Estadística I. Cuadernillo de apoyo (página 3)

Contrastes para la varianza

Consideremos que el carácter que estudiamos sobre la población sea una v.a. normal cuya media y varianza son desconocidas. Vamos a contrastar la hipótesis:

Frente a otras hipótesis alternativas que podrán dar lugar a contrastes bilaterales o unilaterales. La técnica consiste en utilizar el teorema de Cochran, para observar que el siguiente estadístico experimental que utiliza el estimador insesgado de la varianza, posee una distribución x2, con n-1 grados de libertad:

Entonces construimos las regiones críticas que correspondan a las hipótesis alternativas que se formulen en cada caso atendiendo a la ley de distribución x2.

Contraste bilateral

Cuando el contraste a realizar es

Definimos

Y el criterio que suministra el contraste es el expresado en la figura 9.9:

Contrastes unilaterales

Para un contraste de significación al nivel del tipo

Se tiene que el resultado del mismo es el que refleja la figura 9.10:

Para el contraste contrario tenemos la formulación análoga (cf. figura 9.11):

Calculamos el extremo inferior de la región crítica en una tabla de la distribución x2n-1

Contrastes sobre la diferencia de proporciones

Supongamos que tenemos dos muestras independientes tomadas sobre dos poblaciones, en la que estudiamos una variable de tipo dicotómico (Bernoulli):

Si X1 y X2 contabilizan en cada caso el número de éxitos en cada muestra se tiene que cada una de ellas se distribuye como una variable aleatoria binomial:

De modo que los estimadores de las proporciones en cada población tienen distribuciones que de un modo aproximado son normales (cuando n1 y n2 son bastante grandes)

El contraste que nos interesa realizar es el de si la diferencia entre las proporciones en cada población es una cantidad conocida

Si H0 fuese cierta se tendría que

Desafortunadamente ni p1 ni p2 son conocidos de antemano y utilizamos sus estimadores, lo que da lugar a un error que es pequeño cuando los tamaños muestrales son importantes:

Contraste bilateral

El contraste bilateral sobre la diferencia de proporciones es

Entonces se define

Y se rechaza la hipótesis nula si o si

Contrastes unilaterales

En el contraste

Se rechazará H0 si . Para el test contrario

Se rechaza H0 si .

Problemas

En todos los problemas que siguen a continuación, se supone que las muestras han sido elegidas de modo independiente, y que las cantidades cuantitativas que se miden, se distribuyen de modo gaussiano. En temas posteriores se verá cómo contrastar si estas premisas pueden ser aceptadas o no al examinar las muestras.

Ejercicio 1. El calcio se presenta normalmente en la sangre de los mamíferos en concentraciones de alrededor de 6 mg por cada 100 ml del total de sangre. La desviación típica normal de ésta variable es 1 mg de calcio por cada 100 ml del volumen total de sangre. Una variabilidad mayor a ésta puede ocasionar graves trastornos en la coagulación de la sangre. Una serie de nueve pruebas sobre un paciente revelaron una media muestral de 6,2 mg de calcio por 100 ml del volumen total de sangre, y una desviación típica muestral de 2 mg de calcio por cada 100 ml de sangre. ¿Hay alguna evidencia, para un nivel α=0.05, de que el nivel medio de calcio para este paciente sea más alto del normal?

Ejercicio 2. El número de accidentes mortales en una ciudad es, en promedio, de 12 mensuales. Tras una campaña de señalización y adecentamiento de las vías urbanas se contabilizaron en 6 meses sucesivos 8, 11, 9, 7, 10 , 9 accidentes mortales. ¿Fue efectiva la campaña?

Ejercicio 3. El promedio de las puntuaciones de un número elevado de alumnos de Bioestadística es de 6,50. Un determinado año se examinaron 50 alumnos con resultados promedio de 7,25 y desviación típica de 1. ¿Variaron las calificaciones?

Ejercicio 4. El peso medio de mujeres de 30 a 40 años es de 53 kg. Un estudio realizado en 16 mujeres de tales edades que siguen una dieta vegetariana da y . ¿Modifica la dieta el peso medio?

Ejercicio 5. Una población infantil se dice que es susceptible de recibir una campaña de educación e higiene si su porcentaje de niños con dientes cariados es superior al 15%. Una población con 12.637 niños, ¿debe hacerse la campaña si de 387 de ellos 70 tenían algún diente cariado?

Ejercicio 6. Un 8% de los individuos que acuden a un servicio sanitario son hiperutilizadores del mismo (más de 11 visitas al año) y, de entre ellos, un 70% son mujeres. De entre los no hiperutilizadores, son mujeres el 51%. ¿Puede afirmarse que han variado los hábitos de éstas si, tras una campaña de información y control de visitas, de 90 mujeres elegidas al azar 6 resultaron hiperutilizadoras?

Ejercicio 7. Se conoce que un 20% de los individuos tratados crónicamente con digoxina sufren una reacción adversa por causa de ella. A 10 pacientes se les administró durante largo tiempo digoxina más otros medicamentos, y de ellos 5 desarrollaron la reacción adversa. ¿Puede afirmarse que la asociación entre la digoxina y los otros medicamentos hace variar el número de reacciones adversas?

Ejercicio 8. Para comprobar si un tratamiento con ácidos grasos es eficaz en pacientes con eczema atípico, se tomaron 10 pacientes con eczema de más de 9 meses y se les sometió durante 3 semanas a un tratamiento ficticio (placebo) y durante las tres siguientes a un tratamiento con ácidos grasos. Tras cada periodo, un médico ajeno al proyecto evaluó la importancia del eczema en una escala de 0 (no eczema) a 10 (tamaño máximo de eczema).

Los datos fueron los siguientes:

¿Es eficaz el tratamiento?

Ejercicio 9. En un programa de Control de Enfermedades Crónicas, la hipertensión está incluida como la primera patología a controlar. 15 pacientes hipertensos son sometidos al programa y controlados en su tensión asistólica antes y después de 6 meses de tratamiento. Los datos son los siguientes:

¿Es efectivo el tratamiento?

Ejercicio 10. Muchos autores afirman que los pacientes con depresión tienen una función cortical por debajo de lo normal debido a un riego sanguíneo cerebral por debajo de lo normal. A dos muestras de individuos, unos con depresión y otros normales, se les midió un índice que indica el flujo sanguíneo en la materia gris (dado en mg/(100g/min))obteniéndose:

¿Hay evidencia significativa a favor de la afirmación de los autores?

Ejercicio 11. Por fistulización se obtuvo el pH de 6 muestras de bilis hepática con los siguientes resultados:

7,83; 8,52; 7,32; 7,79; 7,57; 6,58

Se desea saber al nivel de significación del 0,05 si la bilis hepática puede considerarse neutra. Si se conociera σ=0.5, Ώqué decisión tomaríamos?

Ejercicio 12. La prueba de la d-xilosa permite la diferenciación entre una esteatorrea originada por una mala absorción intestinal y la debida a una insuficiencia pancreática, de modo que cifras inferiores a 4 grs. de d-xilosa, indican una mala absorción intestinal. Se realiza dicha prueba a 10 individuos, obteniéndose una media de 3,5 grs. y una desviación típica de 0'5 grs. ¿Se puede decir que esos pacientes padecen una mala absorción intestinal?

Ejercicio 13. La eliminación por orina de aldosterona está valorada en individuos normales en 12 mgs/24 h. por término medio. En 50 individuos con insuficiencia cardíaca se observó una eliminación media de aldosterona de 13 mgs/24 h., con una desviación típica de 2,5 mgs/24 h.

1. ¿Son compatibles estos resultados con los de los individuos normales?

2. ¿La insuficiencia cardiaca aumenta la eliminación por orina de aldosterona?

Ejercicio 14. La tabla siguiente muestra los efectos de un placebo y de la hidroclorotiacida sobre la presión sanguínea sistólica de 11 pacientes.

Según estos datos experimentales, ¿podemos afirmar que existe diferencia en la presión sistólica media durante la utilización de estos dos fármacos?

Ejercicio 15. Se sabe que el 70% de los pacientes internados en un hospital traumatológico requieren algún tipo de intervención quirúrgica. Para determinar si un nuevo método de fisioterapia reduce el porcentaje de intervenciones, se aplica éste a 30 pacientes de los cuales 17 requieren alguna intervención quirúrgica. Comprobar que no hay razones suficientes para afirmar la eficacia del método con un nivel de confianza del 95%.

Ejercicio 16. De un estudio sobre la incidencia de la hipertensión en la provincia de Málaga, se sabe que en la zona rural el porcentaje de hipertensos es del 27,7%. Tras una encuesta a 400 personas de una zona urbana, se obtuvo un 24% de hipertensos.

1. ¿Se puede decir que el porcentaje de hipertensos en la zona urbana es distinto que en la zona rural?

2. ¿Es menor el porcentaje de hipertensos en la zona urbana que en la zona rural?

Ejercicio 17. Con cierto método de enseñanza para niños subnormales se obtiene una desviación típica de 8, en las puntuaciones de los tests finales. Se pone a prueba un nuevo método y se ensaya en 51 niños. Las calificaciones obtenidas en los tests finales dan una desviación típica de 10. ¿Puede asegurarse que el nuevo método produce distinta variación en las puntuaciones?

Ejercicio 18. Se desea comparar la actividad motora espontánea de un grupo de 25 ratas control y otro de 36 ratas desnutridas. Se midió el número de veces que pasaban delante de una célula fotoeléctrica durante 24 horas. Los datos obtenidos fueron los siguientes:

¿Se observan diferencias significativas entre el grupo control y el grupo desnutrido?

Ejercicio 19. Se pretende comprobar la hipótesis expuesta en algunos trabajos de investigación acerca de que la presencia del antígeno AG-4 está relacionada con un desenlace Con éste fin, se hizo una revisión sobre las historias clínicas de 21 mujeres muertas por carcinoma de cuello uterino, observando que 6 de ellas presentaban el citado antígeno. Por otro lado y con fines de comparación se tomó otra muestra de 42 personas, con edades similares a las del grupo anterior y que reaccionaron bien al tratamiento del carcinoma de cuello uterino, en 28 de las cuales se observó la presencia del citado antígeno. ¿Está relacionada la presencia del antígeno con una efectividad del tratamiento?

Ejercicio 20. Se quiso probar si la cirrosis de hígado hacia variar el índice de actividad de la colinesterasa en suero. Se eligieron dos muestras aleatorias e independientes de individuos. Los resultados fueron:

La cirrosis de hígado, ¿hace variar el índice de la colinesterasa en suero?

Ejercicio 21. Un investigador ha realizado el siguiente experimento: Tomó una primera muestra de 25 pacientes que padecían cierto síntoma y otra segunda muestra de 30 pacientes con el mismo síntoma. A los de la primera muestra les aplicó un tratamiento específico y a los de la segunda les dio un placebo.

Anotó el tiempo en horas en que cada uno dijo que el síntoma había desaparecido y obtuvo los siguientes resultados:

¿Puede concluir el investigador que el tratamiento es realmente efectivo?

Ejercicio 22. Para comprobar si la tolerancia a la glucosa en sujetos sanos tiende a decrecer con la edad se realizó un test oral de glucosa a dos muestras de pacientes sanos, unos jóvenes y otros adultos. El test consistió en medir el nivel de glucosa en sangre en el momento de la ingestión (nivel basal) de 100 grs. de glucosa y a los 60 minutos de la toma. Los resultados fueron los siguientes:

Jóvenes:

Adultos:

1. ¿Se detecta una variación significativa del nivel de glucosa en sangre en cada grupo?

2. ¿Es mayor la concentración de glucosa en sangre a los 60 minutos, en adultos que en jóvenes?

3. El contenido basal de glucosa en sangre, ¿es menor en jóvenes que en adultos?

4. ¿Se detecta a los 60 minutos una variación del nivel de glucosa en sangre diferente de los adultos, en los jóvenes?

UNIDAD: PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE

Pruebas de tablas de contingencias

En muchas ocasiones, los n elementos de una muestra de población pueden clasificarse de acuerdo con dos criterios diferentes. Por ello interesa conocer si los dos métodos de clasificación son estadísticamente independientes; por ejemplo, podemos considerar la población de ingenieros graduado y tal vez deseemos determinar si el salario inicial es independiente de las disciplinas académicas.

Supóngase que el primer método de clasificación tiene r niveles y que el segundo método de clasificación tiene c niveles. Sea oij la frecuencia observada para el nivel i del primer método de clasificación y el nivel j del segundo método de clasificación. Los datos aparecerían, en general, como en la tabla. Una tabla de tales características se llama comúnmente tabla de contingencia r X c.

Estamos interesados en probar la hipótesis de que los métodos de clasificación de renglón y de columna son independientes. Si rechazamos esta hipótesis, concluimos que hay cierta interacción entre los dos criterios de clasificación. Los procedimientos de prueba exactos son difíciles de obtener, pero una estadística de prueba aproximada es valida para n grande. Supóngase las oij como variables aleatorias multinomiales y pij como la probabilidad de que un elemento elegido al azar cae en la celda ijesima, dado que las dos clasificaciones son independientes. Entonces pij = uivj , donde ui es la probabilidad de que un elemento elegido al azar caiga en el renglón de clase i y vj es la probabilidad de que un elemento seleccionado en forma aleatoria caiga en la columna de clase j. Luego, suponiendo independencia, los estimadores de máxima probabilidad de ui y vj son:

ûi = Oij

ûj = Oij

Una tabla de contingencia r X c

Columnas

En consecuencia, el número esperado de cada celda es

Eij = nûivj = Oij Oij

Entonces, para n grande, la estadística

2

X20 = – X2 (r – 1) (c – 1)

Aproximadamente, y rechazaríamos la hipótesis de independencia si

X20 > X2a, (r – 1) (c – 1).

Prueba de bondad de ajuste de ji-cuadrada

El procedimiento de prueba requiere una muestra aleatoria de tamaño n de la variable aleatoria X, cuya función de densidad de probabilidad se desconoce. Estas n observaciones se arreglan en un histograma de frecuencias, teniendo k intervalos de clase. Sea 01 la frecuencia observada en el intervalo de la clase iesimo. De la distribución de probabilidad hipotética, calculamos la frecuencia esperada en el intervalo de clase iesimo, denotada E1. La estadística de prueba es:

X20 =

Puede demostrar que X²0 sigue aproximadamente la distribución ji cuadrada con k-p-1 grados de libertad, donde p representa el numero de parámetros de la distribución hipotética estimada por el medio de estadística de muestra. Esta aproximación se mejora cuando n aumenta. Rechazaríamos la hipótesis de que X se ajusta ala distribución hipotética si X²0>X²α k-p-1

Un punto que debe advertirse en la aplicación de este procedimiento de prueba se refiere ala magnitud de las frecuencias esperadas. Si estas frecuencias esperadas son demasiado pequeñas, entonces X²0 no reflejan la desviación de las observaciones respecto alas esperadas, si no solo las mas pequeñas de las frecuencias esperadas. No hay un acuerdo general en relación con el valor mínimo de las frecuencias esperadas, aunque los valores de 3,4 y 5 se utilizan ampliamente como mínimos. Si la frecuencia esperada es demasiado pequeña, puede combinarse con la frecuencia esperada en un intervalo de clase adyacente. Las frecuencias observadas correspondientes se combinaran también en ese caso, y k se reducirá en 1. No se requiere que los intervalos de clase sean de igual ancho.

Ejemplo

Una distribución completamente especificada Un científico de computadoras ha desarrollado un algoritmo para generar enteros pseudoaleatorios sobre el intervalo 0-9. Codifica el algoritmo y genera 1000 dígitos pseudoaleatorios. Los datos se muestran en la tabla 11-3. ¿Existe evidencia de que el generador de números aleatorios esta trabajando correctamente?

Si esta trabajando de manera correcta, entonces los valores 0-9 deben seguir la distribución uniforme discreta, la cual implica que cada uno de los enteros debe ocurrir exactamente 100 veces. Esto es, las frecuencias esperadas E =100 para I=0,1,….,9 Puesto que estas frecuencias estimadas pueden estimarse sin que sea necesario estimular ningún parámetro a partir de los datos de muestra, la prueba resultante de bondad de ajuste de la ji cuadrada tendrá k-p-1=10-0-1=9 grados de libertad.

Total

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

_______________________________________________________________

Frecuencia

Observada O 94 93 112 101 104 95 100 99 108 94 1000

Frecuencias

Esperada E 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 1000

_______________________________________________________________

El valor esperado de la estadística de prueba es

2 2 2 2

X20 = =

Puesto que X =16.92 no somos capaces de rechazar la hipótesis de que los datos proviene de una distribución uniforme discreta. En consecuencia, el generador de números aleatorios parece estar trabajando en forma satisfactoria.

1. Test de Kolmogorov-Smirnov

   Para la aplicación del test señalado, es necesario determinar la Frecuencia observada acumulada. Para la frecuencia observada en el caso especial de Gumbel, se ordena la información de menor a mayor y se aplica:

   

   Donde:

   Fn (x): frecuencia observada acumulada.

   n: N° total de orden

   N: N° total de datos.

   En el caso de la frecuencia teórica acumulada, ésta se determina a través de la función de Gumbel.

   

   Una vez determinadas ambas frecuencias, se obtiene el supremo de las diferencias entre ambas, en la i-ésima posición de orden, que se denomina D.

   

   Luego, asumiendo un valor de significancia, se recurre a la tabla de valores críticos de D en la prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov, y considerando el tamaño de la muestra, se establece lo siguiente:

   Si D < D tabla, se acepta que (el ajuste es adecuado, con el nivel de confiabilidad asumido.

2. Problemas

Ejercicio 1. Ante la sospecha de que el hábito de fumar de una embarazada puede influir en el peso de su hijo al nacer, se tomaron dos muestras, una de fumadoras y otra de no fumadoras, y se clasificó a sus hijos en tres categorías en función de su peso en relación con los percentiles ρ10 y ρ90 de la población. El resultado se expresa en la tabla siguiente:

¿Hay una evidencia significativa a favor de la sospecha a la vista de los resultados de la muestra?

Ejercicio 2. Varios libros de Medicina Interna recomiendan al médico la palpación de la arteria radial con el fin de evaluar el estado de la pared arterial. Se tomaron 215 pacientes y se les clasificó según la palpabilidad de dicha arteria (grados 0, 1 y 2 para no palpable, palpable y muy palpable o dura, respectivamente) y según una puntuación de 0 a 4 en orden creciente de degeneración arterial (evaluada tras la muerte del paciente y su análisis anatomo-patológico). Los datos son los de la tabla siguiente:

¿Existe relación entre el grado de palpabilidad y el análisis anatomopatológico?

Ejercicio 3. Se realizó una encuesta a 2979 andaluces para evaluar su opinión acerca de la atención recibida en los Ambulatorios de la Seguridad Social, clasificándolos también en relación a sus estudios. Analizar los datos de la siguiente tabla:

Ejercicio 4. Con el fin de conocer si un cierto tipo de bacterias se distribuyen al azar en un determinado cultivo o si, por el contrario, lo hacen con algún tipo de preferencia (el centro, los extremos, etc…), se divide un cultivo en 576 áreas iguales y se cuenta el número de bacterias en cada área.

Los resultados son los siguientes:

¿Obedecen los datos a una distribución de Poisson?

Ejercicio 5. La siguiente tabla recoge la distribución de los triglicéridos en suero, expresados en mg/dl en 90 niños de 6 años:

Contrastar la hipótesis de que el nivel de triglicéridos en niños de 6 años sigue una distribución Normal.

Ejercicio 6. La distribución en Andalucía del grupo sanguíneo es de un 35%, 10%, 6% y un 49% para los grupos A, B, AB y O respectivamente. En Málaga, se realizó el estudio en una muestra de 200 individuos obteniéndose una distribución del 50%, 30%, 18%, y 10% para los grupos A, B AB y O respectivamente. Se desea saber si la distribución del grupo sanguíneo en dicha provincia es igual que en Andalucía.

Ejercicio 7. En un estudio diseñado para determinar la aceptación por una parte de los pacientes de un nuevo analgésico, 100 médicos seleccionaron cada uno de ellos una muestra de 25 pacientes para participar en el estudio.

Cada paciente después de haber tomado el nuevo analgésico durante un periodo de tiempo determinado, fue interrogado para saber si prefería éste o el que había tomado anteriormente con regularidad, obteniendo los siguientes resultados:

Queremos saber si estos datos se ajustan a una distribución binomial.

Ejercicio 8. Disponemos de una muestra de 250 mujeres mayores de 18 años, cuyos pesos son los presentados en la tabla adjunta, y queremos saber si los datos de esta muestra provienen de una distribución Normal.

Ejercicio 9. Deseamos conocer, si las distribuciones atendiendo al grupo sanguíneo, en tres muestras referidas atendiendo al tipo de tensión arterial, se distribuyen de igual manera. Para lo cual, se reunió una muestra de 1500 sujetos a los que se les determinó su grupo sanguíneo y se les tomó la tensión arterial, clasificándose ésta en baja, normal, y alta.

Obteniéndose los siguientes resultados:

Ejercicio 10. La recuperación producida por dos tratamientos distintos A y B se clasifican en tres categorías: muy buena, buena y mala. Se administra el tratamiento "A" a 30 pacientes y B a otros 30: De las 22 recuperaciones muy buenas, 10 corresponden al tratamiento A; de las 24 recuperaciones buenas, 14 corresponden al tratamiento A y de los 14 que tienen una mala recuperación corresponden al tratamiento A. ¿Son igualmente efectivos ambos tratamientos para la recuperación de los pacientes?

TABLAS

BIBLIOGRAFÍA

• MC. ALLISTER. Elementos de Estadística en la economía y los negocios. Primera Edición.Ecasa. México D.F. 1987

• KENNETH D. HPKINS, B.R. HPKINS, GENE V GLASS. Estadística Básica para las Ciencias Sociales y del Comportamiento.Tercera Edición. Ed. Prentice Hall. México D.F. 1997

• P. ARMITAGE, G. BERRY, Estadística para la Investigación Biomédica. Doyma, Barcelona, 1992.

• MARTÍN ANDRÉS, J.D. LUNA DEL CASTILLO, Bioestadística para las Ciencias de la salud. Norma, México D.F. 1994

• R.D. REMINGTON, M.A. SCHORK, Estadística Biométrica y Sanitaria. Prentice Hall International, México D.F., 1979.

• STEEL, TORRIE, Bioestadística (Principios y Procedimientos). Mac Graw-Hill, México D.F., 1985.

• M. TSOKOS, Estadística para Psicología y Ciencias de la Salud. Interamericana Mac Graw-Hill, México D.F., 1989.

• S.L. WEINBERG, K.P. GOLDBERG, Estadística Básica para las Ciencias Sociales. Nueva Editorial Interamericana, Mexico, 1982.

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Y COMPLEMENTARIA

2. Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Administración.HINES, WILLIAM, W. Y DOUGLAS C. MONTGOMERY.ED. CECSA 1986

3. Estadística para Ingenieros.BOWKER ALBERT H. Y LIBERMAN GERALD J. ED. Prentice Hall Hispanoamericana 1981

4. Mathematical Statistics.FREUND JHON E. Ed. Prentice Hall 2da. ed. 1971

5. Probability and Statistics for EngineersWALPOLE, RONALD E. Y RAYMOND H. MYERS.ED. 2nd. ed. 1978 Capítulo 5

6. Estadística Matemática ERWING KREYSZIG.ED. Limusa

7. Estadística para Administración.WILLIAM J. STEVENSON

8. WALPOLE. Probabilidad y Estadísitica para Ingenieros.Sexta Edición. Prentice Hall.

Autores

Alejandrina Ruby Hipólito Picazo

Arturo Pérez Esparza

Lucero Daniela Hernández Adriano

Darío Castillo

Mónica Alejandra Zamago Grimaldo

Eduardo Hernández

Ruth Isaura Hernández Lara

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Juan De Dios González Riquejo

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Heriberto

3° Semestre de Ingeniería Industrial

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