, de donde;
, que es una ecuación de segundo grado con coeficientes complejos la cual es resoluble;
, de modo que;
(9)
, es la solución a la ecuación (3), de aquí es posible deducir todas las soluciones, después de mucho intentos infructuosos es posible, dudar acerca de la valides de la ecuación bien que es un método de resolución legitimo, es posible asimismo resolver la ecuación completa, si la ecuación es;
(10)
, haciendo;
, llegamos al siguiente sistema de ecuaciones;
, de manera que;
(11) 
, que es la resolvente de sexto grado de la ecuación de cuarto análogamente;
, de aquí se llega a la ecuación;
(12) 
, de manera que mediante este método es posible resolver la ecuación general de cuarto grado, un corolario interesante de esta ecuación es que es posible mediante la primera ecuación demostrar que una ecuación de la forma (3) posee por lo menos dos soluciones conjugadas complejas, si la ecuación de cuarto se expresa mediante coeficientes reales.
Entiendo que sea un poco complicado, de resolver, debido a la introducción de números complejos, aquí presento un M file para ser utilizado con el programa Matlab, o cualquiera de otras versiones de software libre que lo emulan;
% Programa para el calculo de la raíces de la ecuación
%
% x^4 + ax^2 + bx + c = 0
%
% Autor: Gaddy Alcalá
% Fecha: 07/08/2008
%
%
a = input('a = ');
b = input('b = ');
c = input('c = ');
p = -2*a;
q = a^2 – 4*c;
r = b^2;
u = roots([1;p;q;r]);
u(1) = sqrt(u(1));
v = b/(2*u(1));
% soluciones
x_1 = i*u(1)/2 + sqrt(u(1)^2/4 +i*v – a/2)
x_2 = i*u(1)/2 – sqrt(u(1)^2/4+i*v – a/2)
x_3 = -i*u(1)/2 + sqrt(u(1)^2/4-i*v – a/2)
x_4 = -i*u(1)/2 – sqrt(u(1)^2/4-i*v – a/2)
% Evaluación de las soluciones
x_1^4 + a*x_1^2 + b*x_1 + c
x_2^4 + a*x_2^2 + b*x_2 + c
x_3^4 + a*x_3^2 + b*x_3 + c
x_4^4 + a*x_4^2 + b*x_4 + c
, el programa puede ser mejorado, y operar de esta forma con las transformadas de Tschirnhaussen, o cualquier transformada para llegar a la solución general, nótese que el símbolo "%" en Matlab es una observación, puede pegarse, o puede editarse un M file.
Autor:
Gaddy Alcalá F.
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