Prueba de las Operaciones fundamentales por los Caracteres de Divisibilidad

Euclides[1]hacia el 300 A.C., demostró en sus "Elementos", los teoremas básicos de la divisibilidad de los números enteros, lo que permitió a Gauss[2]en 1801, deducir el teorema fundamental de la Aritmética. Más tarde, alrededor de 1875, el matemático alemán Dedekind[3](1831 – 1916), llevo a cabo la generalización de los caracteres de divisibilidad extendiéndolos a los números racionales y a los ideales.

Los caracteres de divisibilidad, principalmente por 9 y por 11, se aplican a la prueba de las operaciones fundamentales, constituyendo lo que se llama prueba del 9 y prueba del 11.

Para ello hay que tener presente que el residuo de dividir un numero entre 9 se obtiene dividiendo entre 9 la suma de los valores absolutos de las cifras del numero y que el residuo de dividir un numero entre 11 se obtiene dividiendo entre 11 la diferencia entre la suma de los valores absolutos de las cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de las cifras de lugar par del numero.

En ala practica, para hallar el residuo de dividir un número entre 9 o exceso sobre 9 del numero, se suma cada cifra con la siguiente, restando 9 cada vez que la suma sea 9 o mayor que 9, y si alguna cifra del numero es 9, no se tiene en cuenta.

Así, para hallar el residuo de dividir 64975 entre 9, diremos:

• 6 y 4, 10 (6 + 4 = 10);

• menos 9, 1 (10 – 9 = 1);

• 1 y 7, 8 (1 + 7 = 8) (el 9 no se toma en cuenta);

• 8 y 5, 13 (8 + 5 = 13);

• menos 9, 4 (13 – 9 = 4).

El residuo de dividir el número entre 9 es 4.

Suma

Prueba del 9

Se halla el residuo entre 9 de cada sumando; el residuo entre 9 de la suma de estos residuos tiene que ser igual, si la operación está correcta, al residuo entre 9 de la suma total.

Ejemplo:

Prueba del 11

El procedimiento es semejante. Así, en el ejemplo anterior, tendremos:

Resta

El minuendo de una resta es la suma de los sumandos, que son el sustraendo y la diferencia. Por tanto, podemos aplicar, para probar la resta, la regla dada para probar la suma, considerando como sumandos el sustraendo y la diferencia y como suma total el minuendo.

Prueba del 9

Se halla el residuo entre 9 del sustraendo y de la diferencia; el residuo entre 9 de la suma de estos residuos tiene que ser igual, si la operación está correcta, al residuo entre 9 del minuendo.

Ejemplo:

Prueba del 11

El procedimiento es semejante. Así, en el ejemplo anterior, se tendrá:

Multiplicación

Se hallar el residuo entre 9 del multiplicando y del multiplicador; el residuo entre 9 del producto de estos residuos tiene que ser igual, si la operación está correcta, al residuo entre 9 del producto total.

Prueba del 9

En la práctica la operación suele disponerse como se indica a continuación:

Prueba del 11

En el ejemplo anterior se tendrá:

División

Como el dividendo de una división exacta es el producto de dos factores que son el divisor y el cociente, para probar una división exacta, aplicaremos la regla dada para probar un producto considerando como factores el divisor y el cociente y como producto el dividendo.

Si la división es inexacta, el dividendo es la suma de dos sumandos que son el producto del divisor por el cociente y el residuo; luego, podremos aplicar la regla anterior y la regla dada para la suma.

Prueba del 9

Ejemplo:

Prueba del 11

El procedimiento es semejante, pero hallando los residuos entre 11, del modo como se han hallado antes.

Así, en el ejemplo anterior tendremos:

Garantía de estas pruebas

Es relativa. Si la prueba no cumple los requisitos que se han indicado en cada caso, podemos tener la seguridad de que la operación está mal, pero si la prueba da bien, no podemos tener la seguridad de que la operación está correcta, pues las cifras pueden estar mal halladas, pero ser la suma de sus valores absolutos igual a la de las cifras correctas, y la prueba dar bien.

Además, en la prueba del 9 no se atiende al lugar que ocupan las cifras, así que teniendo cifras iguales a las correctas, pero en distinto orden, la prueba dará bien. La prueba del 11, por tener en cuenta el lugar de las cifras, es de más garantía que la del 9, pero es mucho más laboriosa.

Autor:

Raquel Maria Oliveira Pinto

[1] Euclides – fue un matem?tico y ge?metra griego (325 a. C.- 265 a. C.). Se le conoce como "El Padre de la Geometr?a".

[2] Johann Carl Friedrich Gauss (naci? en Brunswick, 30 de abril de 1777 ? muri? en Gotinga, 23 de febrero de 1855) fue un matem?tico, astr?nomo, geodesta, y f?sico alem?n que contribuy? significativamente en muchos campos, incluida la teor?a de n?meros, el an?lisis matem?tico, la geometr?a diferencial, la estad?stica, el ?lgebra, la geodesia, el magnetismo y la ?ptica. Considerado ?el pr?ncipe de los matem?ticos? y ?el matem?tico m?s grande desde la antig?edad?, Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matem?tica y de la ciencia, y es considerado uno de los matem?ticos que m?s influencia ha tenido en la Historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.

[3] Julius Wilhelm Richard Dedekind (6 de octubre de 1831 – 12 de febrero de 1916) fue un matem?tico alem?n. aprendi? matem?ticas en los departamentos de matem?ticas y f?sica de la Universidad de Gotinga., siendo uno de sus principales profesores Moritz Abraham Stern, y tambi?n f?sica de la mano de Wilhelm Eduard Weber.