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Estudio de fonones en el grafeno mediante la aproximación streching-bending

Enviado por darksideofthemoon

    edu.red El modelo Identificación de las celdas unidad con dos átomos base. Vectores de la red de Bravais. Elección correcta del sistema de coordenadas.

    edu.red El modelo a1 y a2 son vectores de Bravais Los vectores base del espacio recíproco, b1 y b2 cumplen ? ? bi . a j = 2pdij

    edu.red El modelo Consideramos además las mismas masas m, y unas constantes k iguales para todos los átomos

    edu.red 2 Aproximación de “streching” A partir de la U del sistema, podemos encontrar las entradas de la matriz dinámica Esto nos permitirá resolver la ecuación de autovalores ? ? ? ? D ( q ) ? = M ? ( q ) ? Es un problema de diagonalización de D(q)

    edu.red ? ? ? j j ?< i , ? 1 ? ? ? ? 2 2 La U del sistema En la aproximación de “streching” U = 1 2 ? ?> k ? (s i – s )· rij ? 2 Cuando consideremos también el “bending”, se añade un término 2 U = ?(ks – kb )?(si – s j )· rij ? + kb si – s j

    edu.red Resolución analítica para el streching Una vez desarrollada la U, hallamos las entradas de las matrices D(R) ? Dµ? (R – R' ) = ? 2U ?uµ (R)?u? (R' ) D(q) será una matriz hermítica del tipo ? D ( q ) = ? e iqR ? D ( R ) R

    edu.red Frecuencias: Relación de dispersión Analíticamente se obtienen los autovalores ?1 = 0 ? 2 = 3k m 2 3k k m?3 = + 2 2 2 3k k m?4 = – 2 2 3 + 2(cos(q.a1 ) + cos(q.a2 ) + cos(q.(a1 – a2 ))) 3 + 2(cos(q.a1 ) + cos(q.a2 ) + cos(q.(a1 – a2 )))

    edu.red Representación gráfica Nos hemos movido en la 1a zona de Brillouin: parametrización del recorrido.

    edu.red Un plot en 3D Es una representación en el espacio recíproco ¿Qué nos indica que ?1 = 0? Debemos mejorar el modelo con el bending

    edu.red El problema numérico El considerar bending añade un término que hace que los autovalores de D(q) sean “imposibles” de obtener de manera analítica Empleo de un método numérico para resolver D(q): consiste en parametrizar q a lo largo de los recorridos

    edu.red El problema numérico Necesitamos expresar las coordenadas de q en la base ? ? ? ? ?b1 , b2 ? ? ? Numéricamente, los valores de q en cada recorrido vienen dados por un parámetro. En la i-ésima iteración ? qi = a q El bending añade nuevos términos k b = k s k b a las D(R). Además

    edu.red Relación de dispersión SB

    edu.red Relación de dispersión SB Podemos ir cambiando kb

    edu.red Caso del nitruro de boro Consiste en un material de una sola capa de átomos de N y B en la misma proporción, también dispuestos en red hexagonal. Ahora, la celda unidad tiene dos masas distintas, m1 y m2. Problema de autovalores generalizado. ? ? ? ? D(q)? = M ?2 (q)?

    edu.red 1 2 1 1 1 1 Problema de autovalores generalizado Sabemos resolverlo con la matriz raíz cuadrada ? M = Rdiag ( m1 , m 2 …) R t ? – 2 ? ? – 2 Matriz hermítica definida positiva Se resuelve el problema generalizado ? – 2 ? ? – 2 (M D(q) M M D(q) M 1 1 ? 2 ? ? 2 ? )(M ? i ) = ?i2 (M ? i )

    edu.red Relación de dispersión del nitruro de boro

    edu.red Comparación con el grafeno Grafeno Nitruro de Boro

    edu.red Simulaciones Veremos los desplazamientos en la celda unidad de los átomos Modos acústicos y ópticos Se representa en un punto de la zona de Brillouin, concretamente, uno elegido al azar del 2º recorrido

    edu.red Simulaciones También nos interesa el desplazamiento de la red en conjunto Es una convolución de los movimientos de cada celda unidad, modulados por un factor de fase e ikR para cada celda El programa también selecciona un punto arbitrario de la primera zona de Brillouin Representación del 2º modo óptico

    edu.red Referencias Ashcroft, Neil W, Mermin, David N, “Solid state physics”, College edition Efthimios Kaxiras, “Atomic and electronic structure of solids”, Cambridge University Press