– 13 – X=2 y X=-2 Estas raíces las puede obtener aplicando la formula general de segundo grado o el método de factorización que le sea más cómodo.
Esto nos indica que la gráfica presentará dos asíntotas verticales, una en X = 2 y otra en X=-2 ASÍNTOTA OBLICUA :
Si en una función el grado del numerador es una unidad mayor que el denominador, la función tiene asíntota oblicua.
Como en este caso ambos grados son iguales no hay asíntota oblicua.
Segundo : Determinar si existen cortes con el eje “X” (Esto se obtiene igualando el numerador a cero).
COMO GRAFICAR UNA FUNCION RACIONAL Como ya pudimos notar al principio de este ejercicio, el polinomio que conforma el numerador no tiene raíces reales, por lo tanto LA FUNCIÓN NO “CORTA” AL EJE X. Tercero : Determinar si existen cortes con el eje “Y” (Esto se obtiene haciendo “X=0” en la función). En otras palabras calculando f(0). ; ; Esto nos indica que la función corta al eje Y en el punto (0 , – 0.5)
Cuarto : Calcular tres o cuatro puntos de la función en cada uno de los intervalos en que quedó dividido el sistema de coordenadas una vez graficadas las asíntotas verticales.
Notamos que el eje X quedó dividido en tres intervalos, uno a la izquierda de “-2”, uno entre “-2” y “2”, y otro a la derecha de “2”. Estudiando el intervalo a la izquierda de “ -2” :
Para X = -6
;
Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (-6 , 2.31)
Ing.JoséLuisAlbornozSalazar
COMO GRAFICAR UNA FUNCION RACIONAL Ing.JoséLuisAlbornozSalazar – 14 – Para X = -5
;
Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (-5 , 2.47)
Para X = -4
;
Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (-4 , 2.83)
Para X = -3
;
Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (-3 , 4)
Estudiando el intervalo entre “ -2” y “2” :
En este intervalo sabemos que existe el corte con el eje “Y”. Fue calculado en el paso 3 [ la función corta al eje Y en el punto (0 , – 0.5) ]
Luego es necesario estudiar un punto antes y otro después del corte con el eje Y. Esto nos permite visualizar fácilmente si la concavidad es positiva o negativa.
Para X = -1
;
Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (-1 , -1.33)
Para X = 1
; Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (1 , -1.33)
Estudiando el intervalo a la derecha de “2” :
Para X = 3
;
Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (3 , 4)
Para X = 4
;
Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (4 , 2.83)
Para X = 5
;
Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (5 , 2.47)
Para X = 6
;
Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (6 , 2.31)
Con esta información podemos graficar la función de una manera bastante precisa.
Se recomienda que se vaya graficando intervalo por intervalo y tomando mucho en cuenta la definición de asíntota y los cortes con el eje horizontal y el eje vertical cuando los haya.
COMO GRAFICAR UNA FUNCION RACIONAL Ing.JoséLuisAlbornozSalazar – 15 – Ejercicio 6 : Graficar Cuando observe que una función racional presenta un polinomio igual o mayor de segundo grado (en el numerador o en el denominador) es recomendable efectuar su factorización. Esto nos permitirá visualizar si existen raíces comunes en el numerador y denominador. Si existe alguna raíz o raíces comunes esto nos indicará que existe uno o varios puntos donde la función posee una indeterminación del tipo “cero entre cero” . Esta raíz representará la presencia de un “hueco” y no de asíntotas. En la función que queremos graficar observamos que el numerador es un polinomio de segundo grado. Al tratar de factorizar el numerador notaremos que es un polinomio “NO FACTORIZABLE” (al aplicar la formula general de segundo grado o resolvente notaremos que dentro de la raíz cuadrada se presentará un número negativo y éstos generan una raíz imaginaria).
Esto nos indica que no existen “huecos” en la función ni cortes con el eje X.
Ahora procedo de acuerdo a lo indicado en los ejercicios 1 y 2 de esta guía.
Primero : Identificar y graficar en “líneas punteadas” las posibles asíntotas que pueda tener la función.
ASÍNTOTA HORIZONTAL : Para saber si una función racional tiene asíntota horizontal solo se comparan los grados del numerador y denominador.
Si en la función
COMO GRAFICAR UNA FUNCION RACIONAL Ing.JoséLuisAlbornozSalazar – 16 – 1) n > m
2) n = m
3) n < m f(x) NO posee asíntota horizontal
f(x) SI posee asíntota horizontal y es la recta
f(x) SI posee asíntota horizontal y es el eje X. f(x) NO posee asíntota Esta función cumple con el caso 2, n > m horizontal ASÍNTOTA VERTICAL :
Para encontrar una asíntota vertical se iguala el denominador a cero. Las raíces del polinomio que conforma el denominador de la función representarán los valores de X por donde pasa la asíntota vertical (Perpendicular al eje X). X – 2=0 ; X=2 “X = 2” pasará una asíntota vertical Esto nos indica que por (perpendicular al eje X) : ASÍNTOTA OBLICUA :
Si en una función el grado del numerador es una unidad mayor que el denominador, la función tiene asíntota oblicua.
Como en este caso la afirmación anterior se cumple, se procede a calcular la ecuación de la asíntota oblicua.
Para calcular la ecuación de la asíntota oblicua se divide el numerador por el denominador y el cociente obtenido representará la ecuación buscada (se recomienda “repasar” DIVISION DE POLINOMIOS).
En este caso en particular : Cociente Resto El cociente obtenido (X – 3) es la ecuación de una recta y su gráfica representará la asíntota oblicua de la función estudiada.
Segundo : Determinar si existen cortes con el eje “X” (Esto se obtiene igualando el numerador a cero). Como ya pudimos notar al principio de este ejercicio, el polinomio que conforma el numerador no tiene raíces reales, por lo tanto LA FUNCIÓN NO “CORTA” AL EJE X.
Tercero : Determinar si existen cortes con el eje “Y” (Esto se obtiene haciendo “X=0” en la función). En otras palabras calculando f(0). ; Esto nos indica que la función corta al eje Y en el punto (0 , – 5.5)
Cuarto : Calcular tres o cuatro puntos de la función en cada uno de los intervalos en que quedó dividido el sistema de coordenadas una vez graficadas las asíntotas verticales.
Notamos que el eje X quedó dividido en dos intervalos, uno a la izquierda y otro a la derecha de la asíntota vertical en X = 2.
Con esta información podemos graficar la función de una manera bastante precisa. Se recomienda que se vaya graficando intervalo por intervalo y tomando mucho en cuenta la definición de asíntota y los cortes con el eje horizontal y el eje vertical cuando los haya.
COMO GRAFICAR UNA FUNCION RACIONAL Ing.JoséLuisAlbornozSalazar – 17 – Ejercicio 7 : Graficar la función Ejercicio 8 : Graficar la función Este ejercicio ha “asustado” a muchos de los estudiantes de bachillerato y de la universidad. Al ver que el numerador es un polinomio de tercer grado se imaginan que la gráfica resultará muy difícil.
Vean lo fácil que es graficar esta función :
Factorizando el numerador y denominador tendremos :
;
;
Lo que nos indica que la función a graficar será “Y = X” pero presentando “huecos” cuando X+2=0 y cuando X+1=0 (X=-2 y X=-1) Asíntota oblicua f(x) = X – 3
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