Medidas de tendencia central (MTC)

Las Medidas de Tendencia Central (MTC), son medidas numéricas de localización central. Muestran la forma como se agrupan los valores de una distribución estadística.

Las Medidas de Tendencia Central (MTC), están dirigidas básicamente al procesamiento de datos cuantitativos.

Las Medidas de Tendencia Central (MTC) que se analizan son las siguientes:

• 1. Media:

• a. Media aritmética

• b. Media geométrica

• c. Media armónica

• d. Media cuadrática

• 2. Moda

• 3. Mediana

En esta unidad nos limitaremos a calcular: Media, Moda, Mediana, tanto para datos agrupados, como para datos no agrupados.

Media aritmética

La media aritmética es uno de los principales estadísticos, de mayor aplicación en la vida diaria.

La media aritmética se puede definir de la siguiente manera:

Propiedades de la media aritmética (Primera parte)

Son características propias de la media aritmética las siguientes:

• La media aritmética solo se aplica al procesamiento de datos cuantitativos.

• Para obtener la media aritmética, se debe utilizar todas las observaciones de la muestra.

• La media aritmética es el valor comprendido entre el valor mínimo de los datos y el valor máximo de los datos, de la distribución.

• Debe venir expresada en la misma unidad que los datos.

Existen dos formas de procesar los datos cuantitativos (sea de una población o de una muestra), en una tabla de distribución de frecuencias:

• a)  Procesamiento de datos no agrupados.

• b) Procesamiento de datos agrupados.

Los cálculos de las Medidas de Tendencia Central, se realizarán mediante el procesamiento de datos no agrupados y de datos agrupados.

Media aritmética para datos no agrupados

Para la determinación de la media aritmética de datos no agrupados, utilizamos la siguiente fórmula o ecuación:

Esta fórmula nos indica que se deben sumar cada una de las observaciones muestral, sin importar que esta observación se repita o no.

Ejemplo 1: Calcular la Media Aritmética con los siguientes datos cuantitativos .Procesados los datos sin agruparlos:

5, 7, 10, 15, 20, 21, 24, 26

Ejemplo 2: Calcular la Media Aritmética con los siguientes datos cuantitativos .Procesados los datos sin agruparlos:

5, 6, 8, 8, 8, 10, 10, 12, 14

También podemos utilizar la siguiente fórmula o ecuación, para la determinación de la media aritmética de datos no agrupados:

Esta fórmula nos indica que debemos realizar la sumatoria del producto de cada modalidad con su respectiva frecuencia absoluta, y luego dividir entre la muestra.

Ejemplo 3: Los siguientes datos cuantitativos serán procesados sin agrupar para calcular la Media Aritmética:

8, 8, 10, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 12, 14, 14, 14, 14, 16, 16

La tabla de distribución de frecuencias construida es la siguiente:

Media aritmética para datos agrupados

Para determinar la Media aritmética con datos agrupados, multiplicamos la frecuencia absoluta de cada clase por su respectiva marca de clase (Punto medio de la clase), dividiendo la sumatoria entre la muestra.

La ecuación empleada para realizar el cálculo es la siguiente:

Propiedades de la media (Segunda parte)

Se analizan a continuación una serie de propiedades de la media que hacen de ´esta una medida óptima de representación.

• La suma de las desviaciones a partir de la media aritmética es cero

• Si a cada observación de una distribución se le suma una constante k, se tiene una nueva variable con media igual a la de más la constante

• La suma de los cuadrados de las desviaciones a partir de la media aritmética es menor que la suma de los cuadrados de las desviaciones a partir de cualquier otro valor

Ventajas de la media aritmética:

La media aritmética presenta las siguientes ventajas:

• Es el estadístico más comúnmente usado

• Es fácil de calcular

• Se entiende fácilmente

• Se presta a operaciones algebraicas

Desventajas de la media aritmética:

Una desventaja de la media aritmética es que la misma está se ve afectada por los valores extremos. En tal caso puede estar muy lejos de ser una representación de la muestra, por tal razón no se recomienda su uso en distribuciones muy asimétricas.

Tarea Datos no agrupados

Ejercicios: Realiza las actividades indicadas en cada caso

• 1. Si las notas de un alumno en las distintas asignaturas de un curso durante una evaluación fueron: 7; 5; 6,5; 3,7; 5, 6,2. Hallar la nota media de la evaluación.

• 2. La media de 6 elementos se sabe que es 10. Sabiendo que cinco de ellos son: 8, 12, 13, 5 y 9, hallar el elemento que falta.

• 3. Un alumno obtiene en tres exámenes parciales las siguientes notas: 7, 5 y 3; en el examen final obtiene un 6. Suponiendo que esta nota final tenga doble valor que las parciales, ¿cuál será su nota media?

• 4. Si la renta anual media de los trabajadores del campo es de 1.000.000 de pesos y la renta anual media de los trabajadores de la construcción en esa población es de 1.200.000 pesos, ¿sería la renta anual media para ambos grupos de 1.100.100 pesos? Explica.

• 5. Hallar con los datos dados a continuación calcular la media aritmética:

25 33 27 20 14 21 33 29 25 17 31 18 16 29 33 22 23 17 21 26

13 20 27 37 26 19 25 24 25 20 25 29 33 17 22 25 31 27 21 14

• 6. En cada una de las siguientes tablas calcular la media aritmética:

Tarea Datos agrupados

Ejercicios: completar las siguientes tablas y calcular la media aritmética

• 1) Tabla:

• 2) Tabla:

• 3) Tabla

• 4) Tabla

• 5) Tablas

Universidad APEC

UNAPEC

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

ESTADISTICA I

MAT-250

Año: 2016

Autor:

Carlos R. Valdez C.