Cálculo integral (página 2)

Regla de la cadena

Dado que la regla de la cadena para la derivación es

Y por tanto se verifica que

Ejemplo: hallar la regla de la cadena para la integración para una función resultado de la composición de otras tres funciones.

Integrales inmediatas

Se denominan integrales inmediatas a aquellas que no requieren ningún método para encontrar una primitiva sino el simple reconocimiento de la función que se ha derivado. La fórmula anterior permite reinterpretar la lista de integrales inmediatas haciendo actuar las funciones elementales sobre funciones cualesquiera. Se obtiene así la siguiente lista:

Integrales de funciones racionales

• a) Si el denominador es de grado la unidad, fácilmente se tiene que

• b) Si el denominador sólo tiene raíces simples, es conveniente hallar las raíces del mismo para lograr descomponer la integral en otras dos integrales más sencillas. Véase el ejemplo:

Para hallar A y B (y todas las demás pertinentes generalizando para cualquier caso) es posible aplicar dos métodos, según convenga:

• Raíces: sustituir las de la ecuación resultante por el valor de las raíces obtenidas. En el caso anterior,

Por tanto,

Es decir, se ha obtenido que

• Igualación de coeficientes: en ocasiones, el método anterior no es apropiado debido a diversas razones puramente algebraicas; por ello, es posible aplicar el método de igualación de coeficientes, que como su nombre indica, consiste en igualar los coeficientes de las incógnitas de igual grado. Siguiendo con el ejemplo anterior, nótese que al ser

Se tiene

Que, obviamente, coincide con los resultados obtenidos por el método anterior, de manera que a continuación solo es necesario sustituir y resolver la integral mediante las inmediatas.

• c) Si el denominador tiene raíces reales múltiples, es conveniente seguir el método anterior de igualación de coeficientes en todo aquel caso en que las raíces no ofrezcan una salida de resolución. Efectivamente, resultará un sistema de n ecuaciones con n incógnitas cuya resolución es conveniente realizarla mediante el método matricial gaussiano. Véase el ejemplo subsiguiente:

En efecto, es notorio que una solución muy sencilla para el valor de A, B, C sería A=B=0 y C=3×2-5x+1, pero no se soluciona nada al resultar la misma expresión que al principio. Por ello, es necesario buscar otra solución mediante los métodos anteriores. Efectivamente,

Dado que no se tienen más raíces, es necesario aplicar el método de igualación coeficiental,

Por tanto,

Esto es,

• d) Si el denominador tiene raíces imaginarias y el numerador es una constante, nótese que será

Si se hallan las raíces del denominador, es muy fácil resolver una integral de este tipo, ya que se tiene

Y por tanto,

Así pues, puede afirmarse que

• e) Si el denominador tiene raíces imaginarias y el numerador es de grado uno, nótese que será

• f) Así pues, nótese como es posible hallar un método general para la resolución de integrales cuyo denominador posee raíces imaginarias y el numerador es de grado n, ya que

Métodos de integración

• a) Método de descomposición:

Se basa en la linealidad de la integral indefinida,

• b) Método de cambio de variable o sustitución:

Suele aplicarse en los siguientes casos:

• i) Se pretende calcular una integral en las que puede reconocerse que

Si se supone que

Nótese que se obtendrá

Si se realiza el cambio de variable

Se tiene que

Hallar la integral indefinida de la expresión mediante el método de sustitución.

Hallar la integral indefinida de la expresión mediante el método de sustitución.

Hallar la integral indefinida de la expresión

Demuestre que

• ii) Este método también es ampliamente utilizado para calcular la integral del caso anterior, es decir,

Realizando el cambio de variable Nótese pues que el diferencial de x será igual a la función derivada de u(t) por el diferencial de t, esto es,

Nótese que si la función tiene reciproca, puede deshacerse el cambio y expresar la integral en función de

Por tanto,

Cabe apuntar que para la resolución de este tipo de integrales en ocasiones en necesario recurrir a las relaciones trigonométricas aquí abajo explícitas:

Hallar la integral de la expresión

Dado que

Y se tiene

• c) Integración por partes:

Se basa en el hecho de que la derivada de la multiplicación de dos funciones es la suma de la multiplicación de una de las funciones sin derivar por la función derivada de la otra y lo análogo,

Despejando el último sumando, resulta

Por tanto, al integrar se obtiene

Escrito de forma simplificada,

Nótese que se ha de elegir y de forma que la obtención de por integración, sea inmediata. Si al aplicar este método se obtiene una integral más complicada, posiblemente la elección no ha sido la más apropiada.

Hallar la integral de

Dado que

También puede ocurrir que al aplicar este método varias veces, surja en el segundo miembro una integral igual a la inicial. En este caso, nótese que la resolución de la integral será posible agrupando y despejando la integral que se desea hallar. Véase el siguiente ejemplo.

Hallar la integral siguiente:

Hasta ahora, las integrales estudiadas han sido indefinidas. A continuación comienzan los epígrafes de integración definida.

La integral definida: significado geométrico

Antes de comenzar, cabe explicitar que sólo estudiaremos la integración definida de funciones reales de variable real, continuas en todo IR y que, en principio, no toma valores negativos

Si A es el área buscada, nótese que se tiene que el área por defecto es menor a A, que, a su vez, es menor que el área por exceso:

Cuando el número de divisiones del intérvalo [a,b] crezca indefinidamente, las áreas por defecto y por exceso coincidirán y ese valor común será el área encerrada.

Supóngase que y=f(x) es una función continua y positiva en el intérvalo [a,b], se llama partición de [a,b] a todo conjunto ordenado de puntos del intérvalo, donde el primero es a y el último, b. Esto es,

Denomínese diámetro de una partición P a la mayor de las diferencias donde sea es mínimo valor que toma f(x) en el intérvalo entonces la suma riemanniana, y sea el máximo valor que toma f(x) es ese mismo intérvalo; entonces las sumas riemannianas inferior y superior serán, respectivamente, s y S:

Geométricamente, la suma riemanniana inferior es la suma de las áreas de los rectángulos que quedan por debajo de la gráfica de f, que es una aproximación del área que encierra f por defecto. Análogamente, la suma riemanniana superior representa la suma de las áreas de los rectángulos de base y altura que es una aproximación del área que encierra f por exceso.

Por tanto, es evidente que para toda partición de [a,b] se verifica que ya que Así, se dice que una partición Q es más fina que otra, P

si todo punto de P lo es de Q. Entonces, si P es más fina que Q,

,ya que al aumentar el número de puntos de la partición el área por defecto aumenta y el área por defecto disminuye (es trivial).

Ejercicio de reflexión. Dado que ¿cuándo sucede que

Obviamente, la suma superior riemanniana es igual a la suma inferior riemanniana cuando el número de particiones del intérvalo [a,b] es tiende al infinito, de manera que la base de los rectángulos tiende a cero,

Consideremos una sucesión de particiones donde el diámetro de tiende a cero. Por la proposición anterior, se sigue

Estas dos sucesiones, al ser monótonas y acotadas son convergentes y tienden a un mismo número real, al que llamamos integral definida de en Si denotamos por al diámetro de

Nótese que

Por tanto,

Entonces, geométricamente, la integral definida mide el área comprendida entre la curva y=f(x), el eje de las X y las rectas verticales

Obsérvese que para las funciones de signo no constante se llegaría a la misma definición de integral definida, aunque en esos casos la integral no representa un área.

Por convenio, se define

Con lo cual tiene sentido la integral para

Propiedades de la integral definida

• a) Dado que el área que encierra una línea es nula (es unidimensional), se tiene que

• b) Aditividad respecto del intérvalo: si f es continua en [a,b] y entonces

• c) Linealidad de la integral definida: si f y g son continuas en [a,b], entonces

• d) Asimismo, es posible sacar constantes como ya se demostró para la integral indefinida,

Teorema del valor medio para el cálculo integral

Si es continua en el intérvalo entonces existe un alpha perteneciente a ese intérvalo tal que la integral definida de es ese intérvalo es igual al producto de y

Su interpretación geométrica radica en que si f es positiva, el área que encierra f es igual a la del rectángulo de base y de altura Su demostración es compleja debido a la necesidad de aplicar un teorema de cálculo integral de difícil demostración; no obstante, se incluye al final como anexo conceptual.

Teorema fundamental del cálculo

Sea una función continua en y defínase la primitiva entonces F es diferenciable y A continuación se demuestra suponiendo de (para h