Demostración a la conjetura de Albert Girard y análisis a la teoría de números

i) p-1 ? p – 1 2 p – 1 2 iv) Introducción. Se demostrará en la presente obra…: 1ro) La conjetura de Albert Girard / (relacionado con: primos de Gauss) Si p=3 (mod 4) ? p primo, p > 2 Entonces: p = x2 ±2y2 con: x,y? N{0} 2do) El teorema de Fermat (sobre suma de cuadrados) ó Lema de Thue, mediante procedimiento análogo al utilizado para la conjetura anterior. / Si p=1 (mod 4) ? p primo, p > 2 Entonces: p = x2 + y2 con: x,y? N{0} 3ro) Finalmente, podrá demostrarse* si: para todo entero, impar y mayor que 2, dicho elemento es un número primo ó no. * Precisaremos que: podrá diferenciarse entre primo y no primo debido a que los primos cumplen ciertas características que los números compuestos no cumplen, es decir, conoceremos las diferencias clave entre números primos y números compuestos. (ver página 4 y siguientes para mayor comprensión) Se utilizará para tales demostraciones el álgebra modular (anillos Z/p), dando por demostrados los siguientes teoremas o proposiciones: Teorema de Wilson / (p-1)! = -1 (mod p) si y sólo si p es primo ii) Pequeño teorema de Fermat./ (2) iii) Si p es primo entonces entre: [1,p-1] en (Z/p) anillo. Si p no es primo entonces no existen = 1 (mod p) ?p primo cuadrados perfectos comprendidos cuadrados perfectos comprendidos entre [1,p-1] en el anillo (Z/p) (existen en menor cantidad). Si p es primo (cuadrado perfecto = residuo cuadrático), entonces: Si p = 1 (mod 4) ý m es un residuo cuadrático en (Z/p), entonces: (-m) es también un residuo cuadrático en (Z/p). Si p = 3 (mod 4) ý m es un residuo cuadrático en (Z/p), entonces: (-m) no es un residuo cuadrático en (Z/p).

2 2 2 w 2 Durante la presente obra aparecerán símbolos como a, ß, d, ?, f, ?, s,…, que nada tendrán que ver con otras matemáticas, y que aquí, simplemente, quedarán denotadas como elementos de Z, N,…, y que aparecerán como tales para diferenciarlos de otros más ordinarios. Y para destacarlos de los mismos de una forma más directa y visual, finalmente también, por resaltar de ellos diversas particularidades (las que correspondan), que otros elementos no posean. La hipótesis central y las demostraciones oportunas de la misma se encuentran en la parte IIda. de este temario. La parte Ira. será necesaria para la hipótesis que se expondrá brevemente a continuación a modo de resumen. Se incluirá también un anexo, (págs. 88-99), que puede ser omitible, pues de él sólo se extraen ciertas particularidades no transcendentales. Al inicio de cada parte se incluirá una breve introducción para mejor comprensión de la misma. Expondremos a continuación algunos de los puntos más relevantes de la hipótesis propuesta en la proposición 21ra. págs. 39-43 (se omitirán ciertas particularidades aquí, por ser difícil definirlas brevemente). Inciso Importante: De la parte Ira del temario se obtendrá un elemento denotado por el símbolo s cuyo valor numérico dependerá de las siguientes condicionales tal que: si p = 1 (mod 4) entonces s = -1 si p = 3 (mod 8) entonces s = -2 si p = 7 (mod 8) entonces s = +2 además si p es primo entonces: ? a ? Z , a ? (1,p-1) / (importante ver: pág 39) (±a)2 = s (mod p) ? s ? residuo cuadrático Tal que: ? k? Z, k? (p,p-1) ? k ±a (mod p) entonces: {±k}2 s (mod p) y en cambio si: p no es primo, entonces puede existir (ó no) un elemento ß? Z, con: ß? (1,p-1) / (±ß)2 = s (mod p) • si ? ß entonces existen** otros elementos: ß´, ß´´, ß´´´ ,…,ß´w pertenecientes al intervalo (1,p-1), distintos entre si, (no congruentes entre si) y que en cambio: (±ß) = (±ß´) = (±ß´´) =…= (±ß´ ) = s (mod p) ** salvo ciertos números compuestos que serán tratados y claramente diferenciados de los números primos.

? s? Nota 1ra: El valor a expresado en la página anterior, se obtiene mediante una ecuación, (omitimos expresarla aquí, por ser laboriosa la definición de la misma ver: página 10), y que sólo se cumple, si: p es primo, es decir, que para todo p no primo, dicho valor no existe, pero en cambio, pueden (ó no) existir otros valores enteros ß? Z, ß? (1, p-1) / (±ß´i)2 = s (mod p) Todo ello analizado y demostrado pertinentemente. Hipótesis (ver proposición 21ra) págs. 39-43 ? p? N, p? impar entonces: Iro) Si p es primo ? ? x,y? Z{0} tal que: p = x2 – s • y2 , siendo x? impar con: s =-1 si: p = 4k+1, s =-2 si: p = 8k+3 ? s =+2 si: p = 8k+7 ** ? y? par si: p = 1 (mod 4) é y? impar si: p = 3 (mod 4) además: • si: p = 4k+1 ó p = 8k+3 Entonces: sean: x´, y´ ? Z{0} / ? x´?±x ? y´?±y ? p? x´2 – s • y´2 • si: p = 8k+7 residuo cuadrático en Z/p (±a raíces de s *) entonces ? x´, y´ ? Z{0} / x´?±x ? y´?±y / p = x´2 – s • y´2 = x´´2 – s • y´´2 =…= (x´w)2 – s • (y´w)2 • / ? a? Z, a ? (1,p-1) / (±a)2 = s (mod p) ?p primo. ? s? residuo cuadrático en Z/p (±a raíces de s *) (*) Tal que: ? k? Z, k? (p,p-1) ? k ±a (mod p) entonces: {±k}2 s (mod p) (conjetura de Albert Girard ý lema de Thue) ** (Nota 2da, muy importante:) estamos afirmando claramente que: -1 es residuo cuadrático en Z/p para los números primos de la forma p = 4k+1, que -2 es residuo cuadrático en Z/p para los números primos de la forma p=8k+3, y que 2 es residuo cuadrático en Z/p para los números primos de la forma p=8k+7. Debe quedar claro, que para los números primos de la forma p = 8k+1 los valores -2 y 2 también son residuo cuadrático en Z/p (esto no se demostrará). Pero que el valor s para tales primos (p=8k+1 ó p=8k+5 es decir para: p = 4k+1) será s =-1. (ver: punto VI pág 9 otros residuos cuadráticos en Z/p.)

IIdo) Algo más compleja y extensa: caso en que p no es primo. i) si: p ? x2 – s • y2 ? x,y? Z, x? impar ? ? µ? (1,p-1) ? (±µ)2 s (mod p) ii) si: p = x2 – s • y2 = x´2 – s • y´2 = x´´2 – s • y´´2 =…= (x´w)2 – s • (y´w)2 ?x´i?±x´j, i?j( ? y´i?±y´j ) con: x´m,y´m ? Z{0} Siendo: f0(p) = x2 – s • y2, f1(p) = x´2 – s • y´2, f2(p) = x´´2 – s • y´´2,…, ,…, fw(p) = (x´w)2 – s • (y´w)2 / p = f0(p) = f1(p) = f2(p) =…= fw(p) Y tal que: ? al menos f0(p) ý f1(p) que cumplen dicha igualdad con p Entonces en Z/p ocurre que si: s? residuo cuadrático en Z/p ? ? fi(p) = (x´i)2 – s • (y´i)2 ? fj(p) = (x´j)2 – s • (y´j)2 ecuaciones cuadráticas distintas / p = (x´i)2 – s • (y´i)2 = (x´j)2 – s • (y´j)2 ? mcd(x´i,y´i)=±1 ? mcd(x´j,y´j)=±1 es decir, existen (al menos**): ß?ß´ ? (1,p-1) / ß ±ß´ (mod p) y en cambio: {± ß}2={±ß´}2= s (mod p) ** (a diferencia de los números primos que sólo tienen dos raíces a ý (p-a) en el intervalo (1,p-1) ý de ciertos cuadrados perfectos, como se verá en el siguiente apartado iii.) iii) si p no es primo ý p? cuadrado perfecto impar*, entonces: ó: p = x2 – s • y2 = f0(p), x?0 (x? impar) ? y = 0 / ? fi>0(p) = p ó: p = x2 – s • y2 = x´2 – s • y´2, x?0, y = 0 / x´ ? Z(±x,0) ? y´ ? Z(±y,0) es decir p = f0(p) = f1(p) Además: ? ß ? Z , ß? (1,p-1) / (±ß)2 = s (mod p) ? s? residuo cuadrático en Z/p Tal que: ? k? Z, k? (p,p-1) ? k ±ß (mod p) entonces: {±k}2 s (mod p)

ó: * * p = x2 – s • y2 = x´2 – s • y´2 = x´´2 – s • y´´2 =…= (x´w)2 – s • (y´w)2 es decir: p = f0(p) = f1(p) = f2(p) =…= fw(p) / Card[f(p)] = 3 tal que: Card[f(p)] = 3 ý 4 = Card[ß ] = 2w ** * se cumple que: ?p? cuadrado perfecto impar ? p = 1 (mod 8) siempre. ý además: ? ß? Z / {±ß}2= s (mod p) syss: ? f1(p) = p ** dada la ecuación cuadrática: p = (x´i)2 – s • (y´i)2 ? (x´i)2 = s • (y´i)2 (mod p) Tal que: existe ß´i si y sólo si: mcd(x´i, y´i) = ±1 / x´i =±ß´i • y´i (mod p) pues si mcd(x´i, y´i) =k , k?±1 entonces k|p ?? k-1 en Z/p ?? (x´i)-1, (y´i)-1 en Z/p, pues: k|x´i ? k|y´i Importante: si ß es raíz de s en Z/p también lo es (p-ß) y por tanto, se expone que 4 = Card[ß ] = 2w , como mímimo existen cuatro raíces de s en Z/p, en el intervalo (1,p-1). es decir, existen también (ý al menos): ß´ ? (p-ß´) raíces de s en Z/p iv) Sea p = q • q´ , p no primo impar, p>1 siendo: q,q´ ? impares, 1< q < p / q? cuadrado perfecto ? q´ ? cuadrado perfecto siendo: p = x2 – s • y2 = f0(p), x,y? Z{0} ? p? fi>0(p) es decir, siendo: x´,y´ ? Z / ? x´?±x ? ? y´?±y ? p ? x´2 – s • y´2 es decir: Card[f(p)] =1 Tal que en Z/p?x2 = sy2 (mod p). pero ocurre que: ?µ? (1,p-1)?{±µ}2 s (mod p) (a diferencia de si p es primo (punto Iro) donde: ? a? (1,p-1) / {±a}2 = s (mod p) (pág 5) ) v) Sea p = q • q´ (p no primo impar p>1), siendo: q,q´ ? impares, 1

? x´2 2 (1,p-1) entonces: ? f1(p) = x´2 – s • y´2, con: x´,y´ ? Z / ? x´?±x ? ? y´?±y 1 | ±x´ | < 2 (p+1) tal que: p = x2 – s • y2 = x´2 – s • y´2 ? p = f0(p) = f1(p) entonces, por ser p no primo: ? ? ß´ ? Z, ß´ ? (1,p-1){±ß}, es decir: ß´ ±ß (mod p) , equivalentemente: x2 – s • y2 = 0 (mod p) ? x2 = s • y2 (mod p)? x = ±ß • y (mod p) – s • y´2 = 0 (mod p) ? x´2 = s • y´2(mod p)? x´ = ±ß´ • y´(mod p) tal que: ß ±ß´ (mod p) ? {±ß}2 = {±ß´}2 = s (mod p) IIIro) por todo lo expresado en los puntos anteriores (incluido el inciso previo de la pág 4) tendremos que: p es primo impar, si y sólo si: p = x2 – s • y2 , x,y? Z{0}, con: f0(p) = x2 – s • y2 ý además, si y sólo si: ? a? (1,p-1) / {±a}2 = s (mod p) siendo: s = -1 si p = 1 (mod 4) s = -2 si p = 3 (mod 8) s = +2 si p = 7 (mod 8) Tal que: ? k? Z, k? (p,p-1) ? k ±a (mod p) entonces: {±k}2 s (mod p) Además si: p 7 (mod 8) entonces: p? x´ – s • y´2 ? x´?±x ? ? y´?± y IVto) ?p? impar, p>1 , primo ó no primo. si: ? al menos f0(p) / p = f0(p) = x2 – s • y2 entonces: x? impar siempre, lo tomamos como referencia impuesta, obteniendo entonces que la variable (y) es…: y? par si: p = 1 (mod 4) y? impar si: p = 3 (mod 4) Vto) sea p = x2 – s • y2 / p ? impar, p>1 , primo ó no primo. ý además: puede (ó no) darse la existencia de f1(p), f2(p), f3(p),…, fw(p), tales que; p= fi>0(p) = (x´i)2 – s • (y´i)2, i=1,2,…,w entonces en Z/p: ?x2 = sy2 (mod p) se podrá obtener el valor ß (de existir*) / ß? ? {±ß}2 = s (mod p) es decir: x =±ß • y (mod p) syss*: mcd(x,y)=±1

2 VIto) Sea q primo, q>2 Ý sea: ?? (-[p-1],p-1) / ?? residuo cuadrático en Z/q, para todos los primos de la forma: q=8k+1 ý/ó q=8k+3 ý/ó q=8k+5 ý/ó q=8k+7 De manera que se cumpla además que: q = a2 – ? • b2 , a,b ? Z{0} Entonces, tomado un número p impar positivo particular / p = q (mod 8) se cumple que, dicho p es primo (impar), si y sólo si: i) p = x2 – ? • y2 , x,y? Z{0}, con: f0(p) = x2 – ? • y2 ii) ý además, si y sólo si: ? a? (1,p-1) / {±a}2 = ? (mod p) , mcd(x,y)=±1 /? k ? Z, k? (p,p-1) ? k ±a (mod p) ** entonces: {±k}2 ? (mod p) • Además si: (-?)>0 entonces: p? x´2 – ? • y´2 ? x´?±x ? ? y´?±y ó bien si (-?)<0 entonces pueden existir (al menos): x´?±x ? y´?±y , tales que: p = x2 – ? • y2 = x´2 – ? • y´2 / x =±ay (mod p) ? x´ =±ay´ (mod p) ** • Pudiendo diferenciar dicho valor p primo de cualquier valor p´ no primo tal que: p = p´ (mod 8) pues dicho valor compuesto p´, ó no tiene raíces en Z/p´ para el valor ? (? no es residuo cuadrático en Z/p´ ) o bien existen al menos 4 raíces del mismo, en el intervalo (1,p ´-1), ó bien p´ es un cuadrado perfecto, ó mcd (x,y)?±1. • el punto IV, aquí es irrelevante p es impar x puede ser impar ó par dependiendo de los valores del residuo cuadrático (d) ý de si la variable (y) tal que: -? • y´ sea un valor impar ó par. • Finalmente podremos tomar un valor impar p=8k+r, tal que p=x2-? • y2, x,y? Z{0} y se conozca del mismo que: ? residuo cuadrático en Z/p ý: ?? (-[p-1],p-1) e indiferentemente de si lo es para cualquier otro primo p´=8k´+r. pudiéndose obtener además, si dicho p es primo ó no. Dependiendo de si existen más raíces de ? en Z/p, más ecuaciones cuadráticas para dicho valor p (dependiendo de si (-?)>0 ó si (-?)<0) , si es un cuadrado perfecto, ó mcd (x,y)?±1.,…etc. // Nota 1ra. dichas premisas están expuestas en la parte II en la (proposición 21ra. págs 39-43) Nota 2da. se expondrá a continuación en la parte I del temario la “resolución” del valor a, es decir: las demostraciones oportunas para denotar que: s es residuo cuadrático en Z/p para todo p primo impar / s = -1 si p = 1 (mod 4), s = -2 si p = 3 (mod 8), s = +2 si p = 7 (mod 8) y tal que: ? a? Z, a? (1,p-1) / (±a)2 = s (mod p) ?p primo impar así como la ecuación/es para hallar dicho valor a. (En la siguiente página se incluye a modo de introducción dichos resultados que se demostrarán obviamente a lo largo de la parte I del temario.)

1 2 1 2 • 2 / Parte Ira. Introducción De la cual se obtendrán, entre otros, los siguientes resultados. Siendo p? Z, p>0 ? p? impar entonces. p = 2f+1 / f =2 ? si: p = 1 (mod 4) f =2 ? + 1 si: p = 3 (mod 4) tal que: = {1 • 3 • 5 • 7 • 9 • … • (2i-1) • (2i+1)}, t? N ý siendo: i= f – 1 si: p = 1 (mod 4) i = (f-1) si: p = 3 (mod 4) si: p entonces se cumple que: 5 (mod 8) ? ( ? !)2= s (mod p) ** si y sólo si p es primo impar si: p = 5 (mod 8) ? [(2) ] = s (mod p) ?p primo impar siendo: s = -1 s = -2 s = +2 si: p = 1 (mod 4) si: p = 3 (mod 8) si: p = 7 (mod 8) Por lo cual, se denotará por a? (1,p-1) / ?p primo impar Siendo: a = ( • ? !) (mod p) ** si: p 5 (mod 8) a = [(2) ] (mod p) si: p = 5 (mod 8) a2 = s (mod p), siendo: s? residuo cuadrático en Z/p [1] s? residuo cuadrático en Z/p siempre que p sea primo, ý s puede ser (ó no) residuo cuadrático en Z/p si p es compuesto. [2] recuérdese que: s puede ser (ó no) residuo cuadrático en Z/p si p es compuesto. En tales casos denotaremos como: ß, (p- ß), ß´, (p- ß´),…, ß´w, (p- ß´w) a las raíces de s en Z/p (en caso de existir). y como: ß* a una de ellas cualquiera sin especificar. Y no por el valor a para diferenciar ambos casos (primo/compuesto) [3] si p es compuesto impar tenemos que a no existe**. Pues no se cumplen las congruencias expuestas en las ecuaciones anteriores. //

/ ? Proposición 1ra) Sea p? Z, p>0 ? p? impar / denotaremos por f? N p = 2f+1 de forma que, por el teorema de Wilson: (p-1)! = -1 (mod p) si ý sólo si p es primo. • …tenemos equivalentemente que: [p-1](p-2)! = -1 (mod p) syss: p es primo. • suponiendo que tomado p primo particular, entonces es trivial que: ? (a)-1 ?a? [1,p-1] / a • (a)-1 = 1 (mod p) de forma que: • aplicamos (p-1) -1 , a nuestra ecuación modular, obteniendo que: (p-2)! = +1 (mod p) syss: p es primo. • es trivial que: p-2 = 2f-1 ? equivalentemente tenemos que: (2f-1)! = 1 (mod p) syss: p es primo. Proposición 2da) equivalentemente resultará que: [2f-1](2f-2)! = 1 (mod p) syss: p es primo. es trivial que: 2-1 = -f (mod p) , p = 2f +1 f-1 = -2 (mod p) aplicaremos un proceso de iteración semejante a la operación realizada tal que: 1ro ° aplic. (2)-1 ? [f+f](2f-2)! = (2)-1 (mod p) syss: p es primo. (es trivial que: (2)-1 [2f-1] = [f+f] (mod p) ) [2f](2f-2)! = (2)-1 = -f (mod p) syss: p es primo. p = 2f+1 ? 2f = p-1 / en Z/p ? 2f = -1 (mod p) aplic. (f)-1?[2](2f-2)! = -2(2)-1 (mod p) syss: p es primo. ?[2][ 2f-2](2f-3)! = -1 (mod p)* syss: p es primo. 2do ° aplic. (2)-1 / (2)-1 = -f (mod p) ? ? [2][ f+2f](2f-3)! = f (mod p)* syss: p es primo. aplic. (f)-1 / (f)-1 = -2 (mod p) ? ? [2 • 3](2f-3)! = 1 (mod p) syss: p es primo. ? [2 • 3][ 2f-3](2f-4)! = 1 (mod p)** syss: p es primo.

+1) +1) 3ro ° aplic. (2)-1 / (2)-1 = -f (mod p)** ? ? [2 • 3][ f+3f](2f-4)! = -f (mod p) syss: p es primo. aplic. (f)-1 / (f)-1 = -2 (mod p) ? ? [2 • 3 • 4](2f-4)! = 2f = -1 (mod p) syss: p es primo. (…) de forma que realizadas i-ésimas iteraciones obtendríamos equivalentemente: (i)!(2f-i)! = {-1}(i+1) (mod p) syss: p es primo. ?i? N demostración: tenemos que la expresión anterior es equivalente a: (i)![2f-i] • (2f-[i+1])! = {-1}(i+1) (mod p) syss: p es primo. aplic. (2)-1 / (2)-1 = -f (mod p) ? ? (i)![f+fi] • (2f-[i+1])! = {-1}(i+1) • (-f) (mod p) syss: p es primo. aplic. (f)-1 / (f)-1 = -2 (mod p) ? ? (i)![i+1] • (2f-[i+1])! = {-1}(i+1) • (-1) (mod p) syss: p es primo. ? (i+1)! • (2f-[i+1])! = {-1}(i+2) (mod p) syss: p es primo. denotamos por j=i+1 / ? (j)! • (2f-j)! = {-1}(j+1) (mod p) syss: p es primo. ?j? N fórmula equivalente. Proposición 3ra) Sea i = f entonces por lo obtenido anteriormente resulta que: ? (f)!(2f-f)! = {-1}( +1) (mod p) syss: p es primo. ? (f)!(f)! = {-1}( ? {(f)!}2 = {-1}( (mod p) syss: p es primo. (mod p) syss: p es primo.

2 ( +1) ( +1) ( +1) ( +1) ( +1) ( +1) 2 1/2 +1) +1) ( +1) 1/2 Proposición 4ta) Sea n? N, entonces es trivial que: {(f)!} = {-1} + p • n, (para algún valor n) ?(f)! = ({-1}( +1) + p • n)1/2 pudiendo expresar en Z/p que: (f)! = a (mod p), a? [1,p-1] tal que: a2={-1} (mod p) syss: p es primo. es decir: ({-1} ) es un residuo cuadrático en Z/p porque: ((f)!)2 es un residuo cuadrático en Z/p , pues es un cuadrado perfecto denotaremos por e? Z / ±e = ({-1} + p • n) 1/2 para comodidad y abreviaturas gráficas, de modo que podemos expresar que: {(f)!} = ±e (mod p) syss: p es primo. Proposición 5ta) Teníamos de la proposición anterior que: {(f)!} = {(f)} • {(f-1)!} =±e (mod p) syss: p es primo. siendo: ±e = ({-1} + p • n) ? Z ? {(f)!} = {-1} + p • n , n? N. como sabemos que: p = 2f + 1 / 2-1 = -f (mod p) f-1 = -2 (mod p) aplicando f-1 a ambas partes de la congruencia, obtendremos: {(f-1)!} = ±e(-2) (mod p) syss: p es primo. (**[1]) Sea la aplicación [?2] (elevando al cuadrado) obteniendo que: {(f-1)!}2 = {±e}2(-2)2 (mod p) syss: p es primo. ?{(f-1)!}2 = ({-1}( ?{(f-1)!}2 = 4({-1}( + p • n) (-2)2 (mod p) syss: p es primo. ) (mod p) syss: p es primo. Proposición 6ta) De la proposición anterior y mediante un proceso iterativo equivalentemente, tendremos que: {(f-1)!} = ±e(-2) (mod p) syss: p es primo. ?[f-1](f-2)! = (-2){±e} (mod p) syss: p es primo. siendo: ±e = ({-1} + p • n) ? Z

( +1) aplic. (2)-1 / (2)-1 = -f (mod p) ? ?(2)-1[f-1](f-2)! = (-1){±e} (mod p) syss: p es primo. (ver: **[1] pág anterior.) Inciso importante: (2)-1[f-k] = (2)-1{-2-1-k} (mod p), k? N sabemos que (2)-1 = -f (mod p) (ver: proposición 2da) ? (2)-1[f-k] = (2)-1{-2-1-k} = -2-1{2-1+k} = f{2-1+k} (mod p), k? N ?(2)-1[f-k] = {k+2-1}f (mod p), k? N además es trivial que: {k+2-1} = {2k+1}(2)-1 (mod p) ° Sea k=1, tendremos que: ?(2)-1[f-1] =-f[f-1] = [1-f]f = {1+2-1}f (mod p) ?(2)-1[f-1] = {1+2-1}f = {2+1}(2)-1f = {3}(2)-1 f (mod p) de forma que **[1]: (2)-1[f-1](f-2)! = (-1){±e} (mod p) syss: p es primo. resulta equivalente a: {3}(2)-1f(f-2)! = (-1){±e} (mod p) syss: p es primo. como: (2)-1 = -f (mod p) ? (2) = -f-1 (mod p) ? -2 = f-1 (mod p) aplicando por [f-1]: ?{3}(2)-1(f-2)! = (2){±e} (mod p) syss: p es primo. ?{3}(2)-1[f-2](f-3)! = (2){±e} (mod p)**[2] syss: p es primo. siendo: ±e = ({-1} + p • n) 1/2 ° Sea ahora k=2, tendremos que: como: (2)-1[f-k] = {k+2-1}f (mod p), k? N ?(2)-1[f-2] = {2+2-1}f (mod p) ?(2)-1[f-2] = {2+2-1}f = {4+1}2-1f = {5}(2)-1 f (mod p)

( +1) 1/2 de forma que: {3}(2)-1[f-2](f-3)! = (2){±e} (mod p)**[2] syss: p es primo. es equivalente a: ?{3}{5}(2)-1f (f-3)! = (2){±e} (mod p) syss: p es primo. como: f-1 = -2 (mod p) ý aplicando por [f-1], tenemos que: ?{3 • 5}(2)-1(f-3)! = [-22]{±e} (mod p) syss: p es primo. ?{3 • 5}(2)-1[f-3](f-4)! = [-22]{±e} (mod p) syss: p es primo. ° Sea ahora k=3, tendremos que: como: (2)-1[f-k] = {k+2-1}f (mod p), k? N ?(2)-1[f-3] = {3+2-1}f (mod p) ?(2)-1[f-3] = {3+2-1}f = {6+1}2-1f = {7}(2)-1 f (mod p) de forma que: {3 • 5}(2)-1[f-3](f-4)! = [-22]{±e} (mod p) syss: p es primo. es equivalente a: ?{3}{5}{7}(2)-1f (f-4)! = [-22]{±e} (mod p) syss: p es primo. como: f-1 = -2 (mod p) ý aplicando por [f-1], tenemos que: ?{3 • 5 • 7}(2)-1(f-4)! = (-2)[-22]{±e} (mod p) syss: p es primo. ?{3 • 5 • 7}(2)-1(f-4)! = [23]{±e} (mod p) syss: p es primo. ?{3 • 5 • 7}(2)-1[f-4](f-5)! = [23]{±e} (mod p) syss: p es primo. (…) ° Realizando las iteraciones precisas, obtenemos para el i-ésimo término que: {(2i-1)(2i-3)(2i-5)…(5)(3)}(2)-1[f-i] • (f-[i+1])! =… …= (-1)i[2i-1]{±e} (mod p) syss: p es primo. (** [3]) equivalentemente: {(2i-1)(2i-3)(2i-5)…(5)(3)(1)} • (f-i)! = (-1)i[2i]{±e} (mod p) syss: p es primo. siendo: ±e = ({-1} + p • n) ? Z , ?i? N{0} (omitimos la demostración por resultar trivial por inducción.)

( +1) 1/2 -1 -1 – Proposición 7ma) Tomando de la ecuación modular anterior el caso concreto tal que i = f, tendremos equivalentemente que: {(2f-1)(2f-3)(2f-5)…(5)(3)(1)} • (f-f)! = (-1) [2 ]{±e} (mod p) syss: p es primo. cláramente: (0)! = 1 ?{(2f-1)(2f-3)(2f-5)…(5)(3)(1)} = (-1) [2 ]{±e} (mod p) syss: p es primo. Siendo: ±e = ({-1} + p • n) ? Z , ?i? N{0} Inciso importante: Es claro que: (p-1)! = (-1) (mod p) syss: p es primo. (tma Wilson) Ý habiamos denotado que: p = 2f+1? podemos expresar que: (p-1)! = (2f)! = (-1) (mod p) ? [2f](2f-1)! = (-1) (mod p) syss: p es primo. Ahora bien: 2f = (-1) (mod p), p = 2f+1* trivial. como suponemos que p es primo. ? ?a? N, a? (0,p)? ? a-1 único / a • a-1 = 1 (mod p) ? ? (2f) -1 con: (2f) -1 = 2-1f-1 (mod p) ý es trivial (*) que: (2f) -1 = (-1) (mod p) como teníamos que: [2f](2f-1)! = (-1) (mod p) syss: p es primo. Aplicando (2f) -1 obtendremos que: (2f-1)! = 1 (mod p) syss: p es primo. Corolario) podemos argumentar equivalentemente que: (2f-1)! • {(2f-1)( 2f-3)( 2f-5)…(5 • 3 • 1)} -1 = (2f-2)(2f-4)( 2f-6)…(4 • 2) =.. …= {(-1) [2 ]{±e}} (mod p) syss: p es primo. pues de la proposición 6ta pág anterior (** [3]) teníamos que: {(2i-1)(2i-3)(2i-5)…(5)(3)(1)} • (f-i)! = (-1)i[2i]{±e} (mod p) trivial ? (2f-2)(2f-4)( 2f-6)…( 6 • 4 • 2) = (-1)- [2 ]{±e} (mod p) syss: p es primo.

( +1) 1/2 Z – ( -1) – – {±e} 1 – – – -1) ( +1) 1/2 – -1) – ( +1) 1/2 – ( -1) [ – -1 -1) ( +1) 1/2 ° Teníamos que: (2)-1 = -f (mod p) (prop. 2da pág 11) ? (-1)-1 =(-1) (mod p) de forma que resulta equivalente que: (2f-2)(2f-4)( 2f-6)…( 6 • 4 • 2) = (-1) [ -f] {±e}-1 (mod p) syss: p es primo. ? siendo: ±e = ({-1} + p • n) ? Proposición 8va) Sea {An} = {2f-2, 2f-4, 2f-6,…, 6, 4, 2}, sucesión de elementos pares. 1 entonces: #{An} = Card(An) = (f-1) = 2 (2f-2) trivial. de forma que, aplicando {2 } 1 a la ecuación modular resultante del corolario anterior, obteniéndose que: (2f-2)(2f-4)( 2f-6)…( 6 • 4 • 2) • {2( -1)} 1={2( -1)} 1(-1) [ -f] (mod p) ? (f-1)(f-2)( f-3)…( 3 • 2 • 1) ={2( } 1(-1) [ -f] {±e} 1 (mod p) syss: p es primo. ? siendo: ±e = ({-1} obteniendo equivalentemente que: + p • n) ? Z ? (f-1)! ={2( } 1(-1) [ -f] {±e} 1 (mod p) syss: p es primo. ? siendo: ±e = ({-1} + p • n) ? Z de la proposición 2da pág 11, tenemos que: 2-1 = -f (mod p), p = 2f+1 de forma que: ?{2 } 1 = [-f]( -1) (mod p) ? ? (f-1)! = (-1) [-f]( -1) -f] {±e} 1 (mod p) ?(f-1)! = (-1) [-f](2 {±e} (mod p) syss: p es primo. ? siendo: ±e = ({-1} + p • n) ? Z

(p-1) -1) -1 -1 -1 – ( +1) 1/2 ( +1) ( +1) 2 1/2 ( +1) -1 ( +1) -1 +1) -1) ( – ) ( + ) Inciso previo: por la proposición 2da. pág 11. resulta que: 2-1 = -f (mod p) ? ? [-f](2 -1) = [2] -(2 -1) = [2] -(p-2) (mod p), por ser: p = 2f+1 sabemos que por el pequeño tma de Fermat: 2 = 1 (mod p) ? p primo. ?2-(p-1) = 1 (mod p) ? p primo. ? aplicando [ • 2] tenemos: ?2-(p-2) = 2 (mod p) ? p primo. (…) ? (f-1)! = (-1) [-f](2 {±e} = (-1) [2] -(p-2) {±e} =… …= (-1) [2]{±e} (mod p) si y sólo si p es primo. ?(f-1)! = (-1) [2]{±e} 1 (mod p) syss: p es primo. ? siendo: ±e = ({-1} + p • n) ? Z Corolario) Aplicando [%2] (elevando al cuadrado) ambas partes de la ecuación modular resultante, tendremos que: { (f-1)!}2 = (-1)2 [4]{±e}-2 = (-1)2 [4]{±e2}-1 (mod p) como: ±e = ({-1} + p • n) ?{±e } = ({-1} + p • n) ?{ (f-1)!}2 = (-1)2 [4]({-1} + p • n) (mod p) ?{ (f-1)!}2 = (-1)2 ?{ (f-1)!}2 = {-1}( [4]({-1} ) = (-1)2 {-1}-( [4] (mod p), syss: p es primo. [4] (mod p) (ver proposición 5ta. Pág. 13) Ojo: {-1} 1 = {-1} 1 (mod p) (en la prop. 5ta resultaba exponente (f+1), ambos resultados son equivalentes)

-1)/2} {( -1)/2} {( -1)/2} (-1/2) /2) – Proposición 9na) Por el Corolario anterior, podemos argumentar que: { (f-1)!}2 = {-1}( -1)[4] (mod p), syss: p es primo. ?{ (f-1)!} = ±{-1}{( Corolario 1ro) [4](1/2) (mod p), syss: p es primo. Del coeficiente ±{-1} tenemos dos posibilidades: 2|(f-1) ó 2 (f-1) i) 2|(f-1) ? f? impar ? p = 3 (mod 4), trivial: f = 2n+1 ? p = 2f+1 ? p = 2(2n+1)+1 = 4n+3 ii) 2 (f-1) ? f? par ? p = 1 (mod 4), trivial: f = 2n ? p = 2f+1 ? p = 2(2n)+1 = 4n+1 además: ?2|f de forma que: { (f-1)!} = ±{-1} [4](1/2) (mod p) ?{ (f-1)!} = ±{-1}( {-1} [2] (mod p) syss: p es primo. entonces ha de existir un elemento a? (1,p-1) / ±a = {-1}(-1/2) (mod p) demostración: ?{±a}2={-1}{ 1}= {-1} (mod p) Pero sabemos por el apartado iv) (pág. 3) [siendo p primo] que: si p = 1 (mod 4) ý m es un residuo cuadrático en (Z/p), entonces (-m) es también un residuo cuadrático en (Z/p), ý como es trivial que 1 es un residuo cuadrático (1 es cuadrado perfecto) en ( Z/p) ? -1 también lo es. Por tanto ? a? (1,p-1) / ±a = {-1}{-1/2}(mod p) QED.

– ( +1) 1/2 1/2 – +1) +1) 1/2 -1 1/2 – +1) +1) 1/2 -1 Corolario 2do) De la proposición 8va. (pág 18) teníamos que: (f-1)! = (-1) [2]{±e} 1 (mod p) syss: p es primo. ? siendo: ±e = ({-1} + p • n) ? Z caso i) f? impar (? p = 3 (mod 4) ) ?(f-1)! = -2{±e}-1 (mod p) ?(f-1)! = -2{({-1}( ?(f-1)! = -2{({-1}( + p • n) } 1 (mod p) ) } (mod p), como (f+1)? par ?(f-1)! = -2{(1)1/2}-1 = -2{(1) -1}1/2 (mod p), ý como 1-1 =1(mod p) ?(f-1)! = -2(1)1/2 (mod p) ?{ (f-1)!}2 = 4 (mod p), syss: p es primo. caso ii) f? par (? p = 1 (mod 4) ) ?(f-1)! = 2{±e}-1 (mod p) ?(f-1)! = 2{({-1}( ?(f-1)! = 2{({-1}( + p • n) } 1 (mod p) ) } (mod p), como (f+1)? impar ?(f-1)! = 2{(-1)1/2}-1 = 2{(-1)-1}1/2 (mod p), ý como -1-1 =-1(mod p) ?(f-1)! = -2(-1)1/2 (mod p) ?{ (f-1)!}2 = -4 (mod p), syss: p es primo. Inciso: Si p es primo. por lo general: (f-1)! = 0 (mod p) excepto casos, como p = 9 que no es primo / (f=4) ? (f-1)! = 3! = 6 (mod p). Proposición 10ma) i) Denotaremos por f = ? + r , f,?,r? N / de forma trivial resulta que: p = 2f+1 = 2?+{2r+1}

( +1) 1/2 ii) Busquemos el valor ? -1 / 2? = -{2r+1} (mod p) ?? = -2-1 • {2r+1} (mod p), trivialmente se resuelve que: ? ? -1 = -2 • {2r+1}-1 (mod p) Nota: el valor: {2r+1}-1 (mod p) puede no resultar factible en su obtención, pero será innecesaria la resolución del mismo para nuestros procedimientos. // iii) de la proposición 4ta. (pág 13) resultaba que: (f)! =±e (mod p) syss: p es primo. siendo ±e = ({-1} + p • n) ? Z del aptdo ii. anterior resultará equivalente que: (f)! = (?+r)! = [?+r](?+r-1)! = ±e (mod p), syss: p es primo. iv) Sea [?+r-?] , ?? N, aplicando ? -1 / (? -1 = -2 • {2r+1}-1 (mod p) aptdo ii.) obtendremos equivalentemente que: ?-1[?+r-?] = 1+? -1(r-?) (mod p) ? ?-1[?+r-?] = 1+(-2){2r+1}-1(r-?) (mod p) ? ?-1[?+r-?] = 1+{2r+1}-1(-2r+2?) (mod p) ? ?-1[?+r-?] = 1+{2r+1}-1(-2r-1+2?+1) (mod p), ({2r+1}-1(-2r-1) = -1* mod p) ? ?-1[?+r-?] = 1-1*+{2r+1}-1(+2?+1) (mod p) ? ? -1[?+r-?] = {2r+1}-1(+2?+1) (mod p), ?p? N Proposición 11ra) teníamos del aptdo iii) de la proposición anterior que: (f)! = (?+r)! = [?+r](?+r-1)! = ±e (mod p), syss: p es primo. como: f = ? + r ? f-1 = -2 (mod p) ?(?+r)-1 = f-1 = -2 (mod p) ? [?+r-1]! = -2{±e} (mod p), syss: p es primo. ° De forma equivalente tenemos que: [?+r-1*](?+r-2)! = -2{±e} (mod p), syss: p es primo. ?1=1* (? definida en aptdo iv) proposición anterior)

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