Representación de la información
Los ejemplos más importantes de sistemas de numeración posicionales son el decimal o de base 10, utilizado por el hombre en la cultura occidental, y el binario o de base 2, que es el que utiliza el computador para representar la información y con el que es capaz de trabajar.
Cabe mencionar que existen otros sistemas de numeración, como los sistemas de residuos, que no son posicionales pero que no se tratarán por tener menos importancia.
Representación de la información Teorema fundamental de la numeración
Supóngase una cantidad X expresada en un sistema cuya base es b, y que está representada por una cadena de dígitos { xi } donde el subíndice indica la posición de la cifra respecto a la coma en el sentido mencionado anteriormente, y donde se considera que el dígito inmediatamente a la izquierda de la coma ocupa la posición de referencia 0.
Representación de la información Entonces dicha cantidad X (de la que se desea conocer normalmente su valor decimal) se obtiene a partir de su representación mediante la fórmula:
X = Suma de i [ -infinito, infinito ] xi · bi
Asimismo, dada una cantidad X y un sistema de representación posicional de base b, existirá una única representación posible de dicha cantidad en dicha base, realizada a partir de dígitos que cumplan la condición 0 < = xi < b, para todo i.
Representación de la información SISTEMAS DE NUMERACION
Sistema decimal
Es el de base 10 y es el que entiende de modo natural el ser humano. Es, por tanto, el sistema que se utilizará como referencia para conocer las cantidades representadas en los otros sistemas de numeración. Se suponen n cifras enteras y sin signo.
Rango de representación: 0 < = X < 10^n
Representación de la información Sistema binario
Este es el sistema de numeración que utiliza el computador internamente. Este sistema de numeración es de base 2. Para convertir un número decimal a binario, se divide sucesivamente por 2, y se toman sucesivamente el último cociente y desde el último resto hasta el primero.
Rango de representación: 0 < = X < 2^n
Representación de la información Sistema octal
Este es el sistema de numeración en base 8 y utiliza 8 símbolos para representar las cantidades. Dichos símbolos son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 y tienen el mismo significado que sus equivalentes decimales. La conversión de octal a binario se realiza mediante la siguiente tabla:
Representación de la información
OCTAL 0 1 2 3 4 5 6 7 ========================================== BINARIO 000 001 010 011 100 101 110 111
Rango de representación: 0 < = X < 8^n
Representación de la información Sistema hexadecimal
Este es el sistema de numeración en base 16 y utiliza 16 símbolos para representar las cantidades. Dichos símbolos son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Los diez primeros son los números decimales y tienen el mismo significado que en la numeración decimal.
Los seis últimos son letras que representan: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14 y F=15.
Representación de la información La conversión de hexadecimal a binario se realiza mediante la siguiente tabla:
HEXADECIMAL 0 1 2 3 4 5 6 7 ====================================================== BINARIO 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 ====================================================== HEXADECIMAL 8 9 A B C D E F ====================================================== BINARIO 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
Rango de representación: 0 < = X < 16^n
Representación de la información Sistema binario-decimal
Los denominados códigos binario-decimales corresponden a una codificación por campos, en la que cada campo contiene el código de una cifra decimal. Como existen 10 posibles cifras decimales, del 0 al 9, cada campo deberá tener al menos 4 bits, por ser 24 = 16 > 10.
DECIMAL BCD 8421 Aiken 2421 exceso de 3 Biquinario 5421 ================================================ 0 0000 0000 0011 0000 1 0001 0001 0100 0001 2 0010 0010 0101 0010 3 0011 0011 0110 0011 4 0100 0100 0111 0100 5 0101 1011 1000 1000 6 0110 1100 1001 1001 7 0111 1101 1010 1010 8 1000 1110 1011 1011 9 1001 1111 1100 1100
Representación de la información ARITMETICA BINARIA
Suma Resta 0 + 0 = 0 0 – 0 = 0 0 + 1 = 1 0 – 1 = 1 * 1 + 0 = 1 1 – 0 = 1 1 + 1 = 0 * 1 – 1 = 0 * = con 1 de acarreo * = con un préstamo de 1
Multiplicación División 0 x 0 = 0 0 / 0 = Error * 0 x 1 = 0 0 / 1 = 0 1 x 0 = 0 1 / 0 = Error * 1 x 1 = 1 1 / 1 = 1
* la división por 0 no tiene sentido
Representación de la información REPRESENTACION DE NUMEROS NEGATIVOS
Módulo y signo
El cambio de signo es inmediato: sólo cambiar el bit de la izquierda.
La multiplicación y la división se tratan sin dificultad oper ndose por un lado con las magnitudes y por otro con los signos.
La posibilidad de desbordamiento al operar con sumas, restas y multiplicaciones suponen una dificultad.
Representación de la información El rango de representación es simétrico [ -2^n-1 + 1, 2^n-1 – 1 ] pero la ambigüedad de representación del 0 complica la detección de números negativos.
La extensión de signo es relativamente complicada.
Las operaciones de suma y resta se complican al depender de los signos y magnitudes de los operandos.
Representación de la información Complemento a 1
El cambio de signo se reduce al complemento lógico (cambiar ceros por unos y viceversa).
La suma es sencilla pero teniendo en cuenta que cuando aparece un acarreo a la posición n se debe incrementar en una unidad el resultado.
Se complican la multiplicación y la división, puesto que hay que considerar la posibilidad de que haya operandos complementados.
Representación de la información
Existe la posibilidad de desbordamiento, que deberá detectarse al operar.
El rango de representación es simétrico [ -2^n-1 + 1, 2^n-1 – 1 ] y el cero admite dos representaciones: 00…00 o 11…11.
La extensión de signo se limita a repetir el bit de la izquierda.
Representación de la información Complemento a 2
El cambio de signo es sencillo aunque ligeramente más complicado que en el complemento a 1: realizar el complemento lógico y añadir 1.
La suma y resta son más sencillas que con el complemento a 1: consiste en realizar la suma directa.
Existe la posibilidad de desbordamiento en estas operaciones, que no debe confundirse con el acarreo superior que se elimina.
Representación de la información Se complican la multiplicación y la división, puesto que hay que considerar la posibilidad de que haya operandos complementados.
El rango de representación es asimétrico [ -2^n-1, 2^n-1 – 1 ]. Esto presenta el problema de que no se puede hacer el complemento de -2^n-1 ya que daría el mismo código, lo que se supone que es un desbordamiento. Sin embargo el cero tiene una única representación.
La extensión de signo se limita a repetir el bit de la izquierda.
Representación de la información Exceso a M
En este sistema los números se incrementan en M y el resultado se representa luego en binario puro.
El número X viene representado por X + M expresado en binario.
Representación de la información En la mayoría de los casos se hace M = 2^n-1, donde n es el número de bits empleados para la representación.
Este sistema de representación se utiliza para expresar los exponentes en el caso de coma flotante.
Representación de la información Representación en coma flotante
El exponente se representa en el sistema de exceso a 2^n-1, siendo n el número de bits que se dedican al mismo.
Representación de la información La mantisa es un número real normalizado: sin parte entera y tal que la primera cifra fraccionaria es significativa.
La base de exponenciación o raíz es una potencia de 2 determinada por el fabricante: 2, 8 o 16.
Representación de la información Coma flotante estándar IEEE 754
Emplea mantisa fraccionaria normalizada.
La mantisa se representa en el sistema de módulo y signo.
Representación de la información Utiliza el formato de precisión ampliada, valiendo siempre 1 el bit implícito.
La coma está a la derecha del bit implícito, constituyendo dicho bit la parte entera de la mantisa.
El exponente se representa en exceso, pero a 2^n-1 – 1 en vez de a 2^n-1, como sucedía en los casos anteriores.
Representación de la información Juego de caracteres alfanuméricos
Las letras del alfabeto: mayúsculas y minúsculas. Las 10 cifras del sistema decimal: del 0 al 9. Los signos de puntuación: . , : ; ? + * % … Los caracteres de control: órdenes entre dispositivos.
Representación de la información Longitud del código binario: número de bits utilizados para codificar un carácter. Suele estar entre 6 y 12 bits. El sistema de codificación suele ser directo. Número máximo de caracteres distintos que se pueden representar con la longitud de código anteriormente definida: 2^longitud .
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