1. Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?
Solución
Es un problema de programación lineal.
Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A
Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B
| inversión | rendimiento |
Tipo A | x | 0,1x |
Tipo B | y | 0,08y |
210000 0,1x+0,08y
Condiciones que deben cumplirse (restricciones):
R1
R2 
R3 
R4 
Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la región factible (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones)
r1 r2 (paralela a OY) r3(paralela a OX) r4
x | y |
| x | y |
| x | y |
| x | y | ||||||||||
0 | 210000 |
| 130000 | 0 |
| 0 | 60000 |
| 0 | 0 | ||||||||||
210000 | 0 |
|
|
|
|
|
|
| 130000 | 65000 | ||||||||||
La región factible es la pintada de amarillo, de vértices A, B, C, D y E
A(0, 60000), B(120000, 60000), C(130000, 65000), D(130000, 80000) y E(0, 210000)
F(x, y)= 0,1x+0,08y
Si dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la desplazamos se puede comprobar gráficamente que el vértice mas alejado es el D, y por tanto es la solución óptima.
Comprobarlo analíticamente (es decir comprobar que el valor máximo de la función objetivo, F, se alcanza en el vértice D)
2. En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. ¿Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio?
Solución
En primer lugar hacemos una tabla para organizar los datos:
Tipo | Nº | Bizcocho | Relleno | Beneficio | ||||
T. Vienesa | x | 1.x | 0,250x | 250x | ||||
T. Real | y | 1.y | 0,500y | 400y | ||||
|
| 150 | 50 |
| ||||
Función objetivo (hay que obtener su máximo): f(x, y)=250x+ 400y
Sujeta a las siguientes condiciones (restricciones del problema):
Consideramos las rectas auxiliares a las restricciones y dibujamos la región factible:
Para 0.25x+0.50y=50, ó x + 2y=200
x | Y |
0 | 100 |
200 | 0 |
Para x + y =150
x | Y |
0 | 150 |
150 | 0 |
La otras dos son paralelas a los ejes
Al eje OY x=125
Al eje Ox y =125
Y las otras restricciones (x e y mayor o igual a cero) nos indican que las soluciones deben estar en el primer cuadrante
La región factible la hemos coloreado de amarillo:
Encontremos los vértices:
El O(0,0), el A(125, 0) y el D(0, 100) se encuentran directamente (son las intersecciones con los ejes coordenados)
Se observa que la restricción y 
es redundante (es decir "sobra")
Resolviendo el sistema:
por reducción obtenemos y=50, x=100
Otro vértice es el punto C(100, 50)
Y el último vértice que nos falta se obtiene resolviendo el sistema:
X+y=150
X=125
Cuya solución es: X=125, Y=25 B(125, 25)
Los vértices de la región son O(0,0), A(125,0), B(125,25) y C(100,50) y D(0,100),
Si dibujamos el vector de dirección de la función objetivo f(x, y)=250x+ 400y Haciendo 250x+ 400y =0, y=-(250/400)x=-125x/200
x | Y |
0 | 0 |
200 | -125 |
Se ve gráficamente que la solución es el punto (100, 50), ya que es el vértice mas alejado (el último que nos encontramos al desplazar la rectas 250x+400y=0 )
Lo comprobamos con el método analítico, es decir usando el teorema que dice que si existe solución única debe hallarse en uno de los vértices
La unción objetivo era: f(x, y)=250x+400y, sustituyendo en los vértices obtenemos
f(125,0)=31.250
f(125,25)=31.250+10.000=41.250
f(100,50)=25.000+20.000=45.000
f(0,100)=40.000
El máximo beneficio es 45.000 y se obtiene en el punto (100, 50)
Conclusión: se tienen que vender 100 tartas vienesas y 50 tartas reales.
3. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50 plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 euros y el de uno pequeño, 60 euros. Calcular cuantos de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo mas económica posible para la escuela.
Solución
Es un problema de programación lineal, en este caso lo que queremos es hacer mínima la función objetivo.
Llamamos x al nº de autocares de 40 plazas e y al nº de autocares de 50 plazas que alquila la escuela.
Entonces se tiene x 
, y 
Como sólo hay 9 conductores se verifica que: x +y 
Como tienen que caber 400 alumnos se debe de verificar:
40x +50 y 
que simplificada quedaría 4 x +5 y 
Por lo tanto las restricciones que nos van a permitir calcular la región factible (conjunto de puntos solución donde se cumplen todas las condiciones) son
La función objetivo es F(x, y)= 60x+ 80y
Dibujamos las rectas auxiliares,
r1 r2 r3 r4
x | y |
| x | y | x | y | x | y | |||||||
8 | 0 | 0 | 10 | 0 | 9 | 0 | 8 | ||||||||
|
|
|
| 0 | 9 | 10 | 0 | ||||||||
Así como la de que corresponde a F(x, y)=0 que se dibuja en rojo.
Teniendo en cuenta las restricciones ( la de R4 es la parte de arriba y que la R3 es la parte de abajo), se encuentra la región factible. En el dibujo es la parte amarilla.
Los vértices son (0, 8), (0, 9) y el (5, 4), este último es el punto de intersección de las rectas r3 y r4
por reducción 
restando ambas ecuaciones se tiene x =5 y sustituyendo en la 1ª ecuación, y =4
Resolviendo gráficamente se llega a que el punto (5, 4) es la solución del problema. La solución óptima .
Comprobarlo sustituyendo en F(x, y) todos los vértices y que este es el que da menor valor (método analítico).
4. Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 euros en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo?.
Solución
Organizamos los datos en una tabla:
| días | Alta calidad | Calidad media | Baja calidad | Coste diario | |||||
Mina A | x | 1x | 3x | 5x | 2000x | |||||
Mina B | y | 2y | 2y | 2y | 2000y | |||||
|
| 80 | 160 | 200 |
| |||||
La función objetivo C(x, y)=2000x + 2000y
Las restricciones son:
La región factible la obtenemos dibujando las rectas auxiliares: r1
x + 2y=80, r2 3x + 2y= 160 y r35x + 2y=200 en el primer cuadrante y considerando la región no acotada que determina el sistema de restricciones:
Los vértices son los puntos A(0, 100), B(20, 50), C(40, 20), D(80, 0), que se encuentran al resolver el sistema que determinan dos a dos las rectas auxiliares y (y que estén dentro de la región factible).
r1 
r2 
que nos da el punto (40, 20) (comprobarlo)
r2 r3 
que nos da el punto (20, 50)
r1 r3 no hace falta calcularlo pues queda fuera de la región factible.
En la gráfica se aprecia que el primer punto que se alcanza al desplazar la recta C(x, y)=0 es el (40, 20). Luego la solución es trabajar 40 días en la mina A y 20 en la B. (método gráfico)
Lo comprobamos aplicando el método analítico:
C(0, 100)=2000.100=200000
C(20, 50)=2000.20+2000.50=40000 + 100000= 140000
C(40, 20)= 2000. 40+2000.20=80000 + 40000= 120000 coste mínimo
C(80, 0)= 2000.80 =160000
5. Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cual es este?
Sea
x = nº electricistas
y = nº mecánicos
La función objetivo
f (x, y)=250x+ 200y , las restricciones
La región factible sería para estas restricciones:
Se aprecia gráficamente (línea en rojo) que la solución óptima está en el punto (20, 20).
Por tanto:
20 electricistas y 20 mecánicos dan el máximo beneficio, y este es 9000 euros, ya que f(x, y) =250.20+200.20=9000
6. Para recorrer un determinado trayecto, una compañía aérea desea ofertar, a lo sumo, 5000 plazas de dos tipos: T(turista) y P(primera). La ganancia correspondiente a cada plaza de tipo T es de 30 euros, mientras que la ganancia del tipo P es de 40 euros.
El número de plazas tipo T no puede exceder de 4500 y el del tipo P, debe ser, como máximo, la tercera parte de las del tipo T que se oferten.
Calcular cuántas tienen que ofertarse de cada clase para que las ganancias sean máximas.
Solución
Sea x el nº que se ofertan de tipo T, y el nº que se ofertan de tipo P.
| nº | Ganancia |
Turista | x | 30x |
Primera | y | 40y |
Total | 5000 | 30x +40y |
La función objetivo es:
f(x, y)=30x +40y
Las restricciones:
La región factible:
Los vértices, A(0, 5000), B(3750, 1250), C(4500, 500) y D(4500, 0) (comprueba el punto B resolviendo el sistema correspondiente)
El método gráfico nos da que el punto solución es el B (3750, 1250)
Comprueba los resultados usando el método analítico (sustituyendo los puntos vértices en f y viendo q el máximo valor se obtiene en B)
Autor:
Pablo Turmero