Nuevas relaciones. Polígonos regulares, círculos y estrellas planas

La fórmula para el cálculo de áreas de los polígonos regulares: An = kn ap2 (ver Area de los Polígonos – Enfoque para el Cálculo-, En monografías.com, URL: http://www.monografias.com/trabajos11/areas/areas ) nos permite establecer una serie de relaciones, diferentes a las conocidas, entre los polígonos regulares y entre éstos y los círculos. Igualmente, la fórmula inválida da origen a un estudio más profundo en referencia a las estrellas planas, o polígonos estrellados, así como sus relaciones con los polígonos regulares; para ello se propone la Contracción Punto a Punto (Contracción pap), que desarrollaré tocando sólo los aspectos que permiten obtener estrellas planas, a fin de hacer llegar mi proposición en forma sencilla.

Las relaciones entre polígonos regulares son válidas para los círculos, por cuanto éstos también son polígonos regulares. Sin embargo, trataremos algu-nas de sus relaciones como casos particulares, así como las de los polígonos semejantes, debido a que son las comúnmente estudiadas hasta ahora.

Las nuevas relaciones dan la oportunidad de mejorar los programas de enseñanza elemental de la Geometría, por cuanto incorporan otras, a las tradicionalmente conocidas entre polígonos semejantes ( así como los círculos inscritos y circunscritos), que constituyen casos particulares, como se verá más adelante.

Es necesario consultar el aparte: "Acerca de la invalidez de la fórmula conocida para calcular áreas de los polígonos regulares", en la monografía citada, para comprender lo que se trata.

Atentamente,

2. Relaciones Entre Polígonos Regulares

Generalidades

Sean dos polígonos regulares cualesquiera y n y k el número de lados de cada uno, estarán relacionados de la siguiente forma:

I.- Expresando las áreas en función de las apotemas, se tendrá:

An = kn apn2 y Ak= kk apk2 de donde:

An / Ak = kn apn2 / kk apk 2= (kn / kk) (apn / apk) 2 , luego:

An / Ak = (kn / kk) (apn / apk) 2 I1)

Si ambos polígonos tienen la misma apotema será (apn / apk) 2 = 1 y

An / Ak = kn / kk o An kk = Ak kn (I2)

Si ambos polígonos tienen la misma área: kn apn2 / kk apk 2= 1,

por lo que kn/ kk = (apk /apn)2 (I3)

II.- Expresando las áreas en función de los lados:

An = n2ln2/4kn y Ak = k2lk 2/4kk de donde: An / Ak = n2ln2 kk / k2lk2 kn =

= (n2 / k2)( ln2/lk2 )( kk /kn) = (n / k) 2 (ln / lk) 2 ( kk /kn) ,

para concluir: An / Ak = (n / k) 2 (ln / lk) 2 ( kk /kn) (II1)

Si los lados de ambos polígonos son de la misma longitud. será (ln / lk) 2 = 1 y por lo tanto

An / Ak= (n / k) 2 ( kk /kn) (II2)

Si sus áreas coinciden será An / Ak = 1 y por lo tanto

(n / k) 2 (ln / lk) 2 ( kk /kn) = 1; luego: (n / k) 2 (ln / lk) 2 = kn/ kk

de donde n2 ln2 kk = k 2 lk 2 kn (II3)

(o bien pn 2 kk = pk2 kn como se verá en III)

III.- Expresando las áreas en función de los perímetros:

An = pn2/4kn y Ak= pk2/4kkde donde:

An / Ak = kkpn2/ kn pk2 = (kk/ kn ) (pn/ pk) 2 , luego:

An / Ak = (kk/ kn ) (pn/ pk) 2 (III1)

Si los perímetros son iguales, (pn/ pk) 2 = 1 y luego:

An / Ak = kk/ kn (III2)

Si sus áreas coinciden será An / Ak = 1 y por lo tanto

(kk/ kn ) (pn/ pk) 2 = 1 o bien (kk/ kn ) = (pk / pn) 2 y finalmente

kkpn2= kn pk2 (III3)

IV.- Multiplicando miembro a miembro: I1, II1 y III1 se tiene:

(An / Ak)3 = (kn / kk) (apn / apk) 2 (n / k) 2 (ln / lk) 2 ( kk /kn) (kk/ kn ) (pn/ pk)2

luego: (An/Ak)3 =(kk/ kn ) (apn / apk) 2 (n / k) 2 (ln / lk) 2 (pn/ pk)2 , por lo que:

(An/Ak)3 =(kk/ kn ) (n apn ln pn) 2 / ( k apk lk pk) 2 (IV1)

Si multiplicamos solamente I1 y II1 tendremos:

(An / Ak)2 = (kn / kk) (apn / apk) 2 (n / k) 2 (ln / lk) 2 ( kk /kn) ,

luego: (An / Ak)2 = (apn / apk) 2 (n / k) 2 (ln / lk) 2 , de donde:

An / Ak = n ln apn / k lk apk (IV2)

Si multiplicamos solamente II1 y III1 tendremos:

(An / Ak)2 = (n / k) 2 (ln / lk) 2 ( kk /kn) (kk/ kn ) (pn/ pk)2 ,

por lo que (An / Ak)2 = (n / k) 2 (ln / lk) 2 ( kk /kn)2 (pn/ pk)2

Extrayendo la raíz cuadrada (todos los términos entre paréntesis son positivos):

(An / Ak) = (n / k)(ln / lk) (pn/ pk) ( kk /kn) (IV3)