Contenido Conexion entre los valores propios de la matriz de estado y los polos de la funcion de transferencia Estabilidad interna de los sistemas lineales Lyapunov y la estabilidad de sistemas lineales Estabilidad externa de los sistemas lineales 2
Conexion entre los valores propios de la matriz de estado y los polos de la funcion de transferencia 2
La matriz de transicion Por definicion la matriz de transicion es
Entonces, utiliza la matriz
Por lo tanto, cada elemento de la matriz de transicion contendra el polinomio caracteristico en el denominador 3
Ejemplo Considere la matriz A del sistema masa-resorte -amortiguador: 4 Entonces, polinomio caracteristico de A
La matriz de transicion Volviendo con la matriz de transicion, se tiene entonces,
En donde cada elemento de la matriz Adj{sI – A} es de orden menor o igual a n-1 y el escalar det{sI – A} es de orden n.
Por lo tanto, cada elemento de esta matriz puede escribirse, 5 Expansion en fracciones parciales
Elementos de la matriz de transicion Al obtener el laplace inverso los elementos de la matriz de transicion toman la forma 6 Los valores s1, s2, …, son también por definición los valores propios ?i de A. Se puede concluir que: Los valores propios son también conocidos como los modos caracteristicos del sistema La matriz de transición de A tiene exponenciales cuyos exponentes están formados por los valores propios de A
Descomposicion en los componentes modales 7 Ejemplo: Respuesta impulsiva de un sistema LTI,
La señal de salida es muy complicada La solucion se puede descomponer en sus componentes modales con ?’s distintos
Valores propios de la matriz de transicion Sea ?i un valor propio de A y vi su respectivo vector propio. Entonces, 8 (Gp:) Es decir, la matriz de transición tiene por vectores propios a vi y por valores propios
Demostrar!
Una trayectoria particular Un resultado importante de esto es que la respuesta a entrada cero para una condición inicial x0 correspondiente a un vector propio vi se simplifica a
9 Es decir, sólo el modo ?i es excitado y la respuesta tiene la dirección de vi y con una magnitud dada por e?it
Una trayectoria particular Un resultado importante de esto es que la respuesta a entrada cero para una condición inicial x0 correspondiente a un vector propio vi se simplifica a
10 Si los valores propios son complejos y conjugados, éstos tendrán asociados vectores propios complejos y conjugados. En este caso, la condición inicial deberá tomarse como:
Comportamiento de los modos 11 (Gp:) Parte real negativa (Gp:) Parte real cero Simples o repetidos con ma = mg (Gp:) Parte real positiva (Gp:) Re(l) (Gp:) Im(l )
Valor propio correspondiente
Los modos en el plano complejo 12 (Gp:) Estable (Gp:) Inestable (Gp:) Im{l} (Gp:) Re{l} (Gp:) Marginalmenteestable (Gp:) Semi-plano izquierdo (LHP) (Gp:) Semi-plano derecho (RHP)
Valores propios distintos Valores propios repetidos Para r raices repetidas del valor de l, k = 0,…, r –1
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