Cuarto: Se aplica la segunda ley de Newton en forma de componentes rectangulares. ?Fx = max y = may ?F Quinto: Se descomponen todas las fuerzas en sus componentes rectangulares. Debido al sistema de referencia elegido, la normal N y la tensión T, están sobre los ejes. La única fuerza que se descompone en este problema, es el peso. Sus componentes rectangulares son: wx = mgsen? wy = mgcos? N T mg = w x+ ? ? El ángulo de inclinación que forma el peso con respecto al eje vertical es ? Leyes de Newton
0 horizontal, es sostenido mediante una cuerda, como se muestra en la figura. Determine la tensión de la cuerda y la magnitud de la fuerza normal (perpendicular al plano inclinado).
m
?
Primero: Se identifican todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo T tensión de la cuerda w peso del cuerpo N normal Segundo: Se realiza el diagrama de cuerpo libre o aislado, donde se colocan todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en estudio (bloque).
N T
w
Tercero: Elegir un sistema de referencia (de preferencia un eje perpendicular y otro paralelo al plano). Considerar el eje x positivo en la dirección (o posible dirección) de movimiento del cuerpo. y+
s De esta forma, las fuerzas o componentes de fuerzas que se encuentran sobre le eje de las x's Fx son: la componente del peso wx y la tensión de la cuerda T, las cuales se sustituyen por la ?Fx = max Quedando: wx -T = max Obsérvese que wx es positivo y que T es negativo, ya que apuntan en tales direcciones. Sustituyendo el valor de wx mgsen? -T = max En este caso, el cuerpo está en reposo, por lo que no hay cambios de velocidad, ó lo que es lo mismo, no existe aceleración (ax = 0 ). Sustituyendo: mgsen? -T = 0 Resolviendo para la tensión: T = mgsen? Sustituyendo los valores: )sen300 m s2 T =10kg(9.81 T = 49.05Nt La fuerza normal se determina a partir de la sumatoria de fuerzas en el eje de las y's. ?Fy = may Considerando también que no hay movimiento en el eje vertical ay = 0 N – wy = 0 Despejando a la normal y sustituyendo la componente vertical del peso: N = mgcos? Sustituyendo los valores )cos300 m 2 N =10kg(9.81 N = 94.82Nt únicamente la componente en el eje x, siendo ésta de magnitud: mg sen . Para determinar la aceleración resolvamos analíticamente, aplicando la segunda ley de Newton. 2. Del problema anterior, suponga que la cuerda se rompe. Calcule la aceleración del bloque cuando ésta se desliza sobre el plano inclinado. y+
N
? mg = W x+
Al desaparecer la tensión de la cuerda, el bloque inicia su movimiento, a medida que transcurre el tiempo, su velocidad va incrementándose (no hay rozamiento), existiendo en consecuencia una aceleración. Las fuerzas que actúan sobre el bloque son la Normal y el Peso. Si sumáramos las dos fuerzas, encontraríamos una fuerza Neta o Resultante que estará sobre el eje de las x's y que es la que hace que el cuerpo se acelere hacia abajo sobre el plano. Analizando el problema con mayor detenimiento, podemos descomponer al peso en sus componentes rectangulares, y como el cuerpo no se mueve sobre el eje de las y's, deducimos que la fuerza Normal es de igual magnitud que la componente del Peso sobre dicho eje, quedándonos
= max ?Fx Wx = max mgsen? = max mgsen? m = gsen? ax = Si analizamos las figuras antes de resolver el problema analíticamente, observaremos que existe una gran similitud entre ellos, lo único que está cambiando son los ángulos. Con esta observación podemos resolver un solo problema (el que parece más complicado: Fig. 3) y a partir del análisis del resultado, podemos inferir los otros. Procedamos a ello. Se deben de hacer tantos diagramas de cuerpo libre, como cuerpos en estudio tengamos. Descomponer todas las fuerzas en sus componentes rectangulares y aplicar la segunda ley de Newton a cada uno de los diagramas de cuerpo libre. Cuando no existe rozamiento, no es necesario trabajar con la sumatoria de fuerzas en el eje de las y's, a menos que se pida la magnitud de la fuerza Normal o la componente del peso en ese eje. Haciendo suma de fuerzas en el eje de las x's ?Fx = m1a1x ?Fx = m2a2x T1 -W1x = m1a1x W2x -T2 = m2a2x a ß Para el bloque m2 Para el bloque m1 y+ y+ x+ Mov. de m x+ 1 Mov. de m2 en el eje de las x's, positivo hacia abajo N1 T2 T1 W1 N2 W2 600 300 m1 m2 600 300 m2 3. De las siguientes figuras encuentre la aceleración de las masas y las tensiones de las cuerdas. m1 m2 30 0 m1 m2 m2 m1 Figura 1 Figura 2 Figura 3 m1 Figura 4
a = ? ? 2 ?m (1) -m1(0)? ?g = ? 2 ?g 30 ? y = 90 { 90 ? y = 90 { T -m1gsena = m1a1x m2gsenß -T2 = m2a2x Como es la misma cuerda y mientras no se estire ni se afloje, la tensión en cualquier punto es la misma por lo que: T1 = T2 Consecuentemente, mientras un cuerpo desliza hacia arriba, el otro desliza hacia abajo, experimentando ambos los mismos cambios de velocidad, es decir, que tienen la misma aceleración: a1x = a2x Con esto, las dos ecuaciones anteriores se convierten en: T -m1gsena = m1a m2gsenß -T2 = m2a Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas ( T y a ), que se resuelve por medio de los métodos conocidos ( suma y resta; sustitución; igualación o determinantes). Usando el método de sustitución: Despejamos T de la primera ecuación: T = m1a + m1gsena y la sustituimos en la segunda: m2gsenß -(m1a+m1gsena) = m2a Resolviendo: m2gsenß -m1a-m1gsena) = m2a m2gsenß -m1gsena = m2a+m1a m2gsenß -m1gsena = (m2 +m1)a a = m1 + m2 ?m senß -m1sena ? ? m1 +m2 ? Para calcular la tensión, únicamente sustituimos el valor de la aceleración en cualquiera de las dos ecuaciones lineales. ?m senß -m1sena ? ? m1 + m2 ? Analizando el resultado de la aceleración, podemos tener los siguientes casos: 0 0 Correspondiendo dichos ángulos al primer caso, es decir, a la figura 1. Por lo tanto, la aceleración de los bloques para esa figura es: ? ? ? m1 + m2 ? ? m sen900 -m1sen00 ? m1 + m2 m2g a = m1 + m2 Para la Figura 2 tenemos que: 0 0 ; sen =1 ?m (1)-m1sena ? ?m -m1sena ? ? m1 + m2 ? ? m1 + m2 ? Para la Figura 4 tenemos que: 0 0 ; sen ? ??? sen =1
Nota: Obsérvese que los ejes positivos fueron tomados en la dirección de movimiento propuesta. Aplicando la segunda ley de Newton en el eje vertical a ambos diagramas: ?Fy = m1a1y ?Fy = m2a2y T -m1g = m1a1y m2g -T = m2a2y donde a1y = a2y = a obteniendo dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: m2 m1 ?m (1)-m1(1)? ? m -m1 ? ? m1 + m2 ? ? m1 + m2 ? Los resultados obtenidos para la aceleración también pueden ser analizados, así por ejemplo, en el último caso (Fig. 4): v Si m2 > m1 tenemos que la aceleración de los cuerpos es positiva ( a > 0 ) y los cuerpos se mueven de la siguiente forma: m1 hacia arriba m2 hacia abajo v Si m2 < m1 tenemos que la aceleración de los cuerpos es negativa ( a < 0 ) y los cuerpos se mueven de la siguiente forma: m1 hacia abajo m2 hacia arriba v Si m2 = m1 tenemos que la aceleración de los cuerpos es nula ( a = 0 ) y los cuerpos permanecen en reposo. v Si cualquiera de los cuerpos es mucho mayor ( >>> ) que el otro, por ejemplo m2 >>> m1, entonces: m2 -m1 ? m2 y m2 +m1 ? m2 y la aceleración es positiva e igual al valor de la magnitud de la gravedad ( g ). v En el otro caso, cuando: m2