Programación dinámica: Introducción Recordemos el problema de la mochila: Se tienen n objetos fraccionables y una mochila. El objeto i tiene peso pi y una fracción xi (0=xi=1) del objeto i produce un beneficio bixi. El objetivo es llenar la mochila, de capacidad C, de manera que se maximice el beneficio. Una variante: la “mochila 0-1” xi sólo toma valores 0 ó 1, indicando que el objeto se deja fuera o se mete en la mochila. Los pesos, pi, y la capacidad son números naturales. Los beneficios, bi, son reales no negativos.
Ejemplo: n=3 C=15 (b1,b2,b3)=(38,40,24) (p1,p2,p3)=(9,6,5) Recordar la estrategia voraz: Tomar siempre el objeto que proporcione mayor beneficio por unidad de peso. Se obtiene la solución: (x1,x2,x3)=(0,1,1), con beneficio 64 Sin embargo, la solución óptima es: (x1,x2,x3)=(1,1,0), con beneficio 78 Por tanto, la estrategia voraz no calcula la solución óptima del problema de la mochila 0-1. Programación dinámica: Introducción
Técnica de programación dinámica Se emplea típicamente para resolver problemas de optimización. Permite resolver problemas mediante una secuencia de decisiones. Como el esquema voraz A diferencia del esquema voraz, se producen varias secuencias de decisiones y sólamente al final se sabe cuál es la mejor de ellas. Está basada en el principio de optimalidad de Bellman: “Cualquier subsecuencia de decisiones de una secuencia óptima de decisiones que resuelve un problema también debe ser óptima respecto al subproblema que resuelve.” Programación dinámica: Introducción R. Bellman: Dynamic Programming, Princeton University Press, 1957.
Supongamos que un problema se resuelve tras tomar un secuencia d1, d2, …, dn de decisiones. Si hay d opciones posibles para cada una de las decisiones, una técnica de fuerza bruta exploraría un total de dn secuencias posibles de decisiones (explosión combinatoria). La técnica de programación dinámica evita explorar todas las secuencias posibles por medio de la resolución de subproblemas de tamaño creciente y almacenamiento en una tabla de las soluciones óptimas de esos subproblemas para facilitar la solución de los problemas más grandes. Programación dinámica: Introducción
Sea mochila(k,l,P) el problema: El problema de la mochila 0-1 es mochila(1,n,C). El problema de la mochila 0-1
Ecuación de recurrencia hacia adelante: Si es el beneficio (o ganancia total) de una solución óptima de mochila(j,n,c), entonces dependiendo de que el objeto j-ésimo entre o no en la solución (nótese que sólo puede entrar si c-pj=0). Además, El problema de la mochila 0-1 Ambas ecuaciones permiten calcular , que es el valor de una solución óptima de mochila(1,n,C). (Nótese que la ecuación de recurrencia es hacia adelante pero el cálculo se realiza hacia atrás.) v g j ( c ) v g j ( c ) ? max v g j ? 1 ( c ) , v g j ? 1 ( c ? p j ) ? b j ? ? (Gp:) (Gp:) (Gp:) (Gp:) v (Gp:) g (Gp:) n (Gp:) ? (Gp:) 1 (Gp:) ( (Gp:) c (Gp:) ) (Gp:) ? (Gp:) 0 (Gp:) , (Gp:) (Gp:) para cualquier capacidad (Gp:) c
Ecuación de recurrencia hacia atrás: Si es el beneficio (o ganancia total) de una solución óptima de mochila(1,j,c), entonces dependiendo de que el objeto j-ésimo entre o no en la solución (nótese que sólo puede entrar si c-pj=0). Además, El problema de la mochila 0-1 Ambas ecuaciones permiten calcular , que es el valor de una solución óptima de mochila(1,n,C). (Ahora la recurrencia es hacia atrás pero el cálculo se realiza hacia adelante.) (Gp:) (Gp:) (Gp:) (Gp:) w (Gp:) g (Gp:) j (Gp:) ( (Gp:) c (Gp:) ) (Gp:) (Gp:) (Gp:) (Gp:) w (Gp:) g (Gp:) j (Gp:) ( (Gp:) c (Gp:) ) (Gp:) ? (Gp:) max (Gp:) w (Gp:) g (Gp:) j (Gp:) ? (Gp:) 1 (Gp:) ( (Gp:) c (Gp:) ) (Gp:) , (Gp:) (Gp:) w (Gp:) g (Gp:) j (Gp:) ? (Gp:) 1 (Gp:) ( (Gp:) c (Gp:) ? (Gp:) p (Gp:) j (Gp:) ) (Gp:) ? (Gp:) b (Gp:) j (Gp:) ? (Gp:) ? (Gp:) (Gp:) (Gp:) (Gp:) w (Gp:) g (Gp:) 0 (Gp:) ( (Gp:) c (Gp:) ) (Gp:) ? (Gp:) 0 (Gp:) , (Gp:) (Gp:) para cualquier capacidad (Gp:) c
Tanto la recurrencia hacia adelante como hacia atrás permiten escribir un algoritmo recursivo de forma inmediata. El problema de la mochila 0-1 función mochila1(p,b:vector[1..n] de nat; C:nat) devuelve nat principio devuelve g(n,C) fin función g(j,c:nat) devuelve nat principio si j=0 entonces devuelve 0 sino si c < p[j] entonces devuelve g(j-1,c) sino si g(j-1,c)=g(j-1,c-p[j])+b[j] entonces devuelve g(j-1,c) sino devuelve g(j-1,c-p[j])+b[j] fsi fsi fsi fin
Problema: ineficiencia Un problema de tamaño n se reduce a dos subproblemas de tamaño (n-1). Cada uno de los dos subproblemas se reduce a otros dos… Por tanto, se obtiene un algoritmo exponencial. Sin embargo, el número total de sub-problemas a resolver no es tan grande: La función tiene dos parámetros: el primero puede tomar n valores distintos y el segundo, C valores. ¡Luego sólo hay nC problemas diferentes! Por tanto, la solución recursiva está generando y resolviendo el mismo problema muchas veces. El problema de la mochila 0-1 (Gp:) (Gp:) (Gp:) (Gp:) w (Gp:) g (Gp:) j (Gp:) ( (Gp:) c (Gp:) )
Para evitar la repetición de cálculos, las soluciones de los subproblemas se deben almacenan en una tabla. Matriz n?C cuyo elemento (j,c) almacena Para el ejemplo anterior: n=3 C=15 (b1,b2,b3)=(38,40,24) (p1,p2,p3)=(9,6,5) El problema de la mochila 0-1 (Gp:) (Gp:) (Gp:) (Gp:) w (Gp:) g (Gp:) j (Gp:) ( (Gp:) c (Gp:) ) (Gp:) (Gp:) (Gp:) (Gp:) w (Gp:) g (Gp:) j (Gp:) ( (Gp:) c (Gp:) ) (Gp:) ? (Gp:) max (Gp:) w (Gp:) g (Gp:) j (Gp:) ? (Gp:) 1 (Gp:) ( (Gp:) c (Gp:) ) (Gp:) , (Gp:) (Gp:) w (Gp:) g (Gp:) j (Gp:) ? (Gp:) 1 (Gp:) ( (Gp:) c (Gp:) ? (Gp:) p (Gp:) j (Gp:) ) (Gp:) ? (Gp:) b (Gp:) j (Gp:) ? (Gp:) ?
El problema de la mochila 0-1 algoritmo mochila(ent p,b:vect[1..n]de nat; ent Cap:nat; sal g:vect[0..n,0..Cap]de nat) variables c,j:nat principio para c:=0 hasta Cap hacer g[0,c]:=0 fpara; para j:=1 hasta n hacer g[j,0]:=0 fpara; para j:=1 hasta n hacer para c:=1 hasta Cap hacer si c < p[j] entonces g[j,c]:=g[j-1,c] sino si g[j-1,c]=g[j-1,c-p[j]]+b[j] entonces g[j,c]:=g[j-1,c] sino g[j,c]:=g[j-1,c-p[j]]+b[j] fsi fsi fpara fpara fin
Cálculos posibles a partir de la tabla g: beneficio total: g[n,Cap] los objetos metidos en la mochila: El problema de la mochila 0-1 algoritmo objetos(ent p,b:vect[1..n]de nat; ent Cap:nat; ent g:vect[0..n,0..Cap]de nat) principio test(n,Cap) fin algoritmo test(ent j,c:nat) principio si j>0 entonces si c
g[j-1,c] entonces test(j-1,c-p[j]); escribir('meter ',j) sino test(j-1,c) fsi fsi fsi fin
Consideraciones finales Cada componente de la tabla g se calcula en tiempo constante, luego el coste de construcción de la tabla es O(nC). El algoritmo test se ejecuta una vez por cada valor de j, desde n descendiendo hasta 0, luego su coste es O(n). Si C es muy grande, entonces esta solución no es buena. Si los pesos pi o la capacidad C son reales, esta solución no sirve. El problema de la mochila 0-1
Camino de coste mínimo en un grafo multietapa Grafo multietapa: Un grafo multietapa G=(V,A) es un grafo dirigido en el que se puede hacer una partición del conjunto V de vértices en k (k=2) conjuntos distintos Vi, 1=i=k, tal que todo arco del grafo (u,v) es tal que u?Vi y v?Vi+1 para algún i, 1=i < k. Los conjuntos V1 y Vk tienen un solo vértice que se llama vértice origen, o, y vértice destino, d, respectivamente. Consideraremos grafos etiquetados.Denotamos por c(u,v) el coste del arco (u,v). (Gp:) 10 (Gp:) 1 (Gp:) 2 (Gp:) 3 (Gp:) 4 (Gp:) 5 (Gp:) 6 (Gp:) 7 (Gp:) 8 (Gp:) 9 (Gp:) 5 (Gp:) 7 (Gp:) 2 (Gp:) 3 (Gp:) 1 (Gp:) 4 (Gp:) 5 (Gp:) 9 (Gp:) 8 (Gp:) 11 (Gp:) 6 (Gp:) 4 (Gp:) 5 (Gp:) 9 (Gp:) 12 (Gp:) V1 (Gp:) V2 (Gp:) V3 (Gp:) V4 (Gp:) V5 (Gp:) o (Gp:) d
El problema: Encontrar un camino de coste mínimo que vaya de o a d. Todo camino de o a d tiene exactamente un vértice en cada Vi, por eso se dice que cada Vi define una etapa del grafo. (Gp:) 10 (Gp:) 1 (Gp:) 2 (Gp:) 3 (Gp:) 4 (Gp:) 5 (Gp:) 6 (Gp:) 7 (Gp:) 8 (Gp:) 9 (Gp:) 5 (Gp:) 7 (Gp:) 2 (Gp:) 3 (Gp:) 1 (Gp:) 4 (Gp:) 5 (Gp:) 9 (Gp:) 8 (Gp:) 11 (Gp:) 6 (Gp:) 4 (Gp:) 5 (Gp:) 9 (Gp:) 12 (Gp:) V1 (Gp:) V2 (Gp:) V3 (Gp:) V4 (Gp:) V5 (Gp:) o (Gp:) d Camino de coste mínimo en un grafo multietapa
Ejemplo de aplicación: Se tienen n unidades de un recurso que deben asignarse a r proyectos. Si se asignan j, 0=j=n, unidades al proyecto i se obtiene un beneficio Ni,j. El problema es asignar el recurso a los r proyectos maximizando el beneficio total. Camino de coste mínimo en un grafo multietapa
Formulación como grafo multietapa: Número de etapas: r+1 La etapa i, 1=i=r, representa el proyecto i. Hay n+1 vértices vi,j, 0=j=n, en cada etapa i, 2=i=r. Las etapas 1 y r+1 tienen un vértice, o=v1,0 y d=vr+1,n, respectivamente. El vértice vi,j, 2=i=r, representa el estado en el que se asignan un total de j unidades del recurso a los proyectos 1, 2, …, i-1. Los arcos son de la forma (vi,j,vi+1,l) para todo j=l y 1=i < r. El arco (vi,j,vi+1,l), j=l, tiene asignado un coste Ni,l-j que corresponde a asignar l-j unidades del recurso al proyecto i, 1=i < r. Además hay arcos de la forma (vr,j,vr+1,n), que tienen asignado un coste Camino de coste mínimo en un grafo multietapa
Grafo resultante para r=3 y n=4. La asignación óptima está definida por un camino de coste máximo de o a d. Para convertirlo en un problema de camino de coste mínimo basta cambiar los signos de las etiquetas. Camino de coste mínimo en un grafo multietapa
Solución de programación dinámica: Cada camino de o a d es el resultado de una secuencia de k-2 decisiones. Decisión i-ésima: determinar, a partir de un vértice vi de Vi, un arco que tenga a vi como origen y algún nodo de Vi+1 como destino. Principio de optimalidad: El camino de coste mínimo debe contener subcaminos de coste mínimo entre otros nodos. Dem.: En otro caso, podrían sustituirse dichos subcaminos por otros mejores, resultando un camino total de coste menor. Camino de coste mínimo en un grafo multietapa (Gp:) 10 (Gp:) 1 (Gp:) 2 (Gp:) 3 (Gp:) 4 (Gp:) 5 (Gp:) 6 (Gp:) 7 (Gp:) 8 (Gp:) 9 (Gp:) 5 (Gp:) 7 (Gp:) 2 (Gp:) 3 (Gp:) 1 (Gp:) 4 (Gp:) 5 (Gp:) 9 (Gp:) 8 (Gp:) 11 (Gp:) 6 (Gp:) 4 (Gp:) 5 (Gp:) 9 (Gp:) 12 (Gp:) V1 (Gp:) V2 (Gp:) V3 (Gp:) V4 (Gp:) V5 (Gp:) o (Gp:) d
Ecuación de recurrencia hacia adelante: Sea s(i,j) un camino de coste mínimo C*(i,j) desde el vértice j del conjunto Vi hasta el vértice destino d. Entonces: Camino de coste mínimo en un grafo multietapa (Gp:) 10 (Gp:) 1 (Gp:) 2 (Gp:) 3 (Gp:) 4 (Gp:) 5 (Gp:) 6 (Gp:) 7 (Gp:) 8 (Gp:) 9 (Gp:) 5 (Gp:) 7 (Gp:) 2 (Gp:) 3 (Gp:) 1 (Gp:) 4 (Gp:) 5 (Gp:) 9 (Gp:) 8 (Gp:) 11 (Gp:) 6 (Gp:) 4 (Gp:) 5 (Gp:) 9 (Gp:) 12 (Gp:) V1 (Gp:) V2 (Gp:) V3 (Gp:) V4 (Gp:) V5 (Gp:) o (Gp:) d
Camino de coste mínimo en un grafo multietapa (Gp:) 10 (Gp:) 1 (Gp:) 2 (Gp:) 3 (Gp:) 4 (Gp:) 5 (Gp:) 6 (Gp:) 7 (Gp:) 8 (Gp:) 9 (Gp:) 5 (Gp:) 7 (Gp:) 2 (Gp:) 3 (Gp:) 1 (Gp:) 4 (Gp:) 5 (Gp:) 9 (Gp:) 8 (Gp:) 11 (Gp:) 6 (Gp:) 4 (Gp:) 5 (Gp:) 9 (Gp:) 12 (Gp:) V1 (Gp:) V2 (Gp:) V3 (Gp:) V4 (Gp:) V5 (Gp:) o (Gp:) d
Falta almacenar las decisiones hechas en cada etapa que minimizan el coste: Sea D(i,j) el valor de l que minimiza Entonces el camino de coste mínimo es: v1=1; v2=D(1,1); v3=D(2,D(1,1)); etc. Camino de coste mínimo en un grafo multietapa (Gp:) c (Gp:) ( (Gp:) j (Gp:) , (Gp:) l (Gp:) ) (Gp:) ? (Gp:) C (Gp:) ? (Gp:) ( (Gp:) i (Gp:) ? (Gp:) 1 (Gp:) , (Gp:) l (Gp:) ). (Gp:) 10 (Gp:) 1 (Gp:) 2 (Gp:) 3 (Gp:) 4 (Gp:) 5 (Gp:) 6 (Gp:) 7 (Gp:) 8 (Gp:) 9 (Gp:) 5 (Gp:) 7 (Gp:) 2 (Gp:) 3 (Gp:) 1 (Gp:) 4 (Gp:) 5 (Gp:) 9 (Gp:) 8 (Gp:) 11 (Gp:) 6 (Gp:) 4 (Gp:) 5 (Gp:) 9 (Gp:) 12 (Gp:) V1 (Gp:) V2 (Gp:) V3 (Gp:) V4 (Gp:) V5 (Gp:) o (Gp:) d
Camino de coste mínimo en un grafo multietapa algoritmo multietapa(ent G=(V,A,c):grafo; ent k,n:nat; sal P:vect[1..k]de 1..n) {Los vértices están numerados de forma que los índices de los vértices de una etapa son mayores que los índices de los de la etapa anterior. El primer índice de C* y D, que sólo identificaba la etapa, se ha suprimido.} variables C:vect[1..n]de real; D:vect[1..n]de 1..n; j,r:1..n principio C[n]:=0.0; {Cálculo de C* y D} para j:=n-1 descendiendo hasta 1 hacer r:=vértice t.q. (j,r)?A 3 c(j,r)+C[r] es mínimo; C[j]:=c(j,r)+C[r]; D[j]:=r fpara; P[1]:=1; P[k]:=n; {Construcción del camino} para j:=2 hasta k-1 hacer P[j]:=D[P[j-1]] fpara fin
Coste del algoritmo: Si G está representado mediante listas de adyacencia, entonces el cálculo de r en el interior del primer bucle lleva un tiempo proporcional al grado del vértice j. Por tanto, si a es el número de arcos del grafo, el coste total del algoritmo es ?(n+a). (El segundo bucle lleva un tiempo ?(k).) Camino de coste mínimo en un grafo multietapa
Análogamente, se desarrolla la recurrencia hacia atrás. Ecuación de recurrencia hacia atrás: Sea s(i,j) un camino de coste mínimo C*(i,j) desde el vértice origen o hasta el vértice j del conjunto Vi. Entonces: Camino de coste mínimo en un grafo multietapa (Gp:) 10 (Gp:) 1 (Gp:) 2 (Gp:) 3 (Gp:) 4 (Gp:) 5 (Gp:) 6 (Gp:) 7 (Gp:) 8 (Gp:) 9 (Gp:) 5 (Gp:) 7 (Gp:) 2 (Gp:) 3 (Gp:) 1 (Gp:) 4 (Gp:) 5 (Gp:) 9 (Gp:) 8 (Gp:) 11 (Gp:) 6 (Gp:) 4 (Gp:) 5 (Gp:) 9 (Gp:) 12 (Gp:) V1 (Gp:) V2 (Gp:) V3 (Gp:) V4 (Gp:) V5 (Gp:) o (Gp:) d
Camino de coste mínimo en un grafo multietapa algoritmo multietapaB(ent G=(V,A,c):grafo; ent k,n:nat; sal P:vect[1..k]de 1..n) {Los vértices están numerados de forma que los índices de los vértices de una etapa son mayores que los índices de los de la etapa anterior. El primer índice de C* y D, que sólo identificaba la etapa, se ha suprimido.} variables C:vect[1..n]de real; D:vect[1..n]de 1..n; j,r:1..n principio C[1]:=0.0; {Cálculo de C* y D} para j:=2 hasta n hacer r:=vértice t.q. (r,j)?A 3 c(r,j)+C[r] es mínimo; C[j]:=c(r,j)+C[r]; D[j]:=r fpara; P[1]:=1; P[k]:=n; {Construcción del camino} para j:=k-1 descendiendo hasta 2 hacer P[j]:=D[P[j+1]] fpara fin Nota: La eficiencia es la misma si G está representado mediante listas de adyacencia inversa.
Multiplicación de una secuencia de matrices Se desea calcular el producto matricial: Como es asociativo, existen varias formas… (Recordar que el algortimo resultante de la definición del producto de dos matrices p?q y q?r necesita pqr multiplicaciones de escalares.) Ejemplo: se quiere calcular el producto ABCD, de las matrices A(13?5), B(5?89), C(89?3) y D(3?34). ¡El caso más eficiente es casi 19 veces más rápido que el más lento! (Gp:) (Gp:) (Gp:) n (Gp:) º (Gp:) multip. (Gp:) ( (Gp:) ( (Gp:) AB (Gp:) ) (Gp:) C (Gp:) ) (Gp:) D (Gp:) ) (Gp:) 10582 (Gp:) ( (Gp:) AB (Gp:) ) (Gp:) ( (Gp:) CD (Gp:) ) (Gp:) 54201 (Gp:) ( (Gp:) A (Gp:) ( (Gp:) BC (Gp:) ) (Gp:) ) (Gp:) D (Gp:) 2856 (Gp:) A (Gp:) ( (Gp:) ( (Gp:) BC (Gp:) ) (Gp:) D (Gp:) ) (Gp:) 4055 (Gp:) A (Gp:) ( (Gp:) B (Gp:) ( (Gp:) CD (Gp:) ) (Gp:) ) (Gp:) 26418
¿Cómo hallar el mejor método? 1. Insertar los paréntesis de todas las formas posibles (significativamente diferentes). 2. Calcular para cada una el número de multiplicaciones escalares requeridas. ¿Cuántas formas posibles T(n) de insertar paréntesis existen en un producto de n matrices? Si cortamos entre la i y la (i+1)-ésima: Entonces tenemos T(i)T(n-i) formas distintas. Como i puede tomar valores entre 1 y n-1: Números de Catalan Multiplicación de una secuencia de matrices
Los números de Catalan crecen exponencialmente. De hecho puede demostrarse que: Por ejemplo: Luego el método directo no sirve. Multiplicación de una secuencia de matrices
Aplicación del principio de optimalidad: Si el mejor modo de realizar el producto exige dividir inicialmente entre las matrices i e (i+1)-ésima, los productos deberán ser realizados de forma óptima para que el total también sea óptimo. Método: Construir la matriz [mij], 1=i=j=n, donde mij da el óptimo (i.e., el número de multiplicaciones escalares requeridas) para la partedel producto total. La solución final vendrá dada por m1n. Multiplicación de una secuencia de matrices S. Godbole: “On efficient computation of matrix chain products”, IEEE Transactions on Computers, 22(9), pp. 864-866, 1973.
Construcción de [mij], 1=i=j=n: Guardar las dimensiones de las Mi, 1=i=n, en un vector d, de 0..n componentes, de forma que Mi tiene dimensiones di-1?di. La diagonal s de [mij] contiene los mij tales que j-i=s: El tercer caso representa que para calcular se intentan todas las posibilidadesy se escoge la mejor. De forma más compacta: Multiplicación de una secuencia de matrices
Para el ejemplo anterior: A(13?5), B(5?89), C(89?3) y D(3?34) Se tiene d=(13,5,89,3,34). Para s=1: m12=5785, m23=1335, m34=9078. Para s=2: Para s=3: La matriz es: Multiplicación de una secuencia de matrices
Solución recursiva inmediata: Aplicación de la ecuación recurrente. Problema: complejidad exponencial. Almacenamiento de las soluciones de los subproblemas en una tabla: Número de subproblemas: ?(n2). Multiplicación de una secuencia de matrices
Multiplicación de una secuencia de matrices algoritmo parentOpt(ent d:vect[0..n]de nat; sal m:vect[1..n,1..n]de nat; sal km:vect[1..n,1..n]de 1..n) {m es la matriz [mij] definida antes; km[i,j] guarda el índice k para el que se alcanza el mínimo al calcular m[i,j].} variables i,r,j,k,q:nat; principio para i:=1 hasta n hacer m[i,i]:=0 fpara; para r:=2 hasta n hacer para i:=1 hasta n-r+1 hacer j:=i+r-1; m[i,j]:=8; para k:=i hasta j-1 hacer q:=m[i,k]+m[k+1,j]+d[i-1]*d[k]*d[j]; si q < m[i,j] entonces m[i,j]:=q; km[i,j]:=k fsi fpara fpara fpara fin
Coste en tiempo: ?(n3) Coste en memoria: ?(n2) Multiplicación de una secuencia de matrices
¡Falta hacer el producto! El elemento km[i,j] guarda el valor de ktal que la división óptima de parte el producto entre Mk y Mk+1. Por tanto: Multiplicación de una secuencia de matrices función multSec(M:vect[1..n]de matriz; km:vect[1..n,1..n]de 1..n; i,j:1..n) devuelve matriz variables X,Y:matriz principio si j>i entonces X:=multSec(M,km,i,km[i,j]); Y:=multSec(M,km,km[i,j]+1,j]; devuelve mult(X,Y) sino devuelve M[i] fsi fin
Caminos mínimos entre todos los pares de nodos de un grafo Problema: Cálculo de los caminos de coste mínimo entre todos los pares de vértices de un grafo dirigido sin ciclos de peso negativo. Principio de optimalidad: Si i1, i2, …, ik, ik+1, …, in es un camino de coste mínimo de i1 a in, entonces: i1, i2, …, ik es un camino de coste mínimo de i1 a ik, y ik, ik+1, …, in es un camino de coste mínimo de ik a in. Aplicación del principio: Si k es el vértice intermedio de mayor índice en el camino óptimo de i a j, entonces el subcamino de i a k es un camino óptimo de i a k que, además, sólo pasa por vértices de índice menor que k. Lo análogo ocurre con el subcamino de k a j. R.W. Floyd: “Algorithm 97: Shortest path”, Communications of the ACM, 5(6), p. 345, 1962.
Sea C(i,j) el coste de la arista (i,j) o infinito si esa arista no existe. Sea C(i,i)=0. Sea Dk(i,j) la longitud (o distancia) del camino de coste mínimo de i a j que no pasa por ningún vértice de índice mayor que k. Sea D(i,j) la longitud del camino de coste mínimo de i a j. Entonces: Ahora, un camino óptimo de i a j que no pase por ningún vértice de índice mayor que k bien pasa por el vértice k ó no. Si pasa por k entonces: Si no pasa por k entonces ningún vértice intermedio tiene índice superior a k-1: Caminos mínimos entre todos los pares de nodos de un grafo
En resumen: Se tiene la siguiente ecuación recurrente que define el método de programación dinámica. Caminos mínimos entre todos los pares de nodos de un grafo
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