2 2 PRUEBA JI CUADRADO CON EXCEL, WINSTAS Y GEOGEBRA La finalidad de una prueba de k muestras es evaluar la aseveración que establece que todas las k muestras independientes provienen de poblaciones que presentan la misma proporción de algún elemento. De acuerdo con esto, las hipótesis nula y alternativa son ??0 :Todas las proporciones de la población son iguales. ??1 : No todas las proporciones de la población son iguales. La estimación combinada de la proporción muestral “p” se calcula de la siguiente manera: ?? = ??1 + ??2 + ??3 + ? ???? ??1 + ??2 + ??3 + ? ???? En una muestra se puede dar un conjunto de sucesos, los cuales ocurren con frecuencias observadas “o” (las que se observa directamente) y frecuencias esperadas o teóricas “e” (las que se calculan de acuerdo a las leyes de probabilidad). La frecuencia esperada “e” se calcula así: ?? = ?? · ???????????? ?? = proporción muestral ???????????? = frecuencia total observada El estadístico de prueba es ?????????????? = (??1 – ??1 )2 (??2 – ??2 )2 (??3 – ??3 )2 + + ??1 ??2 ??3 +? (???? – ???? )2 ???? ?????????????? =? (???? – ???? )2 ???? Donde: ?? es la letra griega ji ??2 se lee ji cuadrado Por lo tanto el valor estadístico de prueba para este caso es la prueba ji cuadrado o conocida también como chi cuadrado Como sucede con las distribuciones t y F, la distribución ji cuadrado tiene una forma que depende del número de grados de libertad asociados a un determinado problema. Para obtener un valor crítico (valor que deja un determinado porcentaje de área en la cola) a partir de una tabla de ji cuadrado, se debe seleccionar un nivel de significación y determinar los grados de libertad para el problema que se esté resolviendo. Los grados de libertad son una función del número de casillas en una tabla de 2 · ??. Es decir, los grados de libertad reflejan el tamaño de la tabla. Los grados de libertad de la columna son el número de filas (categorías) menos 1, o bien, ?? – 1 .Los grados de libertad de cada fila es igual al número de columnas (muestras) menos 1, o bien, ?? – 1. El efecto neto es que el número de grados de libertad para la tabla es el producto de (número de filas -1) por (número de columnas -1), o bien, (?? – 1)(?? – 1).Por lo tanto con 2 filas y 4 columnas, los grados de libertad son (2 – 1)(4 – 1) = 3
2 2 2 2 2 La prueba ji cuadrado requiere la comparación del ?????????????? con el ???????????? . Si el valor estadístico de prueba es menor que el valor tabular, la hipótesis nula es aceptada, caso contrario, H0 es rechazada. Nota: Un valor estadístico de ?????????????? menor que el valor crítico ???????????? o igual a él se considera como prueba de la variación casual en donde H0 es aceptada. Ejemplos ilustrativos: 1) El siguiente valor 4 · 5 representa el tamaño de una tabla ?? · ??. Determine el número de grados de libertad y obtenga el valores crítico en el niveles 0,05 se significación. Solución: Los grados de libertad se calculan aplicando la fórmula: ???????????? ???? ???????????????? = (?? – 1)(?? – 1) ???????????? ???? ???????????????? = (4 – 1)(5 – 1) = 12 TABLA Nº 6 DISTRIBUCIÓN ???? Ejemplo: Para 10 grados de libertad ??(???? > ????, ????) = ??, ???? = ????% 0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,750 0,500 0,250 0,100 0,050 0,025 0,010 0,005 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0,000 0,010 0,072 0,207 0,412 0,676 0,989 1,344 1,735 2,156 2,603 3,074 0,000 0,020 0,115 0,297 0,554 0,872 1,239 1,646 2,088 2,558 3,053 3,571 0,001 0,051 0,216 0,484 0,831 1,237 1,690 2,180 2,700 3,247 3,816 4,404 0,004 0,103 0,352 0,711 1,145 1,635 2,167 2,733 3,325 3,940 4,575 5,226 0,016 0,211 0,584 1,064 1,610 2,204 2,833 3,490 4,168 4,865 5,578 6,304 0,102 0,575 1,213 1,923 2,675 3,455 4,255 5,071 5,899 6,737 7,584 8,438 0,455 1,386 2,366 3,357 4,351 5,348 6,346 7,344 8,343 9,342 10,341 11,340 1,323 2,773 4,108 5,385 6,626 7,841 9,037 10,219 11,389 12,549 13,701 14,845 2,706 4,605 6,251 7,779 9,236 10,645 12,017 13,362 14,684 15,987 17,275 18,549 3,841 5,991 7,815 9,488 11,070 12,592 14,067 15,507 16,919 18,307 19,675 21,026 5,024 7,378 9,348 11,143 12,833 14,449 16,013 17,535 19,023 20,483 21,920 23,337 6,635 9,210 11,345 13,277 15,086 16,812 18,475 20,090 21,666 23,209 24,725 26,217 7,879 10,597 12,838 14,860 16,750 18,548 20,278 21,955 23,589 25,188 26,757 28,300 Con lectura en la tabla con 12 grados de libertad y 0,05 de área se obtiene ???????????? = 21,026
2 2 2 2 2 2 Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura: 2) La siguiente tabla muestra las frecuencias observadas y las frecuencias esperadas al lanzar un dado 60 veces. Contrastar la hipótesis de que el dado es bueno, con un nivel de significación de 0,01. Cara del dado 1 2 3 4 5 6 Frecuencia observada 6 8 9 15 14 8 Frecuencia esperada 10 10 10 10 10 10 Solución: ?? = 2 ?? = 6 ?? = 0,01 Las hipótesis son: ??0 :Todas las proporciones de la población son iguales. ??1 : No todas las proporciones de la población son iguales. Los grados de libertad se calculan aplicando la fórmula: ???????????? ???? ???????????????? = (2 – 1)(6 – 1) ???????????? ???? ???????????????? = 5 Con lectura en la tabla con 5 grados de libertad y 0,01 de área se obtiene ???????????? = 15,086 Calculando ?????????????? se obtiene: ?????????????? = ? (???? – ???? )2 ???? ?????????????? = (6 – 10)2 (8 – 10)2 (9 – 10)2 (15 – 10)2 (14 – 10)2 (8 – 10)2 + + + + + 10 10 10 10 10 10 ?????????????? = 1,6 + 0,4 + 0,1 + 2,5 + 1,6 + 0,4 ?????????????? = 6,6
Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura: Los cálculos en GeoGebra se muestran en la siguiente figura: El gráfico elaborado con GeoGebra se muestra a continuación:
2 2 El gráfico elaborado en Winstats y Paint se muestra a continuación: Decisión: H0 es aceptada, ya que ?????????????? (6,6) es menor que ???????????? (15,086), por lo tanto, se concluye que todas las proporciones de la población son iguales, es decir, el dado es bueno.