Los antiguos Egipcios dependían exclusivamente de las aguas del río Nilo para efectuar sus trabajos agrícolas. El Nilo se desbordaba año con año, inundando grandes extensiones de tierra, la cual quedaba así apta para los cultivos. En las riveras del río se median y se distribuían las distintas parcelas para ser asignadas a los agricultores.
Este proceso debía repetirse año con año, pues cada inundación borraba las medidas del año anterior.
Así poco a poco, se fue perfeccionando la técnica de parcelas y nació la Geometría, que etimológicamente significa medición de tierras. Los Egipcios pues crearon la Geometría y la desarrollaron a tal grado que aun hoy tenemos como mudos testigos de ese desarrollo a las grandiosas pirámides de Egipto, cuya antigüedad supera los 5,000 años.
Cuando dos rectas se encuentran y forman cuatro religiones llamadas ángulos. Cada ángulo esta limitado por dos lados y un vértice.
Es la abertura entre dos lados, los cuales tienen un punto común llamado vértice.
El lado desde el cual se empieza a medir el ángulo se llama Codo Inicial, y aquel donde se termina se llama Lado Terminal.
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Tipos de Ángulos
Angulo Convexo: Se llama ángulo convexo R N M a la intersección del semiplano de borde NM, que contiene el punto R, y el semiplano de borde NR, que contiene el punto N.
Angulo Cóncavo: Es el ángulo que se obtiene si consideramos la unión de los semiplanos anteriores.
Ángulos Consecutivos: Son los pares de ángulos que tienen un lado común y ningún otro punto mas.
Ángulo Llano: Cuando los lados de un ángulo son dos semirrectas de una misma recta, el ángulo se llama llano.
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Ángulos Rectos: Sean dos semirrectas de origen de un origen común O y supongámoslas prolongadas hasta formar dos rectas, a y b, que se cortan en O y que dividen al plano en 4 regiones a, b, c y d, cada una de ellas correspondiente a un ángulo. Cuando esos cuatro ángulos son iguales, se dice que cada uno de ellos es un ángulo recto y que sus lados son perpendiculares.
Angulos Oblicuos: Las rectas que se cortan formando ángulos desiguales se llaman oblicuas. A estos ángulos que no son rectos se les llaman oblicuos.
- Agudos: Si son menores que un recto.
- Obtusos: Si son mayores que un recto.
MEDIDA DE ANGULOS
Para medir ángulos se emplean fundamentalmente dos sistemas: el que utiliza como unidad el grado sexagesimal y el que utiliza como unidad el radián.
Medición de ángulos
Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma por unidad de medida. Para medir los ángulos existen varios sistemas, siendo los más conocidos el sistema sexagesimal y el circular.
Sistemas de medidas angulares
Sistema Sexagesimal: en éste sistema la unidad de medida es el grado sexagesimal que corresponde a 
que se abrevia 1°; éste a su vez se divide en 60 partes iguales y 
corresponde a un minuto sexagesimal que se abrevia 
; éste a su vez se divide en 60 partes iguales y 
corresponde a un segundo sexagesimal que se abrevia 
. Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior
Sistema Circular: en éste sistema la unidad de medida es el radian.
¿Qué es el radian?: El radian es un ángulo central que tiene como lados 2 radios de una circunferencia, cuyo arco es igual al radio de la circunferencia al cual pertenece.
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Siendo; = 3,141592654
R = 1
Las unidades de medida que pasaré a estudiar pertenecen al sistema sexagesimal y circular.
Equivalencia entre los sistemas
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Ángulos Complementarios: Son los que miden 90º.
Ángulos Suplementarios: Son los que miden 180º
LONGITUD DE ARCO
Si ө es un ángulo central que mide un radian entonces la longitud del arco subtendido es igual al radio (r). Donde r es la longitud del radio.
Cuando en ángulo Ө mide 2 radianes, entonces la longitud del arco subtendido mide 2 r.
De manera general si el ángulo mide + radianes entonces la longitud de arco subtendido mide + r.
TRIÀNGULOS
Es la figura que consta de tres lados, tres ángulos y tres vértices.
Clasificación de los Triángulos:
Por sus Lados
Triangulo Equilátero:
Si tiene sus tres lados iguales.
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Triangulo Isósceles:
Si tiene dos lados iguales.
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Triangulo Escaleno:
Si sus tres lados son desiguales.
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Por sus Ángulos:
Triangulo Acutángulo:
Es el que tiene sus tres ángulos agudos.
Triangulo Rectángulo:
Es el que tiene un ángulo recto.
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Triángulo Obtusángulo:
Es el que tiene un ángulo obtuso.
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Los lados de un triangulo rectángulo reciben nombres especiales:
Catetos: Son los dos lados que forman el ángulo recto.
Hipotenusa: Es el lado opuesto al ángulo recto.
Dos de los ángulos son, necesariamente, agudos. El tercero puede ser también agudo, o bien recto u obtuso. Si los tres ángulos son agudos el triángulo se llama acutángulo, si tiene un ángulo recto, rectángulo y obtusángulo si el mayor de sus ángulos es obtuso.
Triángulos Rectángulos
Los triángulos rectángulos cumplen una serie de relaciones métricas importantes entre sus lados.
Los lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto, b y c, se llaman catetos y el tercer lado, a (opuesto al ángulo recto) es la hipotenusa. El teorema de Pitágoras relaciona los dos catetos y la hipotenusa: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: a2 = b2 + c2
Otra relación importante que se cumple en un triángulo rectángulo es el teorema del cateto: el cuadrado de cada cateto es igual al producto de la hipotenusa por su proyección sobre ella, es decir,
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c2 = a · m, b2 = a · n
TEOREMA RELATIVO A LA SUMA DE LOS ANGULOS INTERNOS DE UN TRIÀNGULO
"La suma de las medidas de los tres ángulos internos de un triángulo cualquiera es siempre igual a 180º"
Dem. Grafiquemos un triángulo cualquiera
Demostraremos que:
a + b + c = 180º
Primeramente trazamos una recta paralela al segmento
, como se muestra a continuación
Podemos observar que:
- d + c + f = 180º
TEOREMA RELATIVO A LA SUMA DE LOS ANGULOS EXTERNOS DE UN TRIANGULO
"La suma de las medidas de los 3 ángulos externos de un triangulo cualquiera siempre es igual a 360º
Dem:
- d + e + f = 360º
Obsérvese que:
d + a = 180º Por ser
e + b = 180º ángulos
f + c = 180º suplementarios
SEMEJANZA DE TRIANGULOS
Relación entre dos figuras geométricas que tienen la misma forma, aunque distinto tamaño. Entre los elementos (puntos, rectas, ángulos,…) de esas dos figuras se establece una relación por la que cada elemento f le corresponde otro de f´
Dos figuras semejantes f y f´ cumplen con las siguientes relaciones métricas:
Proporcionalidad de Segmentos: entre dos figuras semejantes, los pares de segmentos correspondientes son proporcionales. Si A, B, C son puntos de f y A’, B’, C’ los correspondientes puntos de f entonces se cumple que:
La razón de proporcionalidad K se llama razón de semejanza. Por ejemplo, entre dos figuras semejantes cuya razón de semejanza es 2, cada segmento de la primera es de longitud doble que el correspondiente segmento de la segunda.
Razón de dos Segmentos de Recta: Es el cociente de sus longitudes.
Encontrar el valor de X
Si y solo si 3X = 4(6)
3X = 24
X = 24 = 8 3
La razón de 
a 
es 
= 
= 
Proporción:
Es la igualdad de dos razones.
Igualdad de Ángulos:
Entre dos figuras semejantes, los ángulos correspondientes son iguales.
Si A, B, C son puntos de f y A´, B´, C´, los correspondientes puntos de f, entonces se cumple que:
Relación entre Volúmenes:
El cociente entre los volúmenes de dos figuras semejantes es igual al cubo de la razón de la semejanza.
Dos polígonos son semejantes si sus lados son proporcionales y sus ángulos respectivamente iguales.
Para saber que dos triángulos son semejantes basta comprobar que se cumple alguna de las condiciones siguiente llamadas criterios o casos de semejanza de triángulos.
Criterio 1: Tienen dos pares de ángulos respectivamente iguales.
Criterio 2: Tienen un ángulo igual y proporcionales los lados que lo forman.
Criterio 3: Tienen tres lados proporcionales.
TEOREMA DE PITÀGORAS
"En cualquier triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de lo catetos".
Ilustración:
a c C2= a2 + b2
Dem: Trafiquemos el triangulo rectángulo tomado de la
De la hipotenusa como base y luego tracemos su altura.
Designemos Por x la distancia de un vértice al punto en que la altura se toca con la hipotenusa. La distancia de dicho punto al otro vértice es por tanto c-x.
La altura así trazada determina rectángulos semejantes.
CUADRILÀTEROS
Polígono de cuatro lados. La suma de sus ángulos interiores es 360. Los cuadriláteros tienen dos diagonales.
Se clasifican en paralelogramos si tienen los dos pares de lados opuestos iguales entre si.
Los paralelogramos son: los cuadrados (cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos), rectángulos (los cuatro ángulos rectos) rombos (cuatro lados iguales) romboides (no tienen los lados iguales ni los cuatro ángulos rectos).
CLASIFICACION:
PARALELOGRAMO:
Cuadrilátero cuyos dos pares de lados son iguales entre si.
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TRAPECIO:
Cuadrilátero con solamente dos lados opuestos paralelos y dos no paralelos.
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TRAPEZOIDE:
Cuadrilátero que no es paralelogramo ni trapecio, no tiene ningún par de lados paralelos.
PARALELOGRAMOS
CLASIFICACION:
RECTANGULO:
Es el paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos iguales; pero en cuanto a sus lados son iguales solamente los opuestos.
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CUADRADOS:
Paralelogramo que tiene iguales sus cuatro ángulos y sus cuatro lados.
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ROMBOS:
Paralelogramos con sus cuatro lados iguales e iguales solamente los ángulos opuestos.
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ROMBOIDE:
Paralelogramo en que solamente son iguales entre si los lados opuestos así como también los ángulos opuestos.
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PROPIEDADES:
"La diagonal de un paralelogramo divide a este en dos triángulos iguales".
- Los pares de los lados opuestos son iguales,
- Los pares de ángulos opuestos son iguales,
- Cada dos ángulos contiguos son suplementarios,
- Sus diagonales se cortan en sus puntos medios.
CARACTERÍSTICAS:
Cuadrados: sus cuatro lados son iguales y sus cuatro ángulos son rectos.
Rectángulos: sus cuatro ángulos son rectos.
Rombos: sus cuatro lados son iguales.
Romboides: sus cuatro lados no son iguales y no tienen ningún ángulo recto.
CONCEPTOS BÀSICOS
Dos o más puntos son colineales si existe una sola recta que los contenga.
- Puntos Colineales:
Son rectas que están en un mismo plano pero no se tocan, aunque se prolonguen indefinidamente.
- Rectas Paralelas:
Cuando al caer una sobre otra (recta) no se inclina mas de un lado ni de otro.
- Rectas Perpendiculares:
Es la superficie plana limitada por líneas rectas.
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- Polígono:
Es la figura que consta de tres lados, tres ángulos y tres vértices.
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- Triángulo:
Es un polígono que consta de cuatro lados.
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- Cuadrilátero:
Cuadrilátero cuyos dos pares de lados son iguales entre si.
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- Paralelogramo:
Figura que tiene sus tres lados iguales.
- Triángulo Equilátero:
Figura que tiene solamente dos lados iguales.
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- Triángulo Isósceles:
Figura que tiene sus tres lados desiguales.
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- Triángulo Escaleno:
Figura que tiene sus tres ángulos agudos.
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- Triángulo Acutángulo:
Figura que tiene un ángulo recto, mide 90 grados.
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- Triángulo Rectángulo:
Figura que tiene un ángulo obtuso.
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- Triángulo Obtusángulo:
Figuras que tienen iguales sus tres ángulos y sus lados son proporcionales.
- Triángulos Semejantes:
- Vértice:
Es la unión de dos rectas.
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16. Apotema:
Es la perpendicular que une el centro del polígono con cualquiera de sus lados.
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Es la recta que parte del vértice y es perpendicular al lado opuesto.
- Altura:
Es la semirrecta que divide al ángulo en dos partes.
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- Bisectriz:
Es la recta perpendicular al segmento en su punto medio.
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- Mediatriz:
Segmento que une el vértice con el punto medio del lado opuesto.
- Mediana:
Es el punto donde se cortan las tres medianas.
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- Baricentro:
Es el punto donde se unen las tres alturas.
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- Ortocentro:
Es el punto donde se unen las tres bisectrices.
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- Incentro:
Es el punto donde se unen las tres mediatrices.
- Circucentro:
Cuando sus lados son semirrectas opuestas.
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- Ángulos opuestos por el vértice:
Son dos ángulos situados al mismo lado de la secante y también al mismo lado en cada una de las rectas.
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- Ángulos Correspondientes:
Son ángulos colocados a uno y otro lado de la recta secante.
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- Ángulos Alternos Internos:
Son dos ángulos externos, colocados a uno y otro lado de la recta secante.
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- Ángulos Alternos Externos:
Es la recta que va desde el centro hasta la circunferencia.
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- Radio:
Cualquier recta que pasa por el centro y cuyos extremos están en la circunferencia.
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- Diámetro:
Recta cuyos extremos son dos puntos de la circunferencia.
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- Cuerda:
Es la recta perpendicular al radio que une el centro con el punto de la tangencia.
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- Tangente a una Circunferencia:
Cuando hay dos puntos comunes.
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- Secante a una Circunferencia:
Porción de recta comprendida entre el punto medio de un arco de círculos y el de su cuerda.
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- Flecha:
Son circunferencias que tienen el mismo centro.
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- Circunferencias Concéntricas:
Si tienen dos puntos comunes.
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- Circunferencias Secantes:
Si no tienen puntos comunes y la distancia entre sus centros es mayor que la suma de sus radios.
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- Circunferencias Exteriores:
Si no tienen puntos comunes y la distancia entre sus centros es menor que la suma de sus radios.
- Circunferencias Interiores:
Si tienen un punto común y la distancia entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios.
- Circunferencias Tangentes Interiores:
Si tienen un punto común y la distancia entre sus centros es igual a la suma de sus radios.
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- Circunferencias Tangentes Exteriores:
Es la medida de la longitud de su contorno.
4 cms
1 cm.
Perímetro= 3 cms + 3 cms + 1 cm. + 1 cm. = 8 cms.
- Perímetro de una figura plana:
Es la medida de su superficie.
3 cms
Area = 3 cms x 3cms = 9 cms2.
3 cms
- Área de una figura plana:
- Fórmulas de perímetros y áreas de las principales figuras planas:
- Rectángulo: Área: A= b.a
Perímetro: 2 · b + 2 · h
Área de los polígonos regulares: como en los polígonos regulares todos los lados son iguales obtendremos las siguientes fórmulas:
Triángulo equilátero perímetro = c + c + c = 3 · c
Cuadrado perímetro = c + c + c + c = 4 · c
Pentágono perímetro = c + c + c + c + c = 5 · c
- www.escolar.com/geometr/08angulos.htm-22k
- www.personals.iddeo.es/2tt/for/f7triangulo.htm-14k
- Raúl Aguilera Liborio, Matemática de Segundo Año de Bachillerato. UCA. Diciembre 2003.
- Matemática de 7º Grado. Lara Velásquez.
- www.mate.com/longituddearco/htm
- www.cnice.mecd.es/descartes/1y2.eso/medicion _de_angulos/angulos2.htm
- www.tip.cdu.mx/publica/boletines/anteriores/6247/demostraciones11.htm
Elsa Carolina Suria.
Segundo Año de Bachillerato General 2004.