Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

1. Definiciones
2. Teoremas sobre rangos
3. Método de eliminación de Gauss
4. Método de Gauss – Jordan
5. Método de Gauss-Seidel
6. Ecuaciones Lineales Homogéneas
7. Ecuaciones lineales no homogéneas
8. Análisis insumo-productos estático intersectoriales
9. La Condición de Hawking-Simon
10. Productos y precios teoría y aplicaciones
11. Clasificaciones de los productos de consumo
12. Clasificaciones de los productos industriales
13. Precio
14. Estrategias de fijación de precios

DEFINICIONES

1. Es aquella en donde en cada término de la ecuación aparece únicamente una variable o incógnita elevada a la primera potencia. Por ejemplo:

   a 11 X1 + a 12 X2 + a 13 X3 + … + a 1n Xn = C1 (1)

   Es una ecuación algebraica lineal en las variables X1, X2, X3, … , Xn. Se admite que los coeficientes a11, a12, a13, … , a1n y el término independiente C1, son constantes reales.

2. ECUACIÓN ALGEBRÁICA LINEAL

   Es un conjunto de ecuaciones que deben resolverse simultáneamente. En los sucesivo se considerarán únicamente sistemas de ecuaciones algebráicas lineales, o sea conjuntos de ecuaciones de la forma:

   a11 X 1 + a 12 X2 + a13 X 3 +… + a 1n X n = C 1 (a)

   a 21 X 1 + a 22 X 2 + a 23 X 3 +… + a 2n X n = C 2 (b) (2)

   …

   a n1 X 1 + a n2 X 2 + a n3 X 3 + … + a nn X n = C n (c)

   Aplicando la definición de producto entre matrices, este sistema de n ecuaciones algebraicas lineales con n incógnitas puede escribirse en forma matricial.

   Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

   (3)

   Este sistema de ecuaciones puede escribirse simbólicamente como:

   A X = C (4)

   en donde A se llama Matriz del Sistema. La matriz formada por A, a la que se le ha agregado el vector de términos independientes como última columna, se le llama la Matriz Ampliada del Sistema, que se representa con (A, C).

   Entonces la matriz ampliada será:

   Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

3. SISTEMA DE ECUACIONES
4. SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

Es un conjunto de valores de las incógnitas que verifican simultáneamente a todas y cada una de las ecuaciones del sistema.

De acuerdo con su solución, un sistema puede ser: Consistente, si admite solución; o Inconsistente, si no admite solución.

Un sistema Consistente puede ser: Determinado, si la solución es única o Indeterminado, si la solución no es única. En este caso se demuestra que existe una infinidad de soluciones.

2. TEOREMAS SOBRE RANGOS

El rango de una matriz es el orden de determinante no nulo de mayor orden que puede obtenerse de esa matriz. El rango de la matriz A se representa con la notación r(A) y el de la matriz ampliada con r(A, C).

En álgebra se demuestra que:

1. Para cualquier sistema,

   (*)

2. Si r(A) < r(A, C) el sistema es inconsistente
3. Si r(A) = r(A, C) el sistema de ecuaciones es consistente

En este caso, si además r(A) = n, el sistema es determinado e indeterminado si r(A) < n, siendo n el número de variables en el sistema.

En general, hay dos tipos de técnicas numéricas para resolver ecuaciones simultáneas: Directas, que son finitas; e Indirectas, que son infinitas.

Naturalmente, ninguna técnica práctica puede ser infinita. Lo que queremos decir es que en un principio los métodos directos (despreciando errores por redondeo) producirán una solución exacta, si la hay, en un número finito de operaciones aritméticas.

Por otra parte, un método indirecto requerirá en principio un número infinito de operaciones aritméticas para producir una solución exacta. Dicho de otra manera, un método indirecto tiene un error por truncamiento mientras que un método directo no lo tiene.

Sin embargo, la expresión "en principio" del párrafo anterior es crucial: en realidad se tienen errores por redondeo. Tendremos que considerar más cuidadosamente esta cuestión. En un sistema grande, mal comportado, los errores por redondeo de un método directo puede hacer que la "solución" carezca de sentido. A pesar de su error teórico por truncamiento, un método indirecto puede ser mucho más deseable porque en él los errores por redondeo no se acumulan.

2. MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS

El primer método que se presenta usualmente en álgebra, para la solución de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas, es aquel en el que se eliminan las incógnitas mediante la combinación de las ecuaciones. Este método se conoce como Método de Eliminación. Se denomina eliminación Gaussiana si en el proceso de eliminación se utiliza el esquema particular atribuido a Gauss.

Utilizando el método de Gauss, un conjunto de n ecuaciones con n incógnitas se reduce a un sistema triangular equivalente (un sistema equivalente es un sistema que tiene iguales valores de la solución), que a su vez se resuelve fácilmente por "sustitución inversa"; un procedimiento simple que se ilustrará con la presentación siguiente.

El esquema de Gauss empieza reduciendo un conjunto de ecuaciones simultáneas, tal como se muestra en (2), a un sistema triangular equivalente como:

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

(6)

en el cual los superíndices indican los nuevos coeficientes que se forman en el proceso de reducción. La reducción real se logra de la siguiente manera:

1. Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

   (7)

2. La primera ecuación (2) se divide entre el coeficiente de X1 en esa ecuación para obtener:

   Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

   (8)

3. La ec. (7) se multiplica entonces por el coeficiente de X1 de la segunda ecuación (2) y la ecuación que resulta se resta de la misma, eliminando así X1. La ec. (7) se multiplica entonces por el coeficiente de X1 de la tercera ecuación (2), y la ecuación resultante se resta de la misma para eliminar X1 de esa ecuación. En forma similar, X1 se elimina de todas las ecuaciones del conjunto excepto la primera, de manera que el conjunto adopta la forma:
4. La ecuación utilizada para eliminar las incógnitas en las ecuaciones que la siguen se denomina Ecuación Pivote. En la ecuación pivote, el coeficiente de la incógnita que se va a eliminar de las ecuaciones que la siguen se denomina el Coeficiente Pivote (a11 en los pasos previos).

   Esta reducción nos conduce a:

   Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

   (9)A continuación se utiliza la tercer ecuación (9) como ecuación pivote, y se usa el procedimiento descrito para eliminar X3 de todas las ecuaciones que siguen a la tercer ecuación (9). Este procedimiento, utilizando diferentes ecuaciones pivote, se continúa hasta que el conjunto original de ecuaciones ha sido reducido a un conjunto triangular tal como se muestra en la ec. (6).

5. Siguiendo los pasos anteriores, la segunda ecuación (8) se convierte en la ecuación pivote, y los pasos de la parte 1 se repiten para eliminar X2 de todas las ecuaciones que siguen a esta ecuación pivote.
6. Una vez obtenido el conjunto triangular de ecuaciones, la última ecuación de este conjunto equivalente suministra directamente el valor de Xn (ver ec. 6). Este valor se sustituye entonces en la antepenúltima ecuación del conjunto triangular para obtener un valor de Xn-1, que a su vez se utiliza junto con el valor de Xn en la penúltima ecuación del conjunto triangular para obtener un valor Xn-2 y asi sucesivamente. Este es el procedimiento de sustitución inversa al que nos referimos previamente.

Para ilustrar el método con un conjunto numérico, apliquemos estos procedimientos a la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

X1 + 4 X2 + X3 = 7

X1 + 6 X2 – X3 = 13 (10)

2 X1 – X2 + 2 X3 = 5

Utilizando como ecuación pivote la primera ecuación (el coeficiente pivote es unitario), obtenemos:

X1 + 4 X2 + X3 = 7

2 X2 – 2 X3 = 6 (11)

9 X2 + (0) X3 = -9

A continuación, utilizando la segunda ecuación del sistema (11) como ecuación pivote y repitiendo el procedimiento, se obtiene el siguiente sistema triangular de ecuaciones:

X1 + 4 X2 + X3 = 7

2 X2 – 2 X3 = 6 (12)

– 9 X3 = 18

Finalmente mediante sustitución inversa, comenzando con la última de las ecs. (12) se obtienen los siguientes valores:

X3 = -2

X2 = 1

X1 = 5

1. Este método, que constituye una variación del método de eliminación de Gauss, permite resolver hasta 15 o 20 ecuaciones simultáneas, con 8 o 10 dígitos significativos en las operaciones aritméticas de la computadora. Este procedimiento se distingue del método Gaussiano en que cuando se elimina una incógnita, se elimina de todas las ecuaciones restantes, es decir, las que preceden a la ecuación pivote así como de las que la siguen.

   El método se ilustra mejor con un ejemplo. Resolvamos el siguiente conjunto de ecuaciones

   3.0 X1 – 0.1 X2 – 0.2 X3 = 7.8500

   0.1 X1 + 7.0 X2 – 0.3 X3 = – 19.3

   0.3 X1 – 0.2 X2 + 10 X3 = 71.4000

   Primero expresemos los coeficientes y el vector de términos independientes como una matriz aumentada.

   Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

   Se normaliza el primer renglón dividiendo entre 3 para obtener:

   Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

   El término X1 se puede eliminar del segundo renglón restando 0.1 veces el primero del segundo renglón. De una manera similar, restando 0.3 veces el primero del tercer renglón se elimina el término con X1 del tercer renglón.

   Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

   En seguida, se normaliza el segundo renglón dividiendo entre 7.00333:

   Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

   Reduciendo los términos en X2 de la primera y la tercera ecuación se obtiene:

   Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

   El tercer renglón se normaliza dividiendolo entre 10.010:

   Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

   Finalmente, los términos con X3 se pueden reducir de la primera y segunda ecuación para obtener:

   Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

   Nótese que no se necesita sustitución hacia atrás para obtener la solución.

   Las ventajas y desventajas de la eliminación gaussiana se aplican también al método de Gauss-Jordan.

   Aunque los métodos de Gauss-Jordan y de eliminación de Gauss pueden parecer casi idénticos, el primero requiere aproximadamente 50% menos operaciones. Por lo tanto, la eliminación gaussiana es el mé todo simple por excelencia en la obtención de soluciones exactas a las ecuaciones lineales simultáneas. Una de las principales razones para incluir el método de Gauss-Jordan, es la de proporcionar un método directo para obtener la matriz inversa.

   2. INVERSIÓN DE MATRICES

   Para ver el item completo seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

   EJEMPLO

   Invertir la matriz

   Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

   Auméntese la matriz de coeficientes con una matriz identidad

   Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

   Usando a11 como pivote, el renglón 1 se normaliza y se usa para eliminar a X1 de los otros renglones.

   Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

   En seguida, se usa a22 como pivote y X2 se elimina de los otros renglones.

   Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

   Finalmente, se usa a33 como pivote y X3 se elimina de los renglones restantes:

   Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

   Por lo tanto, la inversa es:

   Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

   Se puede resolver un sistema de ecuaciones con la inversa de la matriz de coeficientes, de la siguiente manera:

   Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

   donde C es el vector de términos independientes.

   Comparando ambos métodos, es evidente que el método de inversión de matrices no es práctico para la solución de un sólo conjunto (o dos o tres conjuntos) de ecuaciones simultáneas, porque la cantidad de cálculos que intervienen para determinar la matriz inversa es muy grande. Sin embargo, si se desea resolver 20 conjuntos de 10 ecuaciones simultáneas que difieren únicamente en sus términos independientes, una matriz aumentada que contiene 20 columnas de constantes (que se utilizarían en el método de eliminación) sería difícil de reducir, y se podría usar con ventaja el método de inversión de matrices.

2. MÉTODO DE GAUSS – JORDAN
3. MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

El método de eliminación para resolver ecuaciones simultáneas suministra soluciones suficientemente precisas hasta para 15 o 20 ecuaciones. El número exacto depende de las ecuaciones de que se trate, del número de dígitos que se conservan en el resultado de las operaciones aritméticas, y del procedimiento de redondeo. Utilizando ecuaciones de error, el número de ecuaciones que se pueden manejar se puede incrementar considerablemente a más de 15 o 20, pero este método también es impráctico cuando se presentan, por ejemplo, cientos de ecuaciones que se deben resolver simultáneamente. El método de inversión de matrices tiene limitaciones similares cuando se trabaja con números muy grandes de ecuaciones simultáneas.

Sin embargo, existen varias técnicas que se pueden utilizar, para resolver grandes números de ecuaciones simultáneas. Una de las técnicas más útiles es el método de Gauss-Seidel. Ninguno de los procedimientos alternos es totalmente satisfactorio, y el método de Gauss-Seidel tiene la desventaja de que no siempre converge a una solución o de que a veces converge muy lentamente. Sin embargo, este método convergirá siempre a una solución cuando la magnitud del coeficiente de una incógnita diferente en cada ecuación del conjunto, sea suficientemente dominante con respecto a las magnitudes de los otros coeficientes de esa ecuación.

Es difícil definir el margen mínimo por el que ese coeficiente debe dominar a los otros para asegurar la convergencia y es aún más difícil predecir la velocidad de la convergencia para alguna combinación de valores de los coeficientes cuando esa convergencia existe. No obstante, cuando el valor absoluto del coeficiente dominante para una incógnita diferente para cada ecuación es mayor que la suma de los valores absolutos de los otros coeficientes de esa ecuación, la convergencia está asegurada. Ese conjunto de ecuaciones simultáneas lineales se conoce como sistema diagonal.

Un sistema diagonal es condición suficiente para asegurar la convergencia pero no es condición necesaria. Afortunadamente, las ecuaciones simultáneas lineales que se derivan de muchos problemas de ingeniería, son del tipo en el cual existen siempre coeficientes dominantes.

La secuencia de pasos que constituyen el método de Gauss-Seidel es la siguiente:

2. Asignar un valor inicial a cada incógnita que aparezca en el conjunto. Si es posible hacer una hipótesis razonable de éstos valores, hacerla. Si no, se pueden asignar valores seleccionados arbitrariamente. Los valores iniciales utilizados no afectarán la convergencia como tal, pero afectarán el número de iteraciones requeridas para dicha convergencia.
3. Partiendo de la primera ecuación, determinar un nuevo valor para la incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando para las otras incógnitas los valores supuestos.
4. Pasar a la segunda ecuación y determinar en ella el valor de la incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando el valor calculado para la incógnita del paso 2 y los valores supuestos para las incógnitas restantes.
5. Continuar con las ecuaciones restantes, determinando siempre el valor calculado de la incógnita que tiene el coeficniente más grande en cada ecuación particular, y utilizando siempre los últimos valores calculados para las otras incógnitas de la ecuación. (Durante la primera iteración, se deben utilizar los valores supuestos para las incógnitas hasta que se obtenga un valor calculado). Cuando la ecuación final ha sido resuelta, proporcionando un valor para la única incógnita, se dice que se ha completado una iteración.
6. Continuar iterando hasta que el valor de cada incógnita, determinado en una iteración particular, difiera del valor obtenido en la iteración previa, en una cantidad menor que cierto (*)seleccionado arbitrariamente. El procedimiento queda entonces completo.

Refiriéndonos al paso 5, mientras menor sea la magnitud del (*)seleccionado, mayor será la precisión de la solución. Sin embargo, la magnitud del epsilon no especifica el error que puede existir en los valores obtenidos para las incógnitas, ya que ésta es una función de la velocidad de convergencia. Mientras mayor sea la velocidad de convergencia, mayor será la precisión obtenida en los valores de las incógnitas para un (*)dado.

(*) Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

EJEMPLO

Resolver el siguiente sistema de ecuación por el método Gauss-Seidel utilizando un (*)= 0.001.

0.1 X1 + 7.0 X2 – 0.3 X3 = -19.30

3.0 X1 – 0.1 X2 – 0.2 X3 = 7.85

0.3 X1 – 0.2 X2 – 10.0 X3 = 71.40

SOLUCIÓN:

Primero ordenamos las ecuaciones, de modo que en la diagonal principal esten los coeficientes mayores para asegurar la convergencia.

3.0 X1 – 0.1 X2 – 0.2 X3 = 7.85

0.1 X1 + 7.0 X2 – 0.3 X3 = -19.30

0.3 X1 – 0.2 X2 – 10.0 X3 = 71.40

Despejamos cada una de las variables sobre la diagonal:

Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

Suponemos los valores iniciales X2 = 0 y X3 = 0 y calculamos X1

Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

Este valor junto con el de X3 se puede utilizar para obtener X2

Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

La primera iteración se completa sustituyendo los valores de X1 y X2 calculados obteniendo:

Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

En la segunda iteración, se repite el mismo procedimiento:

Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

Comparando los valores calculados entre la primera y la segunda iteración

Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

Como podemos observar, no se cumple la condición

Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

Entonces tomamos los valores calculados en la última iteración y se toman como supuestos para la siguiente iteración. Se repite entonces el proceso:

Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

Comparando de nuevo los valores obtenidos

Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

Como se observa todavía no se cumple la condición

Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

Así que hacemos otra iteración

Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

Comparando los valores obtenidos

Para ver la fórmula seleccione la opción ¨Descargar trabajo¨ del menú superior

Dado que se cumple la condición, el resultado es:

X1 = 3.0

X2 = -2.5

X3 = 7.0

Como se puede comprobar no se tiene un número exacto de iteraciones para encontrar una solución. En este ejemplo, se hicieron 3 iteraciones, pero a menudo se necesitan más iteraciones.

a) ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS

ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS DE PRIMER ORDEN Consideramos la ecuación

y supongamos que

Podemos resolver directamente esta ecuación:

Será …………………De la misma forma, tendremos

 , . . . .

Vemos que la solución general es

Llamamos a esta sucesión progresión geométrica de valor inicial C y razón A.

ECUACIONES LINEALES HOMOGENEAS DE SEGUNDO ORDEN

• Partimos de la ecuación de recurrencia

y buscamos soluciones que sean progresiones geométricas:

Suponemos y sustituimos

• Podemos simplificar esta ecuación en la forma

de donde, si , deducimos

Llamamos a esta ultima ecuación la ecuación característica de la recurrencia.

Tenemos ahora tres casos:

1. Las raíces de la ecuación característica son reales y distintas

Sean las raíces.

 son, para valores arbitrarios de las constantes Ci, soluciones de la ecuación de recurrencia (1). Comprobarlo sustituyendo.

• La suma de las dos soluciones anteriores también es una solución. Lo comprobamos sustituyendo.

• Hemos obtenido una solución que depende de dos constantes arbitrarias.

Todas las soluciones están comprendidas en la fórmula:

Demostración:

Si suponemos dados los valores iniciales, a0 y a1, de la solución, el resto de la sucesión queda unívocamente determinado, por recurrencia y por ser la ecuación de orden 2, por estos dos valores (igual que en el caso de Fibonacci).

Sustituyendo n = 0, 1 en (2) obtenemos

Como suponemos que a0, a1, r1 y r2 son conocidos, vemos que (3) es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Su determinante es y, por tanto, el sistema tiene solución única.

Hemos visto, entonces, que toda solución de (1) puede ser dada como caso particular de (2) para una elección adecuada, la dada por la solución de (3), de las constantes C1 y C2.

2. Las raíces de la ecuación característica son reales e iguales Llamemos r0 a la única raíz de la ecuación característica.

La discusión es en este caso similar a la anterior, salvo que debemos usar

Las comprobaciones necesarias para ver que, en este caso también, todo funciona bien son tan parecidas que las omitimos.

3. Las raíces de la ecuación característica son números complejos conjugados

Supongamos que las raíces son:

Podemos tratar este caso en la misma forma que el primero, de forma que obtenemos que la solución es

Esta solución es satisfactoria, salvo si observamos que la solución está expresada en términos de funciones de variable compleja.

Si escribimos las raíces en forma polar, , donde podemos tomar como definición ei_ :

  podemos reescribir la solución como

con . De esta forma la solución es combinación lineal de dos funciones de variable real y son los coeficientes los que son números complejos.

Ejemplo:

Volvemos a la ecuación de Fibonacci

Su ecuación característica es , con raíces y

 . Son raíces reales distintas.

La solución general es

Sustituyendo n = 0, 1 en esta expresión podemos obtener los valores de las constantes que corresponden a valores iniciales dados. Por ejemplo, para

F0 = 0 y F1 = 1 se obtiene .

¿Que valor tiene, aproximadamente, Fn para n grande?

Como 0 < r2 < 1, para n muy grande el segundo sumando de la expresión exacta obtenida para Fn tiende a cero (i.e. se puede hacer tan pequeño como queramos). Entonces, para n muy grande, se obtiene

.

ECUACIONES HOMOGÉNEAS DE ORDEN ARBITRARIO

Consideramos la ecuación de recurrencia de orden k

con ecuación característica, obtenida en la misma forma que para k – 2,

Supongamos, para simplificar que la ecuación característica tiene k raíces reales, r1, r2, . . . , rk, distintas o no. Podemos entonces escribir la ecuación característica en la forma

Teorema La solución general de la ecuación de recurrencia (8) es una combinación lineal de términos de la forma:

con ni – 1 términos por cada raíz ri.

3. ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS

La resolución de ecuaciones no homogéneas es, en general, bastante más difícil que para el caso homogéneo.

Empezamos con un resultado general, y, luego, veremos un método que, en

ocasiones, funciona.

Suponemos una ecuación no homogénea

y llamamos ecuación homogénea asociada a

Supongamos que conocemos una solución, ,de la ecuación no homogénea

(9), a la que llamamos solución particular.

Teorema Toda solución de (9) se puede escribir como suma de la solución particular y una solución cualquiera de la ecuación homogénea asociada (10).

Demostración:

1. Representemos por an una solución cualquiera de la ecuación (10). Si sustituimos en (9) vemos que se satisface la ecuación.

2. Recíprocamente, supongamos que es otra solución de (9). Restando y

sustituyendo en (10) vemos que es solución.

Entonces, para resolver una ecuación, lineal, no homogénea basta encontrar

una solución particular y resolver completamente la ecuación homogénea asociada.

Describo ahora, usando un ejemplo como ilustración, un método para encontrar soluciones particulares.

Supongamos que la ecuación a resolver es

1. Escribir la ecuación característica de la ecuación homogénea asociada

y resolverla. Denotamos por p(r) el polinomio obtenido.

En nuestro ejemplo, la ecuación característica tiene raíces r = -3 y r = 2.

2. Encontrar la ecuación de recurrencia, homogénea con coeficientes constantes, más simple de la cual g(n) es solución.

Puede ser que g(n) no sea solución de ninguna ecuación de recurrencia lineal, homogénea y con coeficientes constantes.

Si es solución de una tal ecuación, continuamos el procedimiento encontrando su ecuación característica y resolviéndola. Denotamos por q(r) el polinomio hallado.

En nuestro ejemplo, g(n) = 2n – 1, y una ecuación de la que g(n) es solución tiene como raíces 2 y 1.

El polinomio característico es (r-2)(r- 1) = r2 – 3r + 2 =: q(r).

De aquí podemos obtener fácilmente la ecuación de recurrencia, pero, realmente, no hace falta.

3. Consideramos el polinomio P(r) := p(r)q(r), y escribimos la solución general de una ecuación homogénea con ecuación característica P(r) = 0.

En el ejemplo, será:

P(r) : = p(r)q(r) = (r + 3) (r – 2)2 (r – 1)

y la solución asociada es:

H(n) : = A(-3)n + B2n + Cn2n + D.

4. Los dos primeros sumandos de H(n) son la solución general de la ecuación homogénea asociada. Podemos ver que el resto es, para valores particulares de las constantes, la solución particular buscada.

En nuestro caso, la solución particular sería

para valores de C y D que hay que calcular.

Sustituimos esta sucesión en (11), y operando, llegamos a la ecuación

con solución D = 1/4 y C = 2/5.

Hemos comprobado así, que para estos valores de C y D, se obtiene una

solución particular de la ecuación no homogénea.

Ejercicio:

Usar el método anterior para hallar, para k = 2, 3, . . . , el valor de sumas del

tipo:

.

Indicación:

Tenemos

que es una ecuación de recurrencia lineal, de orden uno y no homogénea.

c) ANALISIS INSUMO-PRODUCTOS ESTATICO NTERSECTORIALES

El análisis de insumo producto describe el flujo de la producción para estudiar en que forma la producción de bienes primarios, intermedios y finales es afectada por un cambio en la demanda de bienes finales. El objetivo primario del análisis de insumo-productos es evaluar los niveles de producción en las diversas industrias, que se requieren para niveles particulares de la demanda de bienes finales. El análisis insumo-producto también se puede aplicar al estudio de los sectores de la economía, bien sea para un modelo cerrad, en donde la producción de un sector es igual a la adición de sus insumos en los otros sectores, o para un modelo abierto, que incluye la demanda final además de las demandas de los otros sectores.

Supóngase que una economía se divide en n industrias, y cada industria produce solamente un tipo de producto final. Usualmente las industrias están relacionadas en el sentido de que cada una de ellas debe usar algunos de los productos de las otras para poder funcionar. Ademas, una economia debe producir generalmente algunos productos terminados para la demanda final. El análisis de insumo-producto determina la producción de cada una de las industrias si cambia la demanda final, suponiendo que la estructura de la economia no varia.

Es conveniente tabular los datos para el análisis de insumo-producto, como se muestra en la tabla 8,

TABLA 8.1

En donde bij es el importe (en unidades monetarias) de los productos de la industria i empleados por la industria j,hi es la demanda final para los productos de la industria i y xi = es la producción total de la industria i.

La estructura de la economía se puede describir ahora mediante la matriz tecnológica.

A= (aij)

En donde aij = (bij/kj) = es el valor monetario de la producción de la industria i que la industria j debe adquirir para producir una unidad monetaria de sus propios productos. Obsérvese que esta definición de aij supone que la adquisición de productos intermedios de una industria son proporcionales al nivel de la producción de la industria. Ente supuesto de proporcionalidad constante entre insumos y productos es común en el análisis de insumo-producto.

La i-ésima industria debe producir

para i= 1,2,…, n

a fin de satisfacer las necesidades de todas las industrias. El vector demanda interindustrial puede plantearse entonces como AX, en donde

A= y X =

La producción de la economía debe ajustarse para satisfacer tanto las necesidades Inter-industriales como la demanda final. Si el vector demanda final es

H = hi ³ 0 i= 1,2 …, n

Esta condición se puede describir como

X= AX + H

Así;

[ I – A ] X = H

y

X = [ I – A ] -1 H

La matriz I – a se conoce como matriz de leontief.

Hay varios problemas matemáticos y prácticos relacionados con el análisis del insumo-producto. Por ejemplo, la matriz tecnológica debe ser tal que cada una de las xi no sea negativa; de lo contrario, la solución no tendrá significado económico. También hay problemas que conciernen a la clasificación de industrias y a la estabilidad de la matriz tecnológica.

Dado un conjunto de demandas finales positivas, considérese el problema de determinación de las condiciones en las cuales existe un conjunto único de niveles de producción positivos, compatible con el conjunto de demandas finales. En primer lugar, como [ I – A ] -1 debe existir = [ I – A ] debe ser diferente de cero. Y cada elemento de = [ I – A ] -1 debe ser no negativo, pues de lo contrario un incremento en la demanda final resultaría en un decremento en la producción en algún punto del proceso de producción. Se puede demostrar que, a fin de que los niveles positivos de producción bruta estén asociados a cualquier conjunto dado de demandas positivas, se requieren las siguientes condiciones.

1 > aij ³ 0 para toda i y toda j

½ I – A½ > 0

puesto que cualquier subconjunto de k industrias de las n consideradas debe ser capaz de satisfacer las demandas Inter-industriales con algún excedente para satisfacer las demandas externas a las k industrias, todos los menores principales del determinante de Leontief para las n industrias

½ I – A½ =

Deben ser positivos

Ejemplos

A

Considérense una economía hipotética muy sencilla de dos industrias, A y B representadas en la tabla 8.2

Tabla 8.2

En donde las cifras corresponden a millones de unidades monetarias.

Determinar el valor producción de tal economía si la demanda final cambia a 200 en el caso de A y a 100, en el caso de B.

A=

I – A =

[ I – A ] -1

NOTA: [ I – A ]

Como debe ser el caso,

X = [ I – A ] -1 H

Y si H = , entonces

X = [ I – A ] -1 H

Es decir, la industria A debe tener una producción de 1138 y la industria B debe tener una producción de 844, en donde los valores de producción están dados en millones de unidades monetarias de productos.

B.

Considérese una economía hipotética muy simple de tres industrias A, B y C, cuyas características están representadas en la tabla 8.3,

Tabla 8.3

y las cifras indican millones de unidades monetarias de productos.

Obtener el vector producción correspondiente a dicha economía si la demanda final cambia a:

(a) 50 para A, 10 para B y 100 para C.

(b) 100 para A, 20 para B y 60 para C.

(c) 80 para A, 100 para B y 120 para C.

A=

[ I – A ] =

[ I – A ] -1

NOTA: | I – A |

como debe ser el caso

(a) si

(b) si

(c) si

d) LA CONDICIÓN DE HAWKING-SIMON

Dada una economía ficticia con tres sectores productivos, cuya matriz de intercambios intersectoriales (matriz de transacciones) es:

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

2. Construir la tabla input/output completa para un vector de producción x=(120,150,200)t.
3. Sin calcularla, analizar si la matriz inversa de leontief es no negativa.
4. Hallar, sin calcular la matriz inversa de leontief, la producción total necesaria en cada sector para alcanzar un vector de demanda final d=(78,21,128)T.

 1º.- PLANTEAMIENTO INICIAL: usaremos en este ejercicio las ecuaciones del modelo input-output de Leontief, aunque no podamos calcular la matriz inversa.

 2º.- APARTADO A: a partir de los intercambios intersectoriales y el vector de producción (outputs totales), calcularemos tanto la demanda final como los inputs primarios, sin más que tener en cuenta que el modelo de Leontief establece que, para cada sector, los inputs totales coinciden con los outputs totales.

 Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

3º.- APARTADO B: para analizar la existencia de la matriz inversa de Leontief y si ésta es no negativa, usaremos la condición de Hawking-Simon, que dice que existe (I-A)-1³ 0 si y sólo si I-A cumple la condición de Hawking-Simon, esto es, si todos sus menores principales son positivos.

El primer paso debe ser calcular la matriz de coeficientes técnicos, para lo cual dividimos cada intercambio sectorial entre el input total correspondiente a su sector. Después calcularemos I-A y calcularemos sus menores.

 Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

 Por tanto, I-A cumple la condición de Hawking-Simon, por lo que sabemos que existe la matriz inversa de Leontief y es no negativa. Esto quiere decir que la economía ficticia dada por nuestra matriz de intercambios es productiva.

 4º.- APARTADO C: para hallar la producción sin calcular la inversa de Leontief, plantearemos las ecuaciones del modelo y resolveremos el sistema de ecuaciones correspondiente:

 Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Se despejan las demás incógnitas, quedando finalmente el vector de producción como:

 Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

e) PRODUCTOS Y PRECIOS TEORIA Y APLICACIONES

PRODUCTO

DEFINICIÓN:

El producto es el bien o servicio a ofrecer, surge de la utilización de materias primas (materiales o intelectuales) para formar un útil, que puede generar un consumo que pueda ser comprado o que tenga un valor para quien lo disfrute.

à Nos referimos tanto a los bienes tangibles como a servicios intangibles.

à Es un haz de atributos percibidos físicos químicos y / o tangibles que tienen el potencial de satisfacer las necesidades de los clientes presentes y potenciales.

El producto tiene un significado para el que lo vende, para los clientes meta y para la sociedad.

La organización de los productos ven a un producto desde la perspectiva de la organización: como una manifestación de los recursos utilizados para producirlo. Las organizaciones de la mercadotecnia ven a un producto desde la perspectiva del cliente meta. Como perciben, sus clientes meta el producto es un mayor interés; no los recursos utilizados para lograr el producto. Estas organizaciones descubren que el producto es un vehículo principal de la organizaciones para entregar las satisfacciones del cliente y que no hay necesidad de distribuir, promover y poner precio a un producto que no ofrezca beneficios al cliente, porque el producto no se venderla.

La clave para entender el concepto es verlo desde la perspectiva del cliente meta: como un haz de satisfacciones.

La opinión de la sociedad hacia el producto a veces choca con la del cliente meta o del mercado tecnólogo, o con ambas. Por ejemplo: el equipo de seguridad que se requiere en los autos es a veces criticado por clientes y vendedores.

Las consideraciones sociales se están volviendo mas importante en las decisiones del producto, en especial en las áreas de seguridad y empaque.

DISEÑO DEL PRODUCTO:

El primer paso en el diseño del producto es identificar el mercadeo meta y recopilar información acerca de sus características y de sus expectativas del producto.

Los beneficios que quieren los clientes potenciales son una consideración fundamental con el diseño del producto.

Por lo general los productos son funciones múltiples tienen un mercado mas amplio que los de una sola función. Pero si un comprador potencial cree que un producto es capaz de hacer demasiado funciones, puede sospechar que ninguna de ellas las hace bien. Un producto es un conjunto de satisfacciones debido a sus características: calidad, estilo, ejecución y materiales.

Cada uno influye en la imagen del producto. Mas calidad de la que espera el cliente meta puede hacer que el precio del producto este fuera de su alcance.

El estilo (color, aroma, tamaño, etc) es importante para productos desde papel sanitario hasta mobiliario para oficinas. Los diseñadores de productos esta poniendo cada vez mas énfasis al lado humano del diseño de sus productos: la ingeniera de los factores humanos, o ergonomía.

Los clientes también esperan un cierto nivel de ejecución del producto, en las décadas de 1950 y 1960 los fabricantes de autos participaron en una carrera de caballos de fuerza cuando se dieron cuenta de que la gente querían autos de ejecución superior.

Los materiales que se utilizan para elaborar un producto pueden ser muy importantes. Las decisiones en la selección del material pueden afectar en el atractivo de ventas de su producto y no deben tomarlos únicamente los gerentes de producción, escasez de materiales en algunas industrias y cuestiones concernientes a la seguridad y la salud pueden conducir al as empresas a buscar alternativas. También las consideraciones del costo pueden ser un factor.

El diseño del producto también debe incluir los beneficios que esperan los intermediarios. Aunque los clientes finales están en primer lugar, no deben pasarse por alto que los intermediarios.

Los científicos clasifican a las plantas y animales similares en grupos para estudiarlos. Los comerciantes clasifican bienes y servicios en grupos para desarrollar generalizaciones acerca de mezclas de mercadotecnia deseables para los distintos grupos. Por ejemplos, podemos dividir el producto en tres clases basados en la durabilidad.

2. Bienes no durables; se consume en uno o en uno muy limitado números de usos.
3. Bienes durables; un bien durable dura para muchos usos.
4. Servicios; los bienes tangibles, son actividades, beneficios o satisfacciones intangibles que se ofrecen a la venta debido a la creciente importancia de los servicios en nuestra economía, se decidió, dividir los productos (bienes tangibles y servicios intangibles) en dos grandes clases: de consumo e industriales.

Los productos de consumo se compran para satisfacer necesidades personales y domesticas. Los productos industriales se compran para utilizarse en la producción de otras productos de consumo o industriales para utilizarse en la producción de otros productos en consumo o industriales o para utilizarse en la conducción de las operaciones de una organización.

CLASIFICACIONES DE LOS PRODUCTOS DE CONSUMO

Existen muchas bases para clasificar los bienes de consumo, la mas usada es de comportamiento del comprador.

Este sistema de clasificaciones se basa en la diferencias del comportamiento de compra de la gente que adquiere los productos en st. Por lo tanto, cualquier producto puede clasificarse de manera diferente dependiendo del comportamiento del comprador. Este sistema obtiene resultados por el comportamiento de los consumidores, ya que su comportamiento es semejante para comprar un determinado producto. Existen cuatro clases de productos de consumo y son:

1. Productos de conveniencia
2. Productos de comparación
3. Productos de especialidad
4. Producto no solicitados

1. Productos de conveniencia: son todos aquellos atributos o servicio de bajo precio que compran los consumidores con un mínimo de esfuerzo de compra. Con el esfuerzo para conseguir estos productos es mínimo, los encontramos al alcance de muchos mercados.

Estos productos se subclasifican en la siguiente manera:

2. productos principales
3. productos por impulso
4. producto de urgencia

Dentro de los ejemplos de producto principales para muchos consumidores están el pan, la leche y el transporte por autobús o por tren subterráneo. Estos productos se adquieren regular y rutinariamente.

Las compras de los productos por impulso no se planean en absolutos. La exposición del producto incita a quererlo. El deseo de compra productos principales pueden forzarlo a ir de compras. El deseo de comprar productos por impulso es un resultado de su compra. Es por eso que los productos por impulso se localizan en donde se puede ver.

Las compras de productos de urgencia son un resultado de las necesidades urgentes y precisas. Un ejemplo de productos de urgencia son los servicios de ambulancia y primeros auxilios.

1. Los consumidores consideran que los productos de comparación heterogénea son diferentes o no regidos por la misma norma. Compran por lo mejor comparación de precios y calidad. El precio suele ser secundario al estilo y la calidad cuando son difíciles de hacer las comparaciones de precio. otros ejemplos de productos de comparación heterogéneo para muchos consumidores son las niñeras y enfermeras.

2. Producto de comparación: implican confrontaciones de precio y calidad. Los productos de comparación puede ser homogéneos o heterogéneos. Los consumidores consideran que los productos de comparación homogéneos son parecidos.

   Los compradores se desviaron de un camino para localizar y comprar estos productos de especialidad debido a su conocida calidad y otros beneficios.

   La mayoría de los servicios al consumidores que involucran un alto grado de experiencia están considerados como producto de especialidad y sus productos mediante frases publicitarias como " no acepte imitaciones", "exija lo verdadero y "vale la pena el viaje desde cualquier parte". Ellos crean lealtad en los consumidores cuando estos consideran que sus marcas son productos de especialidad.

3. Producto de especialidad: los bienes o servicios para las que el comprador tiene enormes convicciones, como la marca, el estilo o el tipo. Además un esfuerzo especial para comprarlos.
4. Producto no solicitado: son los productos que los compradores no saben que existen o que no quieren pensar en su compra. Existen dos tipos, los productos no solicitados comunes y los productos no solicitados nuevos. Estos son productos existentes que los consumidores no quieren pensar en comprarlos, aunque con el tiempo pueden adquirirlo.

Los productos que son totalmente nuevos y desconocidos a los consumidores son productos no solicitados nuevos

CLASIFICACIONES DE LOS PRODUCTOS INDUSTRIALES.

se puede clasificarse dentro de dos categorías, dependiendo del uso que se le den. la primera categoría, productos sobrantes, incluye aquellos que serán parte del producto para cuya elaboración se utilizaran.

1. Materia prima
2. Partes componentes
3. Materiales.

La segunda categoría, productos de apoyo incluye aquellos que se necesitaran para conducir las operaciones de la organización:

1. Instalaciones
2. Equipo accesorio
3. Suministros
4. Servicios comerciales

Materia prima: Los productos que solo se han sometido a un proceso para permitir su manejo conveniente y económico. Hay dos subclases que son productos del campo (como el tabaco, el trigo, y la soya) y los productos naturales (como los productos mineros, forestales y marinos).

La materia prima es un artículo de gastos porque su costo se paga en el año que se compra. Los procedimientos de compra dependen del suministro actual y anticipado del mercado, precio y porcentaje del costo total de producción del producto terminado que se debe a la materia prima.

Los problemas del suministro también conducen a menudo o que los usuarios busquen nuevos fuentes y materiales sustitutos.

La materia prima es a veces voluminosas, baja del valor y se encuentra en lugares muy alejados de donde se necesita.

Es por eso que el costo del transporte es muy importante en su esfuerzo por mantener estos costos bajos, algunas empresas tiene su propio equipo de transporte.

Partes y materiales componentes: Son los productos que ya están listos para su ensamblaje directo en el producto terminado, o bien, que requieren de solo un proceso posterior menor.

Los materiales componentes: Requieren de un proceso posterior antes de llegar a ser parte del producto terminado.

Las partes y materiales componentes se convierten en parte del producto terminado y son artículos de gastos.

Instalaciones: Son subclases de las instalaciones, son el terreno, los derechos e tierras, plantes y las edificaciones.

Las siguientes discusiones se enfoca en las consideraciones del producto en compañía de producto múltiple. Tales empresas venden mas de un producto mas satisfacer los deseos de sus clientes meta.

La mezcla de productos de una empresa incluye todos los productos que ofrece.

Una mezcla de producto tienen las dimensiones estructurales de extensión (o amplitud) y profundidad. La extensión se refiere al numero de las diferentes líneas de productos

La profundidad se refiere al numero de artículos de productos.

PRECIO

1 INTRODUCCIÓN

Precios, en Economía, valor de mercado de los bienes, medido en términos de lo que un comprador está dispuesto a dar para obtenerlos. Normalmente, los precios se expresan en función de una cantidad de dinero —de hecho, la principal razón por la que se utiliza el dinero reside en su utilidad para reflejar el valor de los precios—, pero en los sistemas de trueque los precios vienen dados por el valor de un bien en relación con otros bienes que, a su vez, tienen un determinado valor, por lo que todos los precios de todos los bienes se determinan mutuamente sin que intervenga el dinero. Los precios son el principal mecanismo de ajuste de la oferta y la demanda, ya que el precio de cualquier bien, en una economía de libre mercado, tiene que alcanzar el punto donde se equilibre la producción y el consumo: este precio de equilibrio refleja el punto donde concuerda lo que los productores pueden costear y lo que los consumidores están dispuestos a pagar. Por lo tanto, los precios determinarán qué y cuánto se produce, cómo se produce y quién puede comprarlo. Son un aspecto crucial en la ciencia económica, especialmente en microeconomía.

2 DETERMINACIÓN DE LOS PRECIOS MEDIANTE LA OFERTA Y DEMANDA

Tanto los factores de oferta como los de demanda determinan los precios de los bienes: los precios disminuirán si hay exceso de oferta y aumentarán si la demanda es excesiva, hasta que se alcance el equilibrio. Del lado de la oferta, los precios vienen dados por los costes de producción y distribución, que a su vez están determinados por la escasez de materia prima, la tecnología y las limitaciones de tipo organizativo: la ley de los rendimientos decrecientes, los costes laborales, etcétera. El productor determinará su estrategia de precios con el fin de maximizar sus beneficios, aunque también puede tener otros objetivos, como los contemplados en la teoría de la empresa. Sin embargo, la determinación de los precios también depende del tipo de mercado: en un monopolio o en un oligopolio los precios se pueden aumentar porque no hay competencia. En un cártel las empresas pueden fijar el precio si hay acuerdo entre ellas; la estrategia a largo plazo de una empresa puede requerir que se establezcan precios inferiores a los del mercado e incluso inferiores a los costes; la teoría de juegos puede influir en las decisiones de las empresas. En la práctica, son pocos los mercados perfectamente competitivos y son habitualmente los productores los que salen beneficiados.

La demanda es la suma de las decisiones independientes de los consumidores de un mercado que pretenden maximizar su utilidad. Este precepto asume, por supuesto, que los consumidores realizan elecciones racionales: éstas son precisamente las que se intentan modificar mediante la publicidad y el marketing. La información de los consumidores suele ser escasa, lo que rompe el modelo ideal. Los costes que deben pagar los productores para alterar el sentido de la demanda pueden afectar a los precios, al repercutir en ellos los costes de promoción del producto. Los consumidores decidirán comprar un producto en función de su precio, pero realmente lo que determina la demanda efectiva es la cantidad de bienes vendidos a un determinado precio y no el precio de venta, ya que las empresas preferirán crear un nuevo producto antes que dejar que el precio del producto conocido caiga hasta su nivel de equilibrio. Por otra parte, el que los precios sean bajos no tiene por qué ser un factor positivo: los bienes de calidad no se venderán con bajos precios porque los consumidores pensarán que son defectuosos o porque perderán su característica de exclusividad, que, de hecho, es la esencia de su utilidad. En muchos modelos de economías de libre mercado se considera que el precio al que se compra un bien se establece mediante una negociación, pero esto ocurre pocas veces en las modernas economías integradas, por lo que la relación entre precio y demanda no es tan directa como la que se deriva de la teoría económica.

3 CONTROL DE PRECIOS E INFLACIÓN

Los gobiernos siempre han querido influir en la determinación de los precios por varias razones. En las economías planificadas, los precios los fija el Estado, por lo que las fuerzas del mercado no influyen en absoluto en la determinación del precio. El fracaso de las economías planificadas modernas refleja la eficiencia de los precios como mecanismo de ajuste económico; sin embargo, suele ser habitual que los estados intervengan en el proceso de fijación de precios, aunque en menor grado. En algunos casos, esta intervención intentará elevar el nivel de precios, como en el caso de la Política Agraria Común de la Unión Europea (UE), mediante la cual los países elevan los precios de los productos agrícolas comprando los excedentes para proteger a los agricultores de la UE. En otros casos, se intervendrá el mercado para mantener los precios bajos, como en el de las concesiones públicas después de su privatización, limitándose los beneficios de la empresa de servicios públicos para evitar que exploten el monopolio efectivo del que disponen. Además, los gobiernos pueden querer subvencionar mediante subsidios determinadas empresas y mantener así sus precios a bajos niveles, o también pueden establecer aranceles sobre las importaciones, aumentando el precio de los bienes extranjeros. También se pueden congelar los precios durante una guerra para paliar los efectos económicos de la escasez.

El control de precios por parte del Estado suele ser parte de un conjunto de medidas de políticas de rentas y precios cuyo fin es controlar la inflación, que consiste en el persistente aumento del nivel de precios, lo que no implica un cambio en el valor de los bienes, sino más bien en el valor del dinero. Esto refleja el hecho de que el dinero es en sí mismo un bien con su propio precio, en función del valor de otros bienes, y por lo tanto su precio puede caer si su oferta es excesiva (argumento principal del monetarismo). Si la demanda es superior a la oferta, los precios deberían subir, pero si un Gobierno está manteniendo artificialmente los precios por debajo de su nivel de equilibrio, no habrá inflación a pesar del exceso de demanda, lo que acarreará escasez, racionamiento, la aparición del mercado negro y otras deficiencias típicas de las economías planificadas. Si la unidad monetaria de un país no tiene una demanda suficiente en los mercados de divisas, la inflación podrá aumentar puesto que el precio de esa unidad monetaria, en términos de las demás, caerá, lo que hará aumentar el precio de sus importaciones y disminuir el de sus bienes de exportación, con lo que caerá la actividad exportadora.

En economía existen muchas ideas y sistemas, como la doctrina económica marxista, que consideran que existe un precio justo ideal, determinado por una ley natural a la que se llega por mecanismos distintos a los de la oferta y la demanda. En la práctica, el mecanismo de los precios ha dado excelentes resultados cuando se ha dejado que actúe libremente, pero sus efectos han sido mediocres cuando se ha intentado variar los precios en función de intereses altruistas o egoístas.

ESTRATEGIAS DE FIJACIÓN DE PRECIOS

1. DIFERENCIACIÓN POR COSTOS: La rentabilidad a largo plazo de una empresa depende en gran medida de una política de precios adecuada. Si el precio es demasiado bajo, en comparación con el costo, el volumen de ventas puede ser grande, pero los beneficios inapreciables o nulos. Uno de los factores de éxito y perdurabilidad de una empresa radica en la eficacia de la fijación de los precios. Un producto constituye una base económica viable para edificar y sostener una empresa en tanto y en cuanto dicho producto o servicio encuentre mercados y sea fuente de rentabilidad a un determinado nivel de precios. Estratégicamente, la función de precio es la de promover un acuerdo de retorno sobre la inversión.
2. COMPETENCIA: El precio del producto viene, muchas veces, impuesto por la situación de la competencia, pues muchas empresas fabrican productos prácticamente iguales. En estos casos, se forma un precio en el mercado que no permite modificaciones. La fijación de un precio superior conduciría a los consumidores hacia los productos de la competidores. Las empresas del mismo sector es frecuente que realicen acuerdos de precios entre ellos para evitar entrar en una guerra de precios, porque es perjudicial para ambas empresas en el largo plazo, no es una estrategia con resultados muy claros. Cuando una empresa se encuentra en situación de Líder, el resto de las empresas del sector de actividad se ven obligadas a fijar sus precios casi simultáneamente a los del líder. Por lo tanto el grado de diferenciación de un producto respecto de la competencia, determina en gran manera las limitaciones a que está sujeta una empresa para fijar sus precios. Esta diferenciación puede lograrse de distintas maneras: por diseño del producto, por su apariencia, por su imagen de marca, por la reputación de la empresa o por su disponibilidad en el mercado, siempre que la misma sea apreciada por los consumidores.

   Podemos diferenciar: precio Psicológico (equilibrio entre calidad-precio), precio máximo que está dispuesto a pagar y el precio mínimo al que no compraría el producto porque pensaría que no es de buena calidad.

   El conocimiento de los precios por los consumidores. – Hay muy pocos productos cuyo precio es conocido con exactitud por los consumidores. – No hay diferencia en el conocimiento del precio en función del sexo, edad o nivel de venta. El precio es un elemento de información con mucho peso en el proceso de decisión de compra. – Si el consumidor carece de otras informaciones relativas al producto, el precio será el factor predominante. – Cuando la información referente a otras características del producto aumenta, la importancia del precio disminuye. La relación precio-calidad: se han hecho diferentes experiencias realizadas con dos lotes iguales de naranjas poniéndoles diferentes precios. Las más caras se venden mejor. A un mayor precio, se asocia la idea de mejor calidad. La imagen de marca juega un papel esencial.

   La empresa debe mostrarse sensible a las variaciones de los hábitos de compra y a la aceptación por parte de los clientes por sus precios. Debe esforzarse por no fijar precios exagerados, ya que de esta manera puede limitar el número de unidades vendidas. Pero al mismo tiempo se debe tener en cuenta los costos y el margen de utilidad.

3. CONSUMIDOR: Es importante no olvidarnos de un factor esencial, lo que el cliente está dispuesto a pagar por el producto "factor de percepción".
4. PROPUESTA SELLADA (Kotler) Licitaciones.

ESTRATEGIA DE FIJACIÓN D PRECIOS POR MEZCLA DE PRODUCTOS

• FIJACIÓN DE PRECIOS POR LÍNEA DE PRODUCTOS

Las empresas normalmente desarrollan líneas de productos e introducen niveles de precios. Diferencias de calidad que justifiquen las diferencias de precios de un mismo producto. Eje Fiat 147 de mayor calidad y precio y Fiat Vivace modelo económico.

• FIJACIÓN DE PRECIOS POR PRODUCTOS OPCIONALES

Muchas empresas ofrecen productos, características y servicios opcionales junto con el producto principal.

Eje. Diario Clarín, opcional enciclopedias. Otro ejemplo son los autos que se pueden optar por múltiples accesorios como levanta vidrios eléctricos, llantas, aire acondicionado, mayor garantía, etc.

• FIJACIÓN DE PRECIOS POR PRODUCTOS CAUTIVOS

Algunos productos requieren el uso de productos auxiliares o cautivos. Ejemplo las impresoras se comercializan a bajo precio y añaden sobreprecios a los cartuchos. Otro ejemplo Maquina de afeitar Mach 3 y los repuestos a altos precios.

• FIJACIÓN DE PRECIOS EN DOS PARTES

Las empresas de servicios a menudo practican la fijación de precios en dos partes, que consiste en una cuota fija más una cuota variable por consumo. Ejemplo: las empresas de telefonía.

• FIJACIÓN DE PRECIOS DE SUBPRODUCTOS

La producción de ciertos bienes a menudo genera subproductos.

• FIJACIÓN DE PRECIOS POR CONJUNTO DE PRODUCTO

Quienes venden a menudo agrupan sus productos y características y les ponen precio fijo. Eje McDonald’s ofrece un Combo a un precio menor de lo que costaría comprar los productos individualmente.

ESTRATEGIA DE AJUSTE DE PRECIO

• FIJACIÓN GEOGRÁFICA (efectivo, comercio a cambio, trueque)

Implica que la empresa decida la fijación de sus precios en cuanto a poner sus productos en los diferentes lugares y países. Política de precios geográficos: el precio debe estar determinado por la decisión de incluir o no los gastos de flete, otra cuestión es cómo recibir el pago.

• DESCUENTOS Y BONIFICACIONES

Pronto Pago: Descuento en efectivo, es una reducción de precios para los que pagan sus facturas oportunamente.

Cantidad: por grandes volúmenes. Eje $10 x U en menos de 100 unidades y $ 9 x U en más de 100 unidades.

Temporada: Un descuento por temporada es una relación de precio que se hace a los compradores que adquieren Eje rebajas en hoteles en temporada baja de turismo.

Descuentos funcionales o comerciales: disminuciones en el precio a miembros del canal comercial por realizar distintas funciones de venta, almacenaje o contabilidad.

Complementos: pagos extras, programas especiales para revendedores.

Complementos a cambio: Descuentos de precio a quienes entregan algo a cambio. Eje autos plan canje.

Complementos promociónales: son pagos o reducciones de precios que recompensan a los comerciantes que participan en los programas de publicidad y apoyo de ventas.

• FIJACIÓN DISCRIMINATIVA

Por segmento de Clientes: se cobran diferentes precios por el mismo producto o servicio a deferentes grupos de clientes. Por ejemplo es común que los museos cobren una cuota de admisión màs baja a estudiantes o jubilados. Damas gratis en algunos lugares bailables.

Por la forma de producto: Diferentes versiones del producto llevan diferente precio pero no en proporción a sus respectivos costos.

Por la imagen: Algunas empresas ponen al mismo producto precios en dos niveles distintos con base en diferencias de imagen.

Por el Lugar: El mismo producto tiene diferente precio en diferentes lugares aunque el costo de ofrecerlo en ambos lugares sea el mismo Eje. Platea-Popular, fila 1 a 10 en teatros, asientos en aviones en primera categoría o segunda.

Por el tiempo: Los precios varían por temporada, día u hora. Ejemplo los miércoles el cine es más barato, el teléfono tiene diferentes tarifas en hora pico o sábado, domingo o feriados.

• FIJACIÓN PSICOLÓGICA

Los precios psicológicos tienen la finalidad de estimular las compras que se basan mas bien en reacciones emotivas que en reacciones racionales. La teoría de fijación de precios impares supone que se venderán más unidades de un producto si su precio se fija en 99.90 que en 100. Un segundo enfoque se basa en la atracción misma de los números. Se piensa que ciertos números tienen más atractivos físicos para la gente. En esta forma el número ocho tan simétrico será más atrayente que un 7 o un 4 que son números con puntas y bordes muy marcados. Fijación de precios según la costumbre, es el caso en el cual los precios de algunos productos se fijan de acuerdo a la tradición.

• FIJACIÓN PROMOCIONAL para estimular las compras tempranas, a corto plazo.

Fijación de precios carnada con pérdidas: Supermercados para estimular el tráfico.

Fijación de precio por evento especial:

Devoluciones en efectivo

Financiamiento con intereses bajos

Plazos más largos para pagar

Garantías y contrato de servicio.

BIBLIOGRAFÍA:

Matemáticas para la administración y economía, WEBER JEAN E.

http://www.luda.uam.mx

http://www.matebrunca.com

https://www.edu.red

http://www.gestiopolis.com/

http://www.ejerciciosresueltos.com

Omar Neira