Solución en forma cerrada de un problema de valor inicial de orden n

Resumen

Este artículo presenta un método simple para encontrar la solución general de una ecuación de orden n en forma cerrada usando de integrales anidadas.

Abstract

This paper presents a simple method to find the general solution of an equation of order n in closed form by using of nested integrals.

Palabras claves: Problemas de valor inicial, Integrales anidadas .

Keys words: Initial value problems, Nested integrals.

Introducción

Para su demostración ver (ver [G. Shilov]).

En particular, se resolverá el PVI (2) integrando repetidamente (n veces) la ecuación (2) y usando las condiciones iniciales dadas. En cada paso se usará la ecuación (1) para llegar a la solución general en forma cerrada, esto es, la obtención de una formula.

Demostración

Para su demostración integraremos repetidamente la ecuación (2) y usaremos la igualdad integral (1)

En efecto, integrando con respecto a x la ecuación (2) se obtiene:

Integrando nuevamente con respecto a x en ambos miembros de la ecuación anterior (6), tenemos:

Observar que si se integra nuevamente la ecuación anterior, se tiene:

Nota: la integral que aparece en el lado derecho puede ser ahora resuelta por integración por partes.

Ejemplo 1. Resolver el PVI:

Luego aplicando la fórmula de integración por partes

Aplicando dos veces integración por partes en el primer término del segundo miembro de la ecuación, tenemos

Ejemplo 3. Resolver el PVI:

Ejemplo 4. Resolver el PVI:

Conclusiones

Al resolver un problema de valor inicial se encontró la solución general en forma cerrada de un tipo de ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden junto n valores iniciales. En cualquier caso, para su solución deberá hacerse uso de la integración por partes.

Bibliografía

[1] Chilov, G. E. Analyse Mathématique, Fonctions de plusieurs variables réelles, Éditions Mir, moscou, 1975.

[2] García J. O,Villegas G. ,J. Castaño B., Sánchez C., J. A. Ecuaciones Diferenciales. Fondo Editorial Universidad EAFIT, 2010.

Autor:

José Albeiro Sánchez Cano

Departamento de Ciencias Básicas_ Universidad EAFIT

P. O. Box 3300, Medellin, Colombia.