Conjetura de Goldbach y primos gemelos (página 2)

B) Esbozo de un Algoritmo.

Intentemos mecanizar este procedimiento para obtener una secuencia de ordinales que nos permita obtener algunas consecuencias para los llamados números primos gemelos: aquéllos cuya diferencia es de dos o que, en nuestros propios términos:

(a-b)/2=1.

Definamos primero las secuencias a las que recurriremos y el campo en el que registraremos nuestros resultados:

  que se lee: "la secuencia de cuatro en cuatro desde el número doce al infinito es igual al conjunto que contiene a doce, dieciséis, etc."

  que se lee: "la secuencia de dos en dos desde el número

uno al infinito es igual al conjunto que contiene a uno, tres, cinco, etc."

que se lee: "campo de registro de las soluciones de aplicar en" y al que nos referiremos simplemente como (ver figura 1).

Definido lo anterior, ahora comencemos con nuestro esbozo de algoritmo…

a) Tomar de un elemento por vez.

b) Dividir el elemento de en turno, por dos.

Ejemplo: 12/2=6

c) Representar el cociente obtenido como una suma por sí mismo: 6+6.

d) Tomar de un elemento por vez.

e) Restar y sumar al primer y segundo sumando respectivamente, representado en "c)", el elemento en turno de.

f) Verificar los resultados:

f.1) Si ambos resultados de operar en "e)" son números primos anotar en el elemento de aplicado en, (figura 2):

Así, (6-1)+(6+1)=5+7, ambos son primos, por lo tanto registraremos el elemento de aplicado en que es 1.

f.2) Volver a "a)" y reanudar el proceso considerando el siguiente elemento de .

g) Si ambos o alguno de los resultados de operar en "e)" es un número compuesto, reanudar desde "e)", considerando el siguiente elemento de para aplicar en la suma original.

Al aplicar nuestro algoritmo hasta el registro treinta y tres (figura 3), tenemos:

En donde los registros "1" representan sumas de primos gemelos.

Si lográsemos programarde tal forma que los registros "1" pudiera justificarlos a la izquierda, obtendríamos la interesante configuración de la figura 4.

Aparentemente los registros se van "acomodando" de manera simétrica; habría que ver si esto es una realidad en registros mayores. También parece que, conforme aumentan los registros, a su vez van aumentando de manera progresiva (aunque no proporcional) los registros distintos de "1": o sea que cada vez es más difícil obtener registros "1"; ¿llegará un momento en el que aparecerá el último registro "1" seguido por una cadena infinita de registros mayores a este valor? Si la respuesta fuera afirmativa, entonces los números primos gemelos no serían infinitos. Nuestra apuesta es que la respuesta a esta pregunta es "no", es decir, los números primos gemelos son infinitos.

Para que los números primos gemelos fueran finitos, entonces tendríamos que pensar en una infinita secuencia de números pares a los que (al aplicar nuestro algoritmo) jamás hubiese un caso en el que apareciese "1" y, por lo tanto, nuestro campo de registro programado no tuviese nada que justificar a la izquierda (llegado el momento preciso en el que apareciese la cadena infinita de pares irreductibles a la suma de primos gemelos).

Por otro lado, pudiera haber otro inconveniente: que nuestro algoritmo se encontrara con un número par (inimaginablemente enorme) irreductible a la suma de dos números primos cualquiera. Esto significaría que el proceso de descomponer ese hipotético número par en sus posibles parejas de sumandos, a la vez de traducirse en una gran inversión de tiempo, al terminar esa ingente tarea detendría el programa y ya no habría nada que anotar en el campo de registro. Aunque hubiese una infinitud de primos gemelos, ya no habría la posibilidad de averiguarlo con nuestro algoritmo: este último quedaría inservible; sin embargo, si sucediese este inconveniente, el precio sería digno de pagarse, pues al menos habríamos demostrado que la Conjetura Binaria de Goldbach es falsa (recordemos que dicha conjetura afirma que todo número par mayor o igual que cuatro es la suma de dos primos) empero, tenemos la corazonada de que esto último no sucederá, pues confiamos en que la mencionada conjetura de Goldbach sea verdadera. Estamos seguros de que existe una conexión estrecha entre esta última y la Conjetura de la Infinitud de los Números Primos Gemelos; es más, estamos convencidos de que ambas conjeturas son equivalentes y, por lo tanto, la demostración de una u otra (sea el caso de su falsedad o veracidad) resolvería ambas cuestiones de manera simultánea; de tal suerte que, en el caso hipotético mencionado en el anterior párrafo de que nuestro algoritmo se encontrara con un número par irreducible a la suma de dos primos gemelos demostraría también la invalidez de la conjetura de la infinitud de los primos gemelos. Insistimos, sin embargo, que no creemos que esto suceda.

C) Equivalencia de la Conjetura de la Infinitud de Primos Gemelos y la Conjetura Binaria de Goldbach.

Desde nuestro punto de vista, la infinitud de primos gemelos explica y define la infinitud de todos los números primos, del mismo modo que estos últimos definen a la infinitud de los números compuestos. Digamos que los números primos gemelos son los "organizadores" de los diferentes tipos de números primos, de manera más evidente de aquéllos que son resultado de sumar dos cuadrados perfectos, es decir, los primos de la forma 4n+1 (los cuales constituyen un conjunto infinito de números, según la demostración de Fermat).

Para evidenciar la estrecha relación entre primos gemelos (cuya expresión genérica es la forma 6n±1) y los cuadrados perfectos veamos el siguiente cuadro (Figura 5):

Con este cuadro, afirmamos que la secuencia es la máxima aproximación a la secuencia de los números primos. Primero observemos que los números primos aparecen en gris. Los primos de la columna "A" son de la forma 6n+1, los de la columna "F", de la forma 6n-1 y ambas columnas en conjunto, satisfacen la forma 6n±1 (la forma de los primos gemelos, exceptuando el tres y el cinco). Ahora bien, aquí viene lo interesante: las columnas "B" y "C" presentan primos gemelos (pareados), al igual que las columnas "D" y "E", y las "G" y "H", respectivamente.

Si sumamos los primos gemelos pareados en las columnas mencionadas, resulta que la suma resultante es múltiplo de cuatro, o sea "4n"; ahora bien, si ponemos en juego la unidad sucede esto: a las sumas correspondientes para las columnas "B" y "C" hay que restarle la unidad para tener la posibilidad de obtener un primo; para las columnas "D" y "E" sucede que a sus sumas hay que agregarle la unidad para que se tenga la misma posibilidad que para las anteriores columnas y, por último, para las columnas "G" y "H" es indiferente que se sume o reste la unidad para que suceda lo mismo que en las anteriores. Que puede ser resumido en esto:

"B" y "C"→ p’+p’’=4n, si 4n-1, posiblemente p’’’

"D" y "E"→ p’+p’’=4n, si 4n+1, posiblemente p’’’

"G" y "H"→ p’+p’’=4n, si 4n±1, posiblemente p’’’

h) Así las cosas, entonces, ¿cuál es la evidencia que aclara la relación entre las hipótesis del conjunto infinito de los primos gemelos y la Conjetura Binaria de Goldbach.

El replanteamiento que se propone para la Conjetura Binaria de Goldbach es:

¿Existen infinitos números primos de la forma 4n+1 que son resultado de la suma de dos primos gemelos más la unidad?

Si ya quedó demostrado por Fermat que hay infinitos primos de la forma 4n+1 y, como ya vimos, 6n±1 define 4n y al agregarle a esta última expresión la unidad tenemos la posibilidad de obtener números primos, entonces debe haber infinitos 6n±1 asociados a los infinitos 4n+1(primos) y, dado que (6n±1)+1=4n+1(primos) es equivalente a la Conjetura Binaria de Goldbach, en conclusión podemos afirmar que esta última es verdadera. Estamos conscientes que esto no es una demostración de conjetura alguna, pero se muestra evidencia de que las probabilidades de que sea cierta, son muy significativas. Aquí el asunto se deja reducido a formas de números primos:

(6n±1)+1=4n+1(primos)

Pero resulta que los primos gemelos son menos densos que los primos de la forma 4n+1 y se reducen a cuatro columnas de la tabla de arriba. Esto se puede representar para los primos de la forma 4n+1, de los siguientes modos:

Para las sumas de los primos gemelos más uno de las columnas "D" y "E", posiblemente se genere algún primo de la forma 4n+1 de "A"; también expresable así:

{(17+19)+1, (137+139)+1, (197+199)+1…P+ (P+2)+1…} ∩ {7, 37, 67…n+30…}

={37, 277, 297…4n+1=P…}

Para las sumas de los primos gemelos más uno de las columnas "G" y "H", posiblemente se genere algún primo de la forma 4n+1 de "H"; también expresable así:

{(29+31)+1, (269+271)+1, (599+601)+1… P+ (P+2)+1…} ∩ {31, 61, 91…n+30…}

={61, 541, 1201…4n+1=P…}

Como se ve, los resultados que se traducen en los primos de la forma 4n+1 se restringen a la primera y última columnas.

Resumiendo, la pregunta sería:

¿Existen infinitos 4n+1(primos) que cumplan la igualdad ((6n-1)+(6n+1))+1=4n+1(primo); en donde (6n-1)= P; (6n+1)= P+2 y, por lo tanto, 4n+1(primo)= P+ (P+2)+1?

También está el hecho de que la densidad de los primos gemelos más la unidad que cumplen la restricción de dar por resultado los primos de la forma 4n+1, es significativamente más baja que cualquiera de los dos conjuntos de primos de ambas clases; a pesar de esto, desde nuestra humilde opinión, consideramos que constituyen un conjunto infinito.

En conclusión: la expresión de la Conjetura Binaria de Goldbach como equivalente a la expresión (6n±1)+1=4n+1(primos), permite por lo menos visualizar la dificultad que entraña la demostración de la mencionada conjetura, puesto que sugiere que es necesario, primero, demostrar que hay infinitos primos gemelos y después que al sumarlos y agregarles la unidad hay suficientes de ellos como para expresar infinitos números primos de la forma 4n+1.

Prof. Mario Peral Manzo