b. Esta señora tiene dos alternativas para hacer la invitación, la primera es no invitar a la pareja y la segunda es invitar a la pareja.
2C0*9C5 + 2C2*9C3 = (1 x 126) + (1 x 84) = 210 maneras de invitarlos
En este caso separamos a la pareja de los demás invitados para que efectivamente se cumpla el que no asistan o que asistan a la cena.
c.La señora tiene dos alternativas para hacer la invitación, una de ellas es que no invitar a Rafael y a Arturo o que asista solo uno de ellos.
2C0*9C5 + 2C1*9C4 = (1 x 126) + (2 x 126) = 126 + 252 = 378 maneras de hacer la invitación
4) En un plano hay 10 puntos denominados A, B, C, ….,etc. etc., en una misma línea no hay más de dos puntos, a. ¿Cuántas líneas pueden ser trazadas a partir de los puntos?, b. ¿Cuántas de las líneas no pasan por los puntos A o B?, c. ¿Cuántos triángulos pueden ser trazados a partir de los puntos?, d. ¿Cuántos de los triángulos contienen el punto A?, e. ¿Cuántos de los triángulos tienen el lado AB?.
Solución:
a. En la redacción del problema se aclara que en una misma línea no hay más de dos puntos debido a que si lo anterior ocurriera no se podría dar contestación a las preguntas que se hacen.
Una línea puede ser trazada a partir de cómo mínimo dos puntos por lo tanto,
10C2 = 10! / (10 – 2)!2! = 10! / 8!2! = 45 líneas que se pueden trazar
b. En este caso excluiremos los puntos A y B y a partir de los ocho puntos restantes se obtendrán las líneas.
2C0*8C2 = 1 x 28 = 28 líneas que no pasan por los puntos A o B
c. Un triángulo puede ser trazado a partir de tres puntos, luego;
10C3 = 10! / (10 – 3)!3! = 10! / 7!3! = 120 triángulos posibles de trazar
d. En este caso se separa el punto A de los demás, se selecciona y posteriormente también se seleccionan dos puntos más.
1C1*9C2 = 1 x 36 = 36 triángulos que contienen el punto A
e. Los puntos A y B forman parte de los triángulos a trazar por lo que;
2C2*8C1 = 1 X 8 = 8 triángulos que contienen el lado AB
Particiones ordenadas
Se le llama partición ordenada al hecho de repartir n objetos en células de una cantidad de x1 objetos, x2 objetos,……y xk objetos.
Para deducir la fórmula de particiones ordenadas partiremos de un ejemplo.
¿Cuántas maneras hay de repartir 10 libros diferentes entre tres alumnos, si al primero le daremos 2, al segundo 3 y el resto al tercer alumno?
Ejemplos de esta partición serían las siguientes si se numeran los libros del 1 al 10;
Solución:
Lo primero que debemos hacer es seleccionar 2 libros de los 10 que se tienen para el primer alumno, esto es;
10C2 = 10! / (10 – 2)!2! = 10! / 8!2! = 45 maneras de seleccionar los libros
Luego se seleccionan 3 libros de los 8 que quedan para el segundo alumno;
8C3 = 8! / (8 – 3)!3! = 8! / 5!3! = 56 maneras
Y por último se procederá a seleccionar cinco libros de los cinco que quedan para el tercer alumno, lo que se muestra a continuación;
5C5 = 5! / (5 -5)!5! = 5! / 0!5! = 1 manera
Por tanto el número total de particiones ordenadas en células de 2, 3 y 5 elementos se determina:
10C2*8C3*5C5 = (10! / (10 – 2)!2!)*(8! / (8 – 3)!3!)*(5! / (5 – 5)!5!) = 10! /2!3!5!
La expresión anterior nos recuerda a la fórmula utilizada para encontrar las permutaciones de n objetos, entre los cuales hay algunos objetos que son iguales, por lo que usaremos la misma fórmula para encontrar las particiones ordenadas.
Por tanto la fórmula para las particiones ordenadas sería:
Esta fórmula sólo puede ser utilizada cuando se reparten todos los objetos, no parte de ellos, en ese caso se usarán combinaciones.
Donde:
nPx1,x2,…..,xk = Total de particiones ordenadas o reparticiones que es posible hacer cuando los n objetos son repartidos en grupos de x1 objetos, x2 objetos …… y xk objetos.
n = x1 + x2 + ……+ xk
Ejemplos: 1) ¿Cuántas maneras hay de repartir 9 juguetes entre tres niños, si se desea que al primer niño le toquen 4 juguetes, al segundo 2 y al tercero 3 juguetes?
Solución:
Por combinaciones,
9C4*5C2*3C3 = 126*10*1= 1260 maneras de repartir los juguetes
Por fórmula,
n = 9
x1 = 4
x2 = 2
x3 =3
9P4,2,3 = 9! / 4!2!3! = 1,260 maneras de repartir los juguetes
2) ¿Cuántas maneras hay de repartir los mismos 9 juguetes entre tres niños, si se desea darle 3 al primer niño, 2 al segundo niño y 2 al tercer niño?
Solución:
En este caso únicamente se puede dar solución por combinaciones, ya que no es posible usar la fórmula debido a que se reparten solo parte de los juguetes.
9C3*6C2*4C2 = 84*15*6 = 7,560 maneras de repartir los juguetes (solo se reparten 7 y quedan dos juguetes)
3) a. ¿Cuántas maneras hay de que se repartan 14 libros diferentes entre 3 alumnos, si se pretende que al primer alumno y al segundo les toquen 5 libros a cada uno y al tercero le toque el resto?, b. ¿Cuántas maneras hay de que se repartan los libros si se desea dar 5 libros al primer alumno, 3 al segundo y 2 libros al tercer alumno?
Solución:
a. Por fórmula:
n = 14
x1 = 5
x2 = 5
x3 = 4
14P5,5,4 = 14! / 5!5!4! = 21,021 maneras de repartir los libros en grupos de 5, 5 y 4 libros
b. Por combinaciones:
14C5*9C3*6C2 = 2,002*84*15 = 2,522,520 maneras de repartir 10 de los 14 libros en grupos de 5, 3 y 2 libros
4) a. ¿Cuántas maneras hay de repartir a 12 alumnos en 4 equipos de 3 personas cada uno de ellos para que realicen prácticas de laboratorio diferentes?,
b. ¿Cuantas maneras hay de que se repartan los 12 alumnos en 4 equipos de 3 personas si se va a realizar una misma práctica?
Solución:
a. En este caso al ser prácticas de laboratorio diferentes, es posible resolver el problema por combinaciones o por la fórmula, dado que se reparten todos los alumnos
Por fórmula:
n = 12
x1 = 3 práctica 1
x2 = 3 práctica 2
x3 = 3 práctica 3
x4 = 3 práctica 4
12P3,3,3,3 = 12! / 3!3!3!3! = 369,600 maneras de repartir a los estudiantes en cuatro equipos de 3 personas para realizar prácticas diferentes
b. En este caso lo más probable es que se crea que la solución es igual que la que se ha dado al inciso a, pero esto no puede ser debido a que si se desea repartir a los alumnos para realizar una misma práctica, el orden en el que se hace la repartición no tiene importancia, ya que al equipo de tres personas les da lo mismo quedar en el primer equipo a quedar en el segundo o tercero, ya que la práctica a realizar es la misma, entonces la solución es;
12P3,3,3,3 * 1 /4! = 12! / 3!3!3!3! * 1 / 4! = 369,600 / 4! = 15,400 maneras de repartir a los alumnos en equipos de 3 personas para realizar una misma práctica
Al multiplicar la solución que se da al inciso a, por 1/4! se está quitando el orden de los grupos, que en este caso no nos interesa.
Autor:
Humberto Anco Lopez
DOCENTE : Ing. NESTOR HUARACHA VELASQUEZ
CICLO : III
UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA
FACULTAD DE INGENIERÍAS
CARRERA PROFESIONAL
INGENIERIA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA
SEDE ICHUÑA
"TRABAJO DE INVESTIGACION"
ICHUÑA – PERU
2012
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