circunscrita: Los 6 puntos notables de la circunferencia circunscrita: La circunferencia circunscrita a un triángulo contiene los puntos medios de los lados del triángulo de los exincentros, así como los puntos medios de los segmentos que unen éstos con el incentro.
Recupera la figura que contenía las circunferencias exinscritas a un triángulo:
Fermí Vilà TI Voyage 200 22 [F7]: Hide / Show Para esconder las circunferencias exinscritas: Arrastra el triángulo, para visualizar el triángulo de los exincentros: [F3]: Triangle Para “marcar” el triánguloABC (triángulo de los exincentros): [F7]: Hide / Show Para esconder las bisectrices exteriores y las prolongaciones de los lados del triángulo original:
Tenemos un triángulo y el triánguloABC de sus exincentros.
Dibuja el incentro del triángulo original:
Fermí Vilà TI Voyage 200 23 [F2]: Segment Para unir el incentro con los exincentros A, B, C:
[F4]: MidPoint Para determinar X, Y, Z, puntos medios de los segmentos anteriores: [F4]: Midpoint Para determinar O, P, Q, puntos medios del triángulo de los exincentros:
Dibuja la circunferencia circunscrita al triángulo original: Comprueba que los 6 puntos notables X, Y, Z, O, P, Q permanecen en la circunferencia circunscrita:
Fermí Vilà TI Voyage 200 24 Circunferencia de FEUERBACH o circunferencia de los NUEVE PUNTOS o circun- ferencia de EULER o circunferencia MEDIOINSCRITA a un triángulo: Es la circunferencia que pasa por: – Los pies de las alturas:A, B, C (es decir, vértices del triángulo ÓRTICO). Recuerda que el triángulo original debe ser acutángulo. – Los puntos medios de los lados del triángulo (D, E, F) – Los puntos medios de los segmentos determinados por el ortocentro y los vértices del triángulo (G, H, I).
Dibuja un triángulo acutángulo y “marca” los puntosA, B, C (vértices del órtico): Marca los puntos medios del triángulo (D, E, F): Dibuja el ortocentro:
Fermí Vilà TI Voyage 200 25 Une los vértices del triángulo con el ortocentro: Determina los puntos medios de los segmentos anteriores: G, H, I: Vamos a dibujar la circunferencia que pasa por los 9 puntos que tenemos a la vista.
Dibuja dos segmentos: IH y HG por ejemplo: Dibuja las mediatrices de los segmentos anteriores:
Fermí Vilà TI Voyage 200 26 Marca el punto de intersección y tendremos el centro de la circunferencia buscada: Dibuja la circunferencia de Euler: Esconde lo que molesta: Compruébalo, recuerda que el triángulo debe permanecer acutángulo:
Fermí Vilà TI Voyage 200 27 SeaABC un triángulo y M un punto de su circunferencia circunscrita. Sean M1, M2 y M3 las proyecciones ortogonales de M sobre los ladosAB,AC y BC. Los puntos M1, M2 y M3 están alineados y la recta que los contiene se denomina RECTADE SIMSON.
[F3]: Triangle Para dibujar el triángulo: Dibuja su circunferencia circunscrita: [F2]: Point on Object Para “marcar” el punto M: [F2]: Line Para prolongar el lado BC:
Fermí Vilà TI Voyage 200 28 [F4]: Perpendicular Line Para dibujar las perpendiculares de M a cada lado: [F7]: Dotted Para visualizarlo mejor: [F2]: Intersection Point Para determinar las proyecciones ortogonales M1, M2 y M3:
[F7]: Hide / Show Para esconder las líneas que no necesitamos: [F2]: Line Para determinar la recta que pasa por M2 y M3:
Comprueba que la Recta de Simson pasa por M1, M2 y M3:
Fermí Vilà TI Voyage 200 29 Dado un triángulo cualquiera, si se construye un triángulo equilátero sobre cada lado, los centros de estos triángulos (sus baricentros) determinan otro triángulo que es también equilátero, y que se denomina TRIÁNGULO DE NAPOLEÓN.
[F3]: Triangle Para dibujar el triángulo: [F7]: Numerical Edit Para introducir el valor de 60º: [F2]: Ray Para “marcar” un lado del triángulo: [F5]: Rotation Para dibujar otro lado, a 60º del anterior: 1) selecciona 60. 2) selecciona la semirrecta. 3) selecciona el origen de la semirrecta.
[F7]: Hide / Show Esconde la semirrecta que no necesitamos:
Fermí Vilà TI Voyage 200 30 Vamos a repetir el mismo proceso para conseguir el otro lado del triángulo equilátero: Pero ahora el ángulo será de 300º, por lo tanto:
[F7]: Numerical Edit [F5]: Rotation Ya tenemos un triángulo equilátero, vamos a repetir el mismo proceso para otro lado: Sigue el mismo proceso para el triángulo equilátero del tercer lado:
Fermí Vilà TI Voyage 200 31 Dibuja el baricentro G1, G2 , G3 de cada uno de los nuevos triángulos: Esconde todo lo que molesta: Dibuja el triángulo de Napoleón: Comprueba que es equilátero:
Fermí Vilà TI Voyage 200 32 Comprueba que el baricentro del triángulo de Napoleón coincide con el baricentro del triángulo original:
Fermí Vilà TI Voyage 200 33 Dado el triánguloABC, el PUNTO DE FERMAT F del triángulo es el punto tal que la suma de distancias FA + FB + FC es mínima.
El punto de FERMAT de un triángulo se dibuja de la siguiente manera:
Necesitamos la primera parte de la construcción del triángulo de NAPOLEÓN, es decir, construir triángulos equiláteros en cada lado: Dibuja los segmentos C C1, B B1, C C1 y comprueba que concurren en el mismo punto: Este punto es el PUNTO DE FERMAT del triángulo: Comprueba que efectivamente es el punto de FERMAT, es decir la suma de distancias FA+ FB + FC es mínima …
Esconde lo que no necesitamos:
Fermí Vilà TI Voyage 200 34 Dibuja los segmentos FA, FB y FC: [F6]: Distance & Length Para medir los segmentos FA, FB y FC:
[F6]: Calculate Para calcular la suma de longitudes de los tres segmentos: Esconde las tres longitudes: Y los tres segmentos:
Fermí Vilà TI Voyage 200 35 [F2]: Point Para dibujar un punto cualquiera, en el interior del triángulo: Considera los tres segmentos a los vértices: Y sus longitudes: Calcula su suma: Comprueba arrastrando el último punto, que la suma correspondiente al punto de Fermat siempre es inferior:
Fermí Vilà TI Voyage 200 36 Dibuja un triángulo cuyos lados midan a = 3 cm, b = 2,5 cm y c = 2 cm.
[F7]: Numerical Edit Para introducir las tres longitudes: [F2]: Point Para crear el vértice C: [F4]: Measurement Transfer Para crear el vértice B a 3 cm de C: [F4]: Measurement Transfer Para crear un punto X a 2,5 cm del C: [F3]: Circle Para crear la circunferencia de centro C que pasa por X: [F4]: Measurement Transfer Para crear un punto Y a 2 cm del B:
Fermí Vilà TI Voyage 200 37 [F3]: Circle Para dibujar la circunferencia de centro B, que pasa por Y: [F2]: Intersection Point Para determinar el vérticeAdel triángulo: [F7]: Hide / Show Para esconder los puntos auxiliares y las circunferencias: [F3]: Triangle Para dibujar el triángulo pedido:
Cambia las medidas del triángulo a 2 cm, 3.5 cm y 2.5 cm ([F1]: Pointer y doble [Enter] en cada número para editarlo):
Fermí Vilà TI Voyage 200 38 Construye el triángulo de lados: a = 3 cm, b = 2.7 cm y el ángulo C = 50º
[F7]: Numerical Edit Para introducir los tres números: [F2]: Ray Para determinar el vértice C: [F4]: Measurement Transfer Para transferir 3 y determinar el vértice B: [F5]: Rotation Para transferir 50 en rotación: [F4]: Measurement Transfer Para transferir 2.7 cm desde C y determinar el punto X:
[F3]: Cercle y [F2]: Intersection Point Para determinar el vérticeA:
TI Voyage 200 39 Fermí Vilà
[F3]: Triangle Para construir el triángulo: Esconde lo que molesta: Pruébalo en un par de casos: Comprueba dinámicamente el teorema de Pitágoras.
Dibuja un cateto: [F4]: Perpendicular Line Para determinar el ángulo recto:
TI Voyage 200 40 Fermí Vilà
[F2]: Point on Object Para determinar el otro cateto: Dibuja la hipotenusa: Esconde lo que no es necesario: [F6]:Angle y [F7]: MarkAngle Para comprobar que es rectángulo: Mide los tres lados: Mueve las tres longitudes y añade el texto: [F6]: Calculate
Para calcular a2
TI Voyage 200 41 Fermí Vilà
[F6]: Calculate Para calcular: b2?c2 Modifica el triángulo para comprobar que los dos resultados se mantienen idénticos: Comprueba dinámicamente el Teorema de laALTURA.
La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a ésta.
Dibuja un triángulo rectángulo: [F4]: Perpendicular Line Para dibujar la altura: [F2]: Intersection Point Para determinar el pie de la altura:
Fermí Vilà TI Voyage 200 42 Determinar las longitudes de los dos segmentos en que ha dividido la altura a la hipotenusa: Separa los dos números para que se visualicen mejor: Mide la altura: [F6]: Calculate Para calcular la altura al cuadrado: Calcula ahora el producto de las dos longitudes m y n:
Modifica el triángulo rectángulo, para comprobar que h2=mn :
Fermí Vilà TI Voyage 200 43 Comprueba dinámicamente el Teorema del CATETO.
Cada cateto de un triángulo rectángulo es medio proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.
Dibuja un triángulo rectángulo con la altura correspondiente a la hipotenusa: Mide los tres lados y los dos segmentos sobre la hipotenusa: [F6]: Calculate Calcula c2 Calcula ma
[F6]: Calculate Calcula b2 Calcula na
Modifica el triángulo para comprobar que estos dos pares de resultados se mantienen constantes:
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