Ingeniería Industrial (página 2)

 Max Z – 5X1 – X2 – 3X3

s.a. 2 X1 – X2 + 2 X3 + X4 = 4

X1 + X2 + 4 X3 + X5 = 4

X1 , X2 , X3 , X4 , X5 ³ 0

• Solución básica actual:

X4 = 4 min í 4/2 , 4/1ý

X5 = 4 min í 2 , 4ý

• Solución básica actual:

X1 = 2 min í – , 2/1.5ý

X5 = 2 min í – , 1.33ý

• Por lo tanto la solución óptima es:

Z* = 44/3

X1* = 8/3

X2* = 4/3

X3* = X4* = X5* = 0

• Comprobación en la función objetivo:

Max Z = 5X1 + X2 + 3X3

Z = 5 (8/3) + 4/3 + 0

Z = 44/3

• Comprobación en las restricciones:

2 X1 – X2 + 2 X3 + X4

2 (8/3) – 4/3 + 2 (0) + 0 = 4

X1 + X2 + 4 X3 + X5

8/3 + 4/3 + 4 (0) + 0 = 4

Utilizando el método simplex resuelva el siguiente problema de programación lineal.

Max Z = 25X1 + 50X2

s.a. 2 X1 + 2X2 £ 1000

3 X1 £ 600 X1 + 3X2 £ 600

X1 , X2 ³ 0

Max Z – 25X1 – 50X2

s.a. 2 X1 + 2X2 + X3 = 1000

3 X1 + X4 = 600

X1 + 3X2 + X5 = 600

X1 , X2 , X3 , X4 , X5 ³ 0

• Solución básica actual:

X3 = 1000 min í 1000/2 , – , 600/3ý

X4 = 600 min í 500 , – , 200ý

X5 = 600

• Solución básica actual:

X3 = 600 min í 600/4/3 , 600/3 , 200/1/3ý

X4 = 600 min í 450 , 200 , 600ý

X2 = 200

• Por lo tanto la solución óptima es:

Z* = 35000/3

X1* = 200

X2* = 400/3

X3* = 1000/3

X4* = X5* = 0

• Comprobación en la función objetivo:

Max Z = 25X1 + 50X2

Z = 25 (200) + 50 (400/3)

Z = 35000/3

• Comprobación en las restricciones:

2 X1 + 2X2 + X3

2 (200) + 2 (400/3) + 1000/3 = 1000

3 X1 + X4

3 (200) + 0 = 600

X1 + 3X2 + X5

200 + 3 (400/3) + 0 = 600

Considere el siguiente problema.

Min W = 3X1 + 5X2 + X3

s.a. 4 X1 + 2 X2 + X3 ³ 1 8

X1 , X2 , X3 ³ 0

Dual

Max Z= 18Y

s.a. 4Y1 £ 3

2Y1 £ 5

Y1 £ 1

Y1 ³ 0

Para el primal

Min W –3X1 – 5X2 –X3 =0

s.a. –4X1 – 2X2 –X3 + S1 = -18

X1 , X2 , X3 , S1 ³ 0

 El primal no tiene solución porque no se puede establecer la variable de entrada.

Para el dual

Max Z- 18Y1 =0

s.a. 4Y1 + S1 = 3

2Y1 + S2 = 5

Y1 + S3 = 1

Y1 , S1 ,S2, S3 ³ 0

• Solución básica actual:

S1 = 3 min í 3/4 , 5/2 , 1/1ý

S2 = 5 min í 0.75 , 2.5 , 1ý

S3 = 1

• Por lo tanto la solución óptima es:

Z* = 27/2

Y1* = 3/4

S2* = S3 =0

• Comprobación en las restricciones:

Z = 18(3/4) = 27/2

4(3/4) = 3 ACTIVA

2(3/4)=1.5 < 5 INACTIVA Y DEFICIT

3/4 = 0.75< 1 INACTIVA Y DÉFICIT

Cambiar el coeficiente de x1 a 4 de la función objetivo y resolver el primal y el dual.

Min W = 4X1 + 5X2 + X3

s.a. 4 X1 + 2 X2 + X3 ³ 1 8

X1 , X2 , X3 ³ 0

Dual

Max Z= 18Y

s.a. 4Y1 £ 4

2Y1 £ 5

Y1 £ 1

Y1 ³ 0

Para el primal

Min W –4X1 – 5X2 –X3 =0

s.a. –4X1 – 2X2 –X3 + S1 = -18

X1 , X2 , X3 , S1 ³ 0

 El primal no tiene solución porque no se puede establecer la variable de entrada.

Para el dual:

Max Z- 18Y1 =0

s.a. 4Y1 + S1 = 4

2Y1 + S2 = 5

Y1 + S3 = 1

Y1 , S1 ,S2, S3 ³ 0

• Solución básica actual:

S1 = 4 min í 4/4 , 5/2 , 1/1ý

S2 = 5 min í 1 , 2.5 , 1ý

S3 = 1

• Por lo tanto la solución óptima es:

Z* = 18

Y1* = 1

S2* = S3 =0

• Comprobación en las restricciones:

Z = 18(1) = 18

4(1) = 4=4 ACTIVA

2(1)=2 < 5 INACTIVA Y DEFICIT

1 = 1 ACTIVA Y DÉFICIT

Cambiar el coeficiente de x3 a –1 y a la función objetivo y resolver el primal y el dual.

Min W = 3X1 + 5X2 *- X3

s.a. 4 X1 + 2 X2 + X3 ³ 1 8

X1 , X2 , X3 ³ 0

Dual

Max Z= 18Y

s.a. 4Y1 £ 3

2Y1 £ 5

Y1 £ -1

Y1 ³ 0

Para el primal

Min W –3X1 – 5X2 +X3 =0

s.a. –4X1 – 2X2 –X3 + S1 = -18

X1 , X2 , X3 , S1 ³ 0

-RP+FO

-RP

• Solución básica actual:

S1 = -18 min í -18/-1 ý

min í 18ý

• Por lo tanto la solución óptima es:

W* = -18

X3* = 18

X1*, X2*, S1*,= 0

• Comprobación en las restricciones:

W = 3(0) + 5(0) – 18 = -18

4(0) + 2(0) + 18 = 18 ACTIVA

Para el dual:

Max Z- 18Y1 =0

s.a. 4Y1 + S1 = 3

2Y1 + S2 = 5

Y1 + S3 = -1

Y1 , S1 ,S2, S3 ³ 0

• Solución básica actual:

S1 = 3 min í 3/4 , 5/2 , -1/1ý

S2 = 5 min í 0.75 , 2.5 , -ý

S3 = -1

• Por lo tanto la solución óptima es:

Z* = 27/2

Y1* = 3/4

S2* = S3 *=0

• Comprobación en las restricciones:

Z = 18(3/4) = 27/2

4(3/4) = 3=3 ACTIVA

2(3/4)=1.5 < 5 INACTIVA Y DEFICIT

3/4 = 0.75 > -1 INACTIVA Y DE SUPERAVIT

Utilizando el método simplex resuelva el siguiente problema de programación lineal.

Min W = 6X1 + 8X2 + 16X3

s.a. 2 X1 + X2 ³ 5

X2 + 3X3 ³ 4

X1 , X2 , X3 ³ 0

Min W – 6X1 – 8X2 – 16X3

s.a. 2 X1 + X2 + X4 = 5

X2 + 3X3 + X5 = 4

X1 , X2 , X3 , X4 , X5 ³ 0

• Solución básica actual:

X4 = 5 min í – , 4/3ý

X5 = 4 min í – , 1.33ý

• Solución básica actual:

X4 = 5 min í 5/2 , -ý

X3 = 4/3 min í 2.5 , -ý

• Por lo tanto la solución óptima es:

W* = 109/3

X1* = 5/2

X3* = 4/3

X2* = X4* = X5* = 0

• Comprobación en la función objetivo:

Min W = 6X1 + 8X2 + 16X3

W = 6 (5/2) + 8 (0) + 16 (4/3)

W = 109/3

• Comprobación en las restricciones:

2 X1 + X2 + X4

2 ( 5/2) + 0 + 0 = 5

X2 + 3X3 + X5

0 + 3 (4/3) + 0 = 4

Utilizando el método simplex resuelva el siguiente problema de programación lineal.

Min W = X1 + 3X2 + 2X3

s.a. X1 + 4X2 ³ 8

2 X1 + X3 ³ 10

2 X1 + 3X2 £ 15

X1 , X2 , X3 ³ 0

Min W – X1 – 3X2 – 2X3

s.a. X1 + 4X2 + X4 = 8

2 X1 + X3 + X5 = 10

2 X1 + 3X2 + X6 = 15

X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , X6 ³ 0

• Solución básica actual:

X4 = 8 min í 8/4 , – , 15/3ý

X5 = 10 min í 2 , – , 5ý

X6 = 15

• Solución básica actual:

X2 = 2 min í – , 10/1 , -ý

X5 = 10 min í – , 10 , -ý

X6 = 9

• Por lo tanto la solución óptima es:

W* = 26

X2* = 2

X3* = 10

X6* = 9

X1* = X4* = X5* = 0

• Comprobación en la función objetivo:

Min W = X1 + 3X2 + 2X3

W = 0 + 3 (2) + 2 (10)

W = 26

• Comprobación en las restricciones:

X1 + 4X2 + X4

0 + 4 (2) + 0 = 8

2 X1 + X3 + X5

2 (0) + 10 + = 10

2 X1 + 3X2 + X6

2 (0) + 3 (2) + 9 = 15

Use variables artificiales y póngalas en la tabla inicial de:

1. Formule el problema dual

   Min W = 6X1 + X2 + 3X3 – 2X4 Min W – 6X1 – X2 – 3X3 + 2X4 = 0

   s.a. X1 + X2 s.a. X1 + X2 + X6 = 42

   2 X1 + 3X2 – X3 – X4 ³ 10 2X1 + 3X2 – X3 – X4 – X5 + X7 = 10

   X1 + 2X3 + X4 =30 X1 + 2X3 + X4 + X8 = 30

   X1 , X2 , X3 , X4 ³ 0

   VB	W	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	SOLUCION
   W	1	-6	-1	-3	2	0	0	-M	-M	0
   X6	0	1	1	0	0	0	1	0	0	42
   X7	0	2	3	-1	-1	-1	0	1	0	10
   X8	0	1	0	2	1	0	0	0	1	30
   VB	W	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	SOLUCION
   W	1	3M-6	3M-1	M-3	2	-M	0	0	0	40M
   X6	0	1	1	0	0	0	1	0	0	42
   X7	0	2	3	-1	-1	-1	0	1	0	10
   X8	0	1	0	2	1	0	0	0	1	30

    

    

    

    

    

    

    

   	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	SOLUCION
   M	2	3	-1	-1	-1	0	1	0	10
   	2M	3M	-M	-M	-M	0	M	0	10M
   	-6	-1	-3	2	0	0	-M	-M	0
   	2M-6	3M-1	-M-3	-M+2	-M	0	0	-M	10M
   	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	SOLUCION
   M	1	0	2	1	0	0	0	1	30
   	M	0	2M	M	0	0	0	M	30M
   	2M-6	3M-1	-M-3	-M+2	-M	0	0	-M	10M
   	3M-6	3M-1	M-3	2	-M	0	0	0	40M

    

    

    

    

    

    

    

    

   Considérese el problema siguiente:

2. Elabore la tabla inicial para el problema dual
3. Formule el problema dual
4. Elabore la tabla inicial para el problema dual

Min W = 3X1 – 5 X2 + 4X3

s.a. 4 X1 – 2 X2 + X3 = 20

3 X1 + 4X3 ³ 12

-2X2 + 7X3 ³ 7

X1 , X2 , X3 ³ 0

DUAL

Max Z = 20Y1 + 12Y2 + 7Y3

s.a. 4 Y1 + 3 Y2 3

-2Y1 – 2Y3 -5

Y1 + 4Y2 + 7Y3 -4

Y1 =NR Y2 , Y3 ³ 0

 Use variables artificiales y el método simplex para resolver el problema lineal:

Min W = -2X1 – X2 – 4X3 – 5X4

s.a. X1 + 3 X2 + 2 X3 + 5X4 £ 20

2 X1 + 16 X2 + X3 + X4 4 3 X1 – X2 – 5X3 + 10X4 £ -10 X1 , X2 , X3 , X4 ³ 0

Min W + 2X1 + X2 + 4X3 + 5X4= 0 s.a. X1 + 3 X2 + 2 X3 + 5X4 + S1 = 20

2 X1 + 16 X2 + X3 + X4 -S2 + R2 = 4 3 X1 – X2 – 5X3 + 10X4 +S3 = -10

X1 , X2 , X3 , X4 ³ 0

Max Z -40X1 – 60X2 – 50X3

s.a. 10 X1 + 4 X2 + 2 X3 + X4 = 950

2 X1 + 2 X2 + + X5 = 410

X1 + + 2 X3 + X6 = 610

X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , X6 ³ 0

• Solución básica actual:

S1 = 20 min í 20/3 , 1/16 , -10/-1ý

R2 = 4 min í 6.6 , 0.25 , 10ý

S3 = -10

• Por lo tanto la solución óptima es:

W* = -1/4

X2* = 1/4

S3* = -39/4

X1*, X3*, X4*, S1*, S2* = 0

• Comprobación en las restricciones:

W = -2(0) – 1/4 + 4(0) – 5(0) = -1/4

0 + 3(1/4) +2(0) + 5(0) = 3/4 £ 20 INACTIVA Y DEFICIT

2(0) +16(1/4) + 0 +0 = 16/4 = 4 = 4 ACTIVA

3(0) –1/4 – 5(0) + 10(0) = -1/4 £ -10

Por el metodo simplex

Min W+2X1+X2+4X3+5X4=0

s.a. X1 + 3X2 + 2X3 + 5X4 + S1 =20

-2 X1 – 16X2 – X3 – X4 + S1 =-4

3 X1 – X2 – 5X3 + 10X4 + S3 =-10

X1 , X2 , X3 , X4 ³ 0 S1 ,S2 ,S3 ³ 0

• Solución básica actual:

S1 = 0 min í -20/5 , – , -50/10ý

X4 = 4 min í – , – , -ý

S3 = -50

No tiene solución porque se puede establecer la variable de entrada pero no la salida.

En los ejercicios 1-4, escriba la tabla simples inicial para cada problema dado de programación lineal.

1.- Max Z= 3X1 + 7X2 Max Z- 3X1 – 7X2 =0

s.a. 3X1 – 2X2 £ 7 s.a. 3X1 – 2X2 +S1 =7

2X1 + 5X2 £ 6 2X1 +5X2 +S2 =6

2X1 + 3X2 £ 8 2X1 + 3X2 + S3 =8

X1, X2 ³ 0 X1, X2 ,S1, S2 ,S3 ³ 0

 2.- Max Z= 2X1 + 3X2 –4X3Max Z- 2X1 – 3X2+4X3 =0

s.a. 3X1 – 2X2 +X3 £ 4 s.a. 3X1 – 2X2 +X3 + S1 =4

2X1 -4X2 +5X3 £ 6 2X1 -4X2 +5X3 +S2 =6

X1, X2, X3 ³ 0 X1, X2 ,X3, S1, S2 ³ 0

 3.- Max Z= 2X1 + 2X2 +3X3+X4Max Z- 2X1 – 2X2 -3X3 -X4 =0

s.a. 3X1 – 2X2 +X3 + X4 £ 6 s.a. 3X1 – 2X2 +X3 + X4 + S1 = 6

X1 + X2 + X3 + X4 £ 8 X1 + X2 + X3 + X4 +S2 = 8

2X1 – 3X2 +X3 + 2X4 £ 10 2X1 – 3X2 + X3 + 2X4 +S3= 10

X1, X2, X3,X4 ³ 0 X1, X2 ,X3, X4, S1, S2 , S3 ³ 0

4.- Max Z= 2X1 – 3X2 + X3Max Z- 2X1 + 3X2 – X3 =0

s.a. X1 – 2X2 + 4X3 £ 5 s.a. X1 – 2X2 +4X3 + S1 = 5

2X1 + 2X2 + 4X3 £ 5 2X1 + 2X2 + 4X3 +S2 = 5

3X1 + X2 – X3 £ 7 3X1 + X2 – X3 +S3 = 7

X1, X2, X3, ³ 0 X1, X2 ,X3, S1, S2 , S3 ³ 0

En los ejercicios 5-11 resuelva cada problema de programación lineal mediante el método simplex. de alguno de los problemas podrían no tener una solución optima infinita.

5.- Max Z = 2X1 + 3X2 Max Z – 2X1 – 3X2 =0

s.a. 3X1 + 5X2 £ 6 s.a. 3X1 + 5X2 +S1 = 6

2X1 +3X2 £ 7 2X1 +3X2 +S2 = 7

X1 , X2 ³ 0 X1, X2, S1, S2 ³ 0

• Solución básica actual:

S1 = 6 min í 6/5 ,7/3ý

S2 = 7 min í 1.2, 2.3ý

• Solución básica actual:

X2 = 6/5 min í 6/5 / 3/5 , -17/5 / -1/5ý

min í 2 , 17ý

• Por lo tanto la solución óptima es:

Z* = 4

X1* = 2

X2* , S1*,S2*=0

• Comprobación en la función objetivo:

Max Z = 2(2)+3(0)=4

Z=4

• Comprobación en las restricciones:

3 (2) + 5 (0) = 6=6 ACTIVA

2 (2) +3(0) = 4< 7 INACTIVA Y DEFICIT

6.- Max Z = 2X1 + 5X2

s.a. 3X1 + 7X2 £ 6

2 X1 + 6X2 £ 7

3 X1 + 2X2 £ 5

X1 , X2 ³ 0

• Solución básica actual:

S1 = 6 min í 6/7 ,7/6 , 5/2ý

S2 = 7 min í 0.85 ,1.16 ,2.5ý

S3 = 5

• Por lo tanto la solución óptima es:

Z* = 30/7

X2* = 6/7

S1* = S2* = S3*=X1*=0

• Comprobación en la función objetivo:

Min Z = 2(0) + 5(6/7)=30/7

• Comprobación en las restricciones:

3(0)+7(6/7) = 42/7=6=6 ACTIVA

2 (0) + 6(6/7) = 36/7=5.14 < 7 INACTIVA Y DEFICIT

3 (0) + 2(6/7) = 12/7 =1.71 < 5 INACTIVA Y DÉFICIT

7.- Max Z = 2X1 + 5X2 Max Z – 2X1 – 5X2 =0

s.a. 2X1 – 3X2 £ 4 s.a. 2X1 – 3X2 +S1 = 4

X1 – 2X2 £ 6 X1 – 2X2 +S2 = 6

X1 , X2 ³ 0 X1, X2, S1, S2 ³ 0

• Solución básica actual:

S1 = 4 min í 4/-3 , 6/-2ý

S2 = 6 min í -1.33, -3ý

No hay solución porque se puede establecer la variable de entrada pero no la de salida.

8.- Max Z = 3X1 + 2X2 +4X3

s.a. X1 – X2 – X3 £ 6

– 2 X1 + X2 -2X3 £ 7

3 X1 + X2 –4X3 £ 8

X1 , X2, X3 ³ 0

• Solución básica actual:

S1 = 6 min í 6/-1, 7/-2, 8/-4ý

S2 = 7 min í -6, -3.5, -2ý

S3 = 8

No hay solución porque se puede establecer la variable de entrada pero no la de salida.

9.- Max Z = 2X1 – 4X2 + 5X3

s.a. 3X1 + 2X2 + X3 £ 6

3X1 – 6X2 + 7X3 £ 9

X1 , X2 , X3 ³ 0

• Solución básica actual:

S1 = 6 min í 6/1 , 9/7ý

S2 = 9 min í 6 , 1.28ý

• Solución básica actual:

X3 = 9/7 min í -33/7 / -20/7 , 9/7 / -6/7ý

min í 33/20, -ý

• Por lo tanto la solución óptima es:

Z* = 69/10

X2* = 33/20

X3* = 27/10

X1* = S2=S1 = 0

• Comprobación en la función objetivo:

Max Z = 2 (0) – 4(33/20)+5(27/10) = 69/10

Z = 69/10

• Comprobación en las restricciones:

3 (0) + 2(33/20)+ 27/10 = 6=6 ACTIVA

3(0)- 6(33/20) +7(27/10) =9 = 9 ACTIVA

10.- Max Z = 2X1 + 4X2 -3X3

s.a. 5X1 + 2X2 + X3 £ 5

3X1 –2X2 +3 X3 £ 10

4 X1 + 5X2 – X3 £ 20

X1 , X2 , X3 ³ 0

• Solución básica actual:

S1 =5 min í 5/2 ,10/-2 , 20/5ý

S2 = 10 min í 2.5 , – , 4ý

S3 = 20

• Por lo tanto la solución óptima es:

Z* = 10

X2* = 5/2

S2* = 15

X1* = X4* = S1* =S3*= 0

• Comprobación en la función objetivo:

Max Z = 2(0)+4(5/2)-3(0) =10

Z = 10

• Comprobación en las restricciones:

5(0)+2(5/2)+0 = 5=5 ACTIVA

3(0)-2(5/2)+3(0) = -5 < 10 INACTIVA Y DEFICIT

4(0)+5(5/2)-0 = 25/2 = 12.5 < 20 INACTIVA Y DEFICIT

11.- Max Z = X1 + 2X2 – X3 + 5X4

s.a. 2X1 + 3 X2 + X3 – X4 £ 8

3 X1 + X2 – 4X3 + 5X4 £ 9

X1 , X2 , X3 , X4 ³ 0

• Solución básica actual:

S1 = 8 min í 8/-1 , 9/5ý

S2 = 9 min í – , 1.8ý

• Solución básica actual:

S1 = 49/5 min í 49/5 / 1/5 , 9/5 / -4/5ý

X4 = 9/54

• Por lo tanto la solución óptima es:

Z* = 156

X3* = 49

X4* = 41

X1*= X2* = S1*= S2* = 0

• Comprobación en las restricciones:

Z = 0+2(0)-49+5(41) = 156

2(0)+ 3(0) +49 -41 = 8=8 ACTIVA

3(0)+0 –4(49)+5(41) = 9 = 9 ACTIVA

 Trabajos Publicados en Monografías.com por Iván Escalona

La Enseñanza de la Ingeniería frente a la Privatización

/trabajos12/pedense/pedense.shtml

Proceso del Aprendizaje

/trabajos12/pedalpro/pedalpro.shtml

Giovanni Sartori, el Homo videns

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La Vida: Las cosas se Conocen por sus Operaciones

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¿Qué es la Filosofía?

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Conocimiento sensible

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Comparación de autores y escuelas

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Filosofía de la educación

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Análisis de la Psicopatología de la memoria

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Empresa y familia

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Antropología filosófica

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Definición de Filosofía

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Recensión del Libro Didáctica Magna

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El hombre ante los problemas y límites de la Ciencia

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La Familia II

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Recensión del libro Froebel. La educación del hombre

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Antropología Filosófica

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Memoria técnica de cálculo

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Memoria de cálculo

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Ingeniería de métodos

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Ingeniería de Medición

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Ahorro de energía

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Nociones de derecho mexicano

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Derecho – Nociones de derecho positivo

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La familia III

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Juicio de amparo

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Delitos patrimoniales y responsabilidad profesional

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Contrato individual de trabajo

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Control de Calidad, Orígenes y evolución de la calidad, /trabajos11/primdep/primdep.shtml

Investigación de mercados, Tipos de Investigación, /trabajos11/invmerc/invmerc.shtml

Análisis Sistemático de la Producción 1

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Aplicaciones del tiempo estándar en la Tutsi

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Átomo

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Entender el Mundo de Hoy

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Gráficos de Control de Shewhart

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La Familia en El derecho Civil Mexicano

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La Familia en el Derecho Positivo

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Distribución de Planta

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El Poder de la Autoestima

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Mecánica Clásica

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México de 1928 a 1934

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Etapa de la Independencia de Mexico

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UPIICSA

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Vicente Fox

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El Perfil del hombre y la Cultura en México

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Mecánica Clásica – Movimiento unidimensional

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Las religiones y la moral

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Salvifichi Doloris

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El gobierno del general Manuel González

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José López Portillo

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Museo de las Culturas

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Hombre y el Robot: A la búsqueda de la armonía

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Historia de México – Las Leyes de Reforma

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Inquisición en la Nueva España

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Glaxosmithkline – Aplicación de los resultados del Tiempo Estándar

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La intervención Francesa

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Primer Gobierno Centralista

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Maximato

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Biología

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Exámenes de Algebra Lineal

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Artículo 14 y 16 de la Constitución de México

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La guerra con los Estados Unidos

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México: ¿Adoptando Nueva Cultura?

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Curso de Fisicoquímica

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Prácticas de Laboratorio de Electricidad de Ingeniería

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Garantías Individuales

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Ranma Manga (Solo en Ingles)

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Prácticas del laboratorio de química de la UP

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Problemas de Física de Resnick, Halliday, Krane

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Bioquimica

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Teoría de al Empresa

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Fraude del Siglo

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Jean Michelle Basquiat

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Código de Ética

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El sentido del humor en la educación

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Ingeniería de Métodos: Análisis Sistemático

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Autor:

Iván Escalona Moreno

Estudios de Preparatoria: Centro Escolar Atoyac (Incorporado a la U.N.A.M.)

Estudios Universitarios: Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería y Ciencias Sociales y Administrativas (U.P.I.I.C.S.A.) del Instituto Politécnico Nacional (I.P.N.) – Sexto Semestre

Ciudad de Origen: México, Distrito Federal

Profesor que revisó trabajo: Vergara Nava Leonardo (Catedrático de la Academia de Investigación de Operaciones de la U.P.I.I.C.S.A.)