Newton nunca publicó cómo obtuvo su famoso desarrollo del binomio, así es que voy a hacerlo yo. La idea es ir paso a paso, en forma simple e intuitiva, como probablemente hizo Newton, desarrollando la potencia un binomio en sus componentes. Gradualmente, voy elevando la potencia del binomio hasta generalizarlo en n. Voy a comenzar con la potencia 4 del binomio, sólo por un tema de visualización:
Observa los términos subrayados, los que contienen tres letras a y una letra b ¿De cuántas formas/colores se pueden agrupar tres letras a y una letra b sin que el orden en que aparezcan importe (propiedad conmutativa). Es decir, imagina un grupo de cuatro casilleros: para la letra a, hay cuatro colores posibles, de los cuales, debemos elegir sólo tres colores, para llenar así los primeros tres casilleros, mientras que, para la letra b, también hay cuatro colores posibles, pero podemos escoger sólo un casillero de los cuatro que se deben llenar. En forma coloreada:
Alterar el orden de los casilleros que contienen letras a, por ejemplo, no cuenta como una nueva combinación pues, por propiedad conmutativa, el orden en que aparecen no importa.Es fácil ver que para el primer casillero, tengo 4 opciones posibles de colores para la letra a, para el segundo casillero, sólo tendré 3 opciones posibles de colores para la letra a (porque el primer color ya no está disponible para ser seleccionado), y para el tercer casillero sólo tendré 2 opciones de colores posibles para la letra a (los dos colores restantes). Es decir, la cantidad de combinaciones posibles de letra a está dada por 4x3x2.
Ahora, dado que el orden con que aparece el trío de colores no me importa (cuenta como un sólo trío independiente del orden en que estén los colores dentro de él) tengo que descontar esas veces en que aparece un mismo trío de colores pero desordenado, pues, como dije, sólo debe contar como un único trío. Para lograrlo, procedo a dividir por la cantidad de veces en que un trío dado de colores dado puede reordenarse a sí mismo (es decir, el número de veces en que puedes desordenar un trío de colores dado, intercambiando la posición en que aparecen sus colores). Esto último es, 3x2x1 veces, o más conocido como tres factorial (3!) veces.
Es decir, un trío de colores dado puede desordenarse de tres factorial formas distintas. Como, para nuestro ejercicio, todas estas formas de desordenar un trío cuentan sólo como una vez, procedo a realizar el cociente:
Donde n es el número de posibilidades (colores) y r es el número de casilleros (posiciones) a llenar con esos colores, para el caso de la letra a. Esta ecuación suele escribirse en matemática de la siguiente manera:
Es decir, cuando tengamos tres letras a y una letra b el coeficiente que acompaña a este término equivale a la cantidad de veces en que se pueden multiplicar las cuatro letras "a" posibles (los cuatro colores posible para la letra a) con las cuatro letras "b" posibles (colores), de forma tal que conformen una agrupación de cuatro casilleros, donde, a su vez, 3 de esos casilleros son llenados con letras "a" y sólo uno de los casillerospuede contener la letra "b". Esto es, 3a3b1, donde la potencia indica el número de casilleros que llena cada letra (en este caso, "a" llena 3 casilleros y "b" llena sólo uno). En forma matemática
Lo interesante de notar es que, escoger las 3 letras "a" de entre los 4 posibles colores, es equivalente a escoger una sola letra "b" de entre sus, también, cuatro posibles colores. Observa el siguiente ejercicio coloreado que gráfica lo señalado:
Es decir, el número de formas de escoger 3 colores de 4 posibles, es igual al número de formas de escoger un único color de entre los mismos cuatro posibles, siempre y cuando el orden no importe.
En términos matemáticos, esta increíble simetría es bien conocida y se expresa así:
Nota: En forma equivalente, para el grupo de cuatro casilleros, pero que esta vez tiene dos letras "a" y dos letras "b" (en lugar de las 3 letras "a" y una letra "b" que vimos anteriormente), el coeficiente que los acompaña equivale a la cantidad de veces en que se pueden multiplicar, conmutativamente, las cuatro posibles letras "a" con las cuatro posibles letra "b" de forma tal que conformen una agrupación con cuatro casilleros, donde,dos de ellos son llenados con letras "a", y doscasilleros son llenados con letras"b". Utilizando la fórmula vista anteriormente, el nuevo caso sería:
Esto es, 6a2b2, donde la potencia indica el número de casilleros que cada letra está llenando, en el grupo de cuatro casilleros.
Entonces volviendo al primerísimo ejemplo de la primera página:
Esto puede escribirse, como hemos visto, en nomenclatura combinatoria. Recuérdese la propiedad de simetría:
Como se vio, por simetría, ambas formas de escribir la serie son completamente equivalentes, pues, cuando el orden no importa, escoger 3 letras a de cuatro posibles es lo mismo que escoger una letra b de entre 4 posibles. Escojamos por conveniencia y belleza matemática la última nomenclatura. (La escogí en realidad por el hecho de que sigue una progresión ascendente de números enteros, lo cual será útil más adelante como se verá a continuación)
Entonces:
Lo anterior puede generalizarse (por inducción) para cualquier potencia n del binomio de la siguiente forma:
Este la demostración binomio de newton, el cual es esencial para el cálculo diferencial e integral. La demostración de esta sucesión puede lograrse mediante la técnica conocida como "inducción" y está en la web.
Autor:
Dennis Quezada