Ecuaciones diferenciales de segundo orden
Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma
Si
se llama Ecuación homogénea, como por ejemplo
Si 
se llama Ecuación no homogénea, como por ejemplo
1) DEFINICIÓN DE INDEPENDENCIA LINEAL
Se dice que las funciones 
son linealmente independientes si la única solución de la ecuación
Donde 
En caso contrario, las funciones son linealmente dependientes.
Ejemplos:
1) Las funciones 
; 
para ser linealmente independientes debe cumplir
Remplazando los valores de las funciones se obtiene
Como los únicos valores posibles de 
para que cumpla la igualdad es 
entonces las funciones ; son linealmente independientes
2) Las funciones 
; 
para ser linealmente independientes debe cumplir
Remplazando los valores de las funciones se obtiene
Como uno de los posibles valores de para que cumpla la igualdad pueden ser 
entonces las funciones ; son linealmente dependientes
Si 
son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial
, entonces, la solución general es
Donde son las constantes
Además por ser ecuación diferencial de segundo orden se tiene soluciones de la forma
Entonces
Remplazando en se tiene
Factorando
Como 
nunca se anula, es una solución si y solo si 
Ejemplo ilustrativo
Resolver la ecuación diferencial 
Solución:
Se obtiene la ecuación característica, para lo cual se sustituye 
por 
, 
por 
, e 
por 1 para obtener una ecuación de la forma
Por lo tanto la ecuación característica de es 
Resolviendo la ecuación se tiene 
Entonces
Que son las soluciones particulares de la ecuación diferencial
Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes la solución general es
Graficando para valores arbitrarios 
se tiene
Para comprobar la respuesta, se deriva la función, para lo cual en GeoGebra
a) Al escribir Derivada en Entrada se despliega algunas opciones.
b) Se escoge la opción Derivada[(Función)]
c) Escribir f(x)
d) Enter. Clic en la círculo de g(x) para que se borre la gráfica de g(x).
Para calcular la segunda derivada de f(x), se deriva g(x) y se obtiene 
Para comprobar que 
es la solución de
Reemplazando valores en
Eliminando denominadores
Eliminando paréntesis
Reducción de términos semejantes
Como se quería comprobar
2) ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
Una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes constantes es de la forma:
La ecuación característica o auxiliar es de la forma
Como se observa la ecuación auxiliar es una ecuación cuadrática cuyas raíces se las puede determinar empleando la fórmula general
Por tanto es necesario recordar la solución de una ecuación cuadrática donde se pueden presentar tres casos.
1) Primer caso: raíces reales y diferentes
Discriminante positivo 
Entonces 
son raíces reales y diferentes. En este caso se dice que existen dos soluciones particulares o fundamentales
La solución General estaría dada por la combinación lineal de las soluciones fundamentales
Ejemplo 1
Resolver la ecuación diferencial 
Solución:
La ecuación característica o auxiliar es
Al resolver la ecuación auxiliar se tiene
Luego las soluciones particulares son
Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes, la solución general es
Ejemplo 2
Resolver la ecuación 
para 
Solución
La ecuación auxiliar es
Resolviendo la ecuación anterior
Luego las soluciones particulares son
Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes, la solución general es
Remplazando la primera condición 
en la solución general
Para remplazar la segunda condición 
se deriva la solución general
Remplazando
Resolviendo el sistema
Remplazando los valores encontrados en la solución general, se obtiene la solución particular
Graficando la solución particular se tiene
2) Segundo Caso: Soluciones reales e iguales
Discriminante cero 
Entonces son raíces reales e iguales. En este caso la solución general es
Ejemplo:
Resolver la ecuación diferencial 
Solución:
La ecuación característica o auxiliar es 
Al resolver la ecuación auxiliar se tiene
Luego la solución general es
3) Tercer caso: raíces complejas
Discriminante negativo 
Entonces 
son raíces complejas conjugadas.
Remplazando en tenemos:
Multiplicación de igual base
Factor Común
Como 
y 
Remplazando
Operando
Factorando
Como 
y 
Finalmente se obtiene la solución general
Ejemplo 1:
Resolver la ecuación diferencial 
Solución:
La ecuación característica o auxiliar es 
Resolviendo la ecuación auxiliar
Como
La solución general es
Graficando para un valor arbitrario de 
se tiene
Ejemplo 2
Solución:
La ecuación auxiliar es 
Resolviendo la ecuación auxiliar
Remplazando en
Remplazando la primera condición en la solución general
Para remplazar la segunda condición 
se deriva la solución general
Remplazando en la solución general
3) ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
Una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes y término F(x) variable es de la forma
La solución general es una combinación lineal de dos tipos de soluciones, una solución complementaria 
y una solución particular 
La solución complementaria satisface la ecuación homogénea
Esta ecuación se la puede resolver empleando los procesos antes mencionados para la ecuación homogénea de coeficientes constantes
La solución particular satisface la ecuación no homogénea
Esta ecuación se la puede determinar empleando el llamado método de los coeficientes indeterminados.
En estas condiciones, de acuerdo a la forma de 
la solución particular tiene los siguientes casos
1) Si 
entonces,
Ejemplos:
Si 
entonces,
Si 
entonces,
2) Si 
entonces,
Ejemplos:
Si 
entonces,
Si 
entonces,
Si 
entonces,
3) Si 
, entonces
Ejemplos:
Si 
, entonces,
Si 
, entonces,
Si 
, entonces,
Si 
entonces,
Ejemplos ilustrativos
Ejemplo 1
Hallar la solución general de 
Solución:
La solución general es de la forma
a) Resolviendo
La solución complementaria debe satisfacer la ecuación homogénea, es decir,
La ecuación auxiliar es 
Resolviendo la ecuación auxiliar
Remplazando en
b) Resolviendo
Como entonces
La solución particular debe satisfacer la ecuación no homogénea, es decir,
Calculando la primera y segunda derivada para
Remplazando en
Eliminando paréntesis
Agrupando
Como los dos polinomios son iguales, sus coeficientes deben ser iguales, entonces
Resolviendo el sistema. Despejando de la primera ecuación 
Remplazando el valor de A en la segunda ecuación 
Remplazando valores en la tercera ecuación 
Por lo tanto al remplazar en se tiene
Finalmente la solución general es
Ejemplo 2
Hallar la solución general de
Solución:
La solución general es de la forma
a) Resolviendo
La solución complementaria debe satisfacer la ecuación homogénea, es decir,
La ecuación auxiliar es 
Resolviendo la ecuación auxiliar
Luego las soluciones particulares son
Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes, la solución general es
b) Resolviendo
Como 
entonces 
La solución particular debe satisfacer la ecuación no homogénea, es decir,
Calculando la primera y segunda derivada para
Remplazando en
Igualando los coeficientes se tiene
Resolviendo el sistema
Remplazando los valores encontrados en
Finalmente la solución general es
