Estrategia para estimular el proceso de formulación de problemas geométricos en la Secundaria Básica

1. Resumen
3. Fundamentos psicopedagógicos de la formulación de problemas geométricos en la secundaria básica
4. Estrategia para estimular la formulación de problemas geométricos en la secundaria básica
5. Conclusiones
6. Recomendaciones
7. Bibliografía
8. Anexos

RESUMEN

En el presente trabajo se propone una estrategia didáctica que favorece la formulación de problemas geométricos en la secundaria básica cubana. Esta estrategia está compuesta por un conjunto de cinco acciones, dirigidas a estimular el planteo de nuevas interrogantes a partir de un objeto geométrico. Por otra parte, también se proponen un grupo de indicaciones metodológicas, dirigidas a introducir esta estrategia en el marco escolar. Finalmente se muestra un ejemplo donde las diferentes acciones conllevan a la formulación de diferentes problemas. Un hecho significativo consiste en que la formulación se enfoca como problema en sí misma, lo cual permite explicar el hecho de que este proceso tenga lugar antes, durante y después del proceso de resolución de problemas.

INTRODUCCIÓN

La matemática es una de las ciencias más antiguas y a lo largo de los años ha sido utilizada con fines diversos. Ella fue un instrumento para la elaboración de vaticinios, entre los sacerdotes de los pueblos mesopotámicos; se consideró como un camino de acercamiento a la divinidad, entre los pitagóricos; fue un importante elemento para la educación del pensamiento, en el Medioevo; ha sido la más versátil e idónea herramienta para la exploración del universo, a partir del Renacimiento; ha servido de guía para el pensamiento filosófico, entre los pensadores del racionalismo y los filósofos contemporáneos y ha constituido un campo de ejercicio lúdico, abierto a la creación de bellezas artísticas, para los matemáticos de todos los tiempos.

El planteo y resolución de problemas constituye uno de los factores fundamentales que han hecho de la Matemática un cuerpo de conocimientos en continua evolución. Es así como buena parte del desarrollo de la Geometría está ligado, en sus orígenes, a la necesidad de resolver problemas de la agricultura y el diseño arquitectónico. La teoría de las probabilidades se desarrolla a partir de la resolución de algunos problemas que plantean los juegos de azar. La Estadística tiene su origen en la necesidad de levantar información sobre poblaciones. Los grandes matemáticos de los siglos XVII y XVIII desarrollaron el cálculo diferencial e integral sobre la base de trabajos relacionados con problemas físicos. En 1900 D. Hilbert planteó una lista de 23 problemas abiertos para el siglo XX y declaró: "…la resolución de ellos a de levantar el vuelo tras el cual yace escondido el futuro…".

El planteo y resolución de problemas han sido, desde siempre, centro de atención de todos aquellos que de una forma u otra tienen la tarea de educar, especialmente de aquellos que lo hacen en el campo de la Matemática. Todo esto nos demuestra que la resolución de problemas tiene ante las diferentes ramas de las matemáticas un carácter eminentemente desarrollador y, por lo tanto, no estamos en un camino desacertado si planteamos que influir sobre ellos nos permitirá desarrollar en los estudiantes el pensamiento lógico, la independencia y hará que el educando sea más organizado en un trabajo dirigido a las exigencias que impone la resolución de problemas.

Sin lugar a dudas, la matemática es muy importante y merece ser aprendida por las nuevas generaciones, como parte de la herencia cultural de las generaciones que le antecedieron. La escuela es la institución social encargada de trasmitir a los jóvenes todo el legado cultural extra e intramatemático. Esta transmisión de conocimientos, históricamente, ha tenido en los problemas su herramienta fundamental. Actualmente es difícil concebir la enseñanza de la matemática fuera del planteo y solución de problemas.

En los programas de Matemática de la Secundaria Básica, para el curso 1999–2000, se plantea que a partir de la definición de objetivos formativos generales y por grado para el nivel de la Secundaria Básica se hace necesario precisar el papel de la Matemática como asignatura priorizada para lograr su vínculo con la vida y su responsabilidad en el desarrollo del pensamiento lógico de los alumnos, como base y parte esencial de la formación comunista, integral y armónica de la personalidad y de ahí la importancia del cumplimiento del Programa Director de la Matemática.

Con este propósito se llevan a efecto transformaciones en los programas de estudio, en la metodología y enfoque para su implementación que hacen que los problemas escolares propuestos en nuestros textos hayan perdido actualidad, es por eso que el profesor se ve precisado a buscar información actualizada en los medios de comunicación masiva, para posibilitar el trabajo con los objetivos formativos.

Con las transformaciones de la Secundaria Básica se pone de manifiesto la urgente necesidad de buscar alternativas de acción, que posibiliten al docente llevar a buen término el objetivo básico de estas transformaciones, que no es más que preparar a nuestros estudiantes desde la vida y para la vida, cuestión esta, que para la escuela significa garantizar que todas las actividades que se realizan en ella, incluyendo el elemento fundamental del contenido de la enseñanza, esté relacionado con la realidad social que rodea al alumno. Para contribuir al cumplimiento de este fin, es necesario lograr una vinculación del contenido de los programas: con el contexto que rodea al alumno, con los programas educativos, con los problemas cotidianos que confrontamos y con el conocimiento del acontecer nacional y extranjero, propiciando una enseñanza vivencial.

Si tomamos en consideración que en el proceso de enseñanza–aprendizaje de la Matemática el objetivo central es que el estudiante aprenda a plantear y resolver problemas, nos percatamos que este es el eje principal de nuestra enseñanza, por lo que se hace necesario preparar a nuestros estudiantes para esta actividad, aspiración que tienen todos los currículos de la enseñanza y que se evidencian en los objetivos formativos generales y por grado y en el programa director de la matemática.

Para muchos autores el hallazgo de nuevos problemas es una etapa cualitativamente superior de los procesos de resolución de problemas, y también un vehículo eficaz para potenciar el aprendizaje de la Matemática. El eminente pedagogo J. Kilpatrick enfatizó la importancia de formular problemas matemáticos, no solo como medio sino también como meta de la enseñanza. Él señala que "la experiencia de descubrir y crear por sí mismos problemas matemáticos siempre debería ser parte de la educación de los estudiantes" .

Algo similar se promulga en las transformaciones del enfoque metodológico de la Matemática Educativa cubana. Así, de sus cuatro objetivos generales, el último plantea: "Formular y resolver, con los recursos de la matemática elemental, problemas relacionados con el desarrollo político, económico y social del país y del mundo, así como con fenómenos y procesos científico–ambientales que les conduzcan a actitudes revolucionarias y responsables ante la vida".

A pesar de su importancia, la formulación de problemas no ha recibido la atención requerida, como parte del curriculum matemático, ni tampoco las investigaciones relacionadas con esta temática han sido lo suficientemente sistemáticas. En Cuba, con las transformaciones del enfoque metodológico, los maestros se plantean dos interrogantes fundamentales: ¿cómo lograr que los alumnos planteen y resuelvan sus propios problemas? y ¿cómo evaluar el desarrollo de los procesos psicológicos asociados?. Ciertamente existen dificultades, pues no sólo los estudiantes están lejos de saber plantearse problemas, sino que los propios docentes (en general) carecen de recursos y motivación para incorporar esta tarea a su actividad pedagógica.

La Geometría ocupa una parte importante de la matemática escolar, especialmente de la secundaria. Esta disciplina, como parte de el sistema de conocimientos y habilidades del curriculum escolar, se ha caracterizado por presentar notables dificultades en el proceso de enseñanza–aprendizaje. Tanto en las pruebas de ingreso a la Vocacional, como en las de la Universidad, es común encontrar grandes dificultades en la resolución de problemas geométricos. Si bien la enseñanza–aprendizaje de la Geometría es sintomática en la escuela cubana e internacional, lograr que los estudiantes planteen problemas afines es, sin lugar a dudas, un reto de mayor envergadura. En entrevistas realizadas por las autoras, se pudo constatar dos elementos fundamentales:

• La metodología de la Enseñanza de la Matemática, referente al curriculum de los Institutos Superiores Pedagógicos, no favorece que el propio maestro aprenda a plantear problemas. Esto, como es de esperar, repercute en su actividad pedagógica, pues no cuenta con métodos, procedimientos, estrategias, etcétera, que le permitan enseñar a plantear nuevos problemas.
• Si bien las transformaciones curriculares promulgan que se planteen y resuelvan problemas, hasta ahora, es predominante el hecho de que los profesores le orienten a los estudiantes actividades como: "Investiga los principales resultados obtenidos por la fábrica de calzado en el último quinquenio. (…) Elabora un problema, donde incluyas esos datos". Los resultados no suelen ser los mejores, por cuanto se arriba a una situación (a veces real) que describe elementos económicos y que tiene una solución muy sencilla. En realidad, esto no está del todo mal, pero no se logra que los problemas sean verdaderamente matemáticos, no existen complicaciones lógico–lingüísticas, no favorecen la necesaria sistematicidad de los conocimientos (son exclusivamente aritméticos, en el mejor de los casos vinculados con el cálculo porcentual; pero no se vinculan con las funciones, la geometría, etcétera).

En una encuesta aplicada por la autora en el año 2003 se pudo corroborar las preocupaciones que tienen los docentes sobre la formulación de problemas matemáticos, por parte del adolescente de Secundaria Básica. Ciertamente se trata de un tema muy controvertido, pues algunos sostienen que el pensamiento de los mismos no ha madurado lo suficiente, mientras otros asumen una posición más optimista. En este último caso no dejan de señalar que se trata de un reto. La encuesta fue debidamente complementada con una entrevista a profesores de este nivel de enseñanza. En los anexos 1 y 2 se exponen, con más detalle, los principales resultados de ambos instrumentos.

Sobre la base de estos razonamientos, relativos a la enseñanza–aprendizaje de la Geometría en la Secundaria Básica, así como al reto de enseñar a plantear y resolver problemas, especialmente de ese contenido, se arriba al siguiente problema científico, cuya solución contribuirá sin dudas al mejoramiento del proceso docente–educativo de la Matemática: ¿Cómo favorecer el proceso de formulación de problemas geométricos, por parte del estudiante de Secundaria Básica?

La presente investigación tiene como objeto el proceso enseñanza–aprendizaje de la Geometría en la Secundaria Básica. Este objeto determina, como campo de acción, la formulación de problemas geométricos en la Secundaria Básica. En consonancia con el problema planteado se define, como objetivo central de este trabajo, elaborar una estrategia para el desarrollo del proceso de formulación de problemas geométricos en la Secundaria Básica.

Para conducir esta investigación se plantean las siguientes preguntas científicas:

1. ¿Cuáles son los componentes psicopedagógicos y de la propia matemática que intervienen en el proceso de formulación de problemas geométricos?
2. ¿Cuáles son las acciones y operaciones que conforman una estrategia didáctica que favorezca el proceso de formulación de problemas geométricos en la Secundaria Básica?
3. ¿Qué acciones metodológicas favorecen la enseñanza–aprendizaje de la formulación de problemas en la Secundaria Básica?

Para llevar a cabo este trabajo fue necesario cumplimentar las siguientes tareas de investigación:

1. Análisis crítico de las investigaciones referidas a la formulación de problemas en la escuela.
2. Determinar los componentes psicopedagógicos y de la propia Matemática que intervienen en el proceso de formulación de problemas geométricos.
3. Elaborar una estrategia didáctica que favorezca la formulación de problemas geométricos, por parte de los adolescentes del nivel secundario.
4. Elaborar indicaciones metodológicas que estimulen la implementación de la estrategia, en el proceso de enseñanza–aprendizaje de la Geometría en la Secundaria Básica.

Los métodos científicos que han sido utilizados en el desarrollo del presente trabajo fueron determinados por el objetivo general, y por las tareas de investigación antes señaladas. Desde el punto de vista teórico, se emplearon los métodos de análisis–síntesis, inducción–deducción, análisis crítico de fuentes, e histórico–lógico. Todos de gran utilidad para el procesamiento de la información, el establecimiento del marco teórico–referencial, la determinación de criterios e instrumentos apropiados, y la elaboración de indicaciones metodológicas. También se hizo uso de la modelación, la cual permitió develar las acciones que conforman la estrategia didáctica. Por su parte, en un plano empírico fueron utilizados otros métodos, entre ellos se destacan la observación científica, la encuesta y la entrevista individual.

CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS PSICOPEDAGÓGICOS DE LA FORMULACIÓN DE PROBLEMAS GEOMÉTRICOS EN LA SECUNDARIA BÁSICA

En el presente capítulo se exponen los principales presupuestos teóricos que fundamentan la estrategia que proponemos. En primer lugar, se realiza una caracterización psicopedagógica del objeto de investigación, explorando también la naturaleza de la Geometría de Secundaria Básica. A continuación se abordan las concepciones fundamentales de los conceptos "ejercicio" y "problema", así como las estrategias de resolución en sentido general. Finalmente, se presenta la formulación como un caso especial de resolución de problemas, lo cual permite aplicar la teoría conocida para este campo de investigación.

1.1 Caracterización psicopedagógica del escolar de Secundaria Básica en Cuba

Para poder conceptuar una estrategia didáctica que estimule la formulación de nuevos problemas geométricos, por parte del estudiante del nivel secundario, es necesario partir de la caracterización psicopedagógica de este adolescente.

La adolescencia constituye un período decisivo en el desarrollo del individuo. Se extiende desde los 11–12 años hasta los 15, aproximadamente, cuando se inicia la juventud. Este esquema de desarrollo está sujeto a variaciones individuales, porque todos los estudiantes no arriban a la adolescencia a una misma edad; unos se adelantan notablemente, mientras otros se retardan. En la Secundaria Básica no es extraño encontrar alumnos con características típicas de adolescentes, junto a otros que aún conservan rasgos y conductas propias de la niñez. Por supuesto que ya en esta edad es menos frecuente que en edades anteriores, pues ha transcurrido todo un curso escolar durante el cual el estudiante no sólo se desarrolla físicamente, sino también en sus experiencias y vivencias.

La adolescencia es un período de reelaboración y reestructuración de diferentes esferas de la personalidad, pues esta alcanza durante dicha etapa un matiz personal. Numerosos cambios cualitativos se producen en corto tiempo, los cuales tienen en ocasiones el carácter de ruptura radical con las particularidades, intereses y relaciones que tenía el niño anteriormente. Es aquí donde ya comienza a soñar con el futuro, ocupa gran parte de su tiempo en la actividad escolar y el estudio, pero siente necesidad de otros aspectos de la vida, sobre todo de relaciones con compañeros de su edad, aprecia como se producen en su cuerpo una serie de transformaciones anatomofisiológicas, arriba a cualidades nuevas de sus procesos cognoscitivos, a una mayor definición y estabilidad de los componentes de su esfera moral y a un nivel superior en el desarrollo de la autoconciencia, formación psicológica central en esta edad.

A esta etapa se le ha llamado "período de tránsito", pues el adolescente si bien no es un niño, tampoco es un adulto. En consecuencia, presenta características y conductas de un período o del otro, en forma un tanto inestable. Asimismo, adolescentes de la misma edad cronológica muestran diferencias esenciales en los niveles de desarrollo de diferentes aspectos de su personalidad. Esta particularidad está vinculada al hecho de que en las condiciones de vida de los adolescentes ellos están sometidos a diferentes tipos de exigencias. Estas acentúan, en algunos casos, su condición infantil y frenan el desarrollo hacia la juventud, lo que puede observarse cuando los padres solo exigen al adolescente.

En la adolescencia desempeñan un papel muy importante las transformaciones corporales, determinadas por cambios de la producción hormonal, las cuales se evidencian fundamentalmente en: la maduración sexual, las variaciones en las proporciones del cuerpo y la excitabilidad acrecentada. El período más intensivo de estos cambios tiene lugar en las hembras entre los 11 y los 13 años, y en los varones entre los 13 y 15 años. Alcanzan una relativa estabilidad al final de esta edad e inicios de la juventud.

La maduración sexual y el crecimiento físico del adolescente en los que se observa actualmente una aceleración o adelanto tienen una significación importante para él y, a menudo, motiva inquietudes y preocupaciones dadas las diferencias con que se presentan en cada adolescente, tanto en su forma como en el momento en que ocurren. Estos cambios estimulan el interés por el otro sexo, aparecen nuevas sensaciones, sentimientos y vivencias, conversaciones con sus compañeros acerca del amor y del sexo, un mayor interés por la parte íntima de las relaciones amorosas, tendencias eróticas y, a veces, sexualidad temprana.

A diferencia de los primeros grados, estos alumnos cuentan con un mayor número de profesores que imparten diferentes asignaturas, mediante las cuales profundizan en el estudio de los fundamentos de los conocimientos científicos. Todo ello exige de los alumnos nuevos métodos de asimilación y, a su vez, presupone el desarrollo de formas superiores de los procesos cognoscitivos, con lo cual se amplían grandemente sus posibilidades para conocer los fenómenos naturales y sociales del mundo que lo rodea. Los procesos cognoscitivos de la personalidad del adolescente (percepción, memoria, atención, imaginación y pensamiento) experimentan diferentes cambios, los cuales son más notables en lo que respecta al pensamiento del adolescente, una de las características fundamentales del desarrollo de la capacidad de operar con conceptos y contenidos más abstractos. El razonamiento verbal y las formas lógicas del pensamiento que se comenzaron a desarrollar en la enseñanza en la edad escolar alcanzan niveles superiores en esta etapa.

La relación entre el desarrollo de los procesos cognoscitivos del escolar y la profundización de los conocimientos de las ciencias, así como las valoraciones y opiniones que en ellos se van formando, propician su transformación en convicciones, puntos de vista propios, es decir, contribuyen al logro de la concepción científica del mundo.

El grupo preferido en la adolescencia es el de compañeros de la misma edad, lo que responde a una fuerte necesidad de comunicarse, relacionarse y ser aceptados por ellos, de formar parte de su grupo. Naturalmente hay otros grupos con los cuales interactúan los adolescentes y cuya influencia es importante para él. Entre estos se encuentran la familia y el grupo de profesores de la escuela, como factores importantes de la educación.

En esta edad ya tienen opiniones sobre las exigencias de los adultos que, a veces, no se aceptan, se critican, y se critica al adulto. La familia fue el primer grupo de interacción del niño, pero ya a esta edad pierde un tanto dicha posición. Similar situación ocurre en la escuela. El atractivo de ingresar a la misma ha quedado atrás y esto se expresa en ocasiones en el rendimiento académico de los estudiantes, así como en la disciplina que manifiestan.

Sobre la base de los aspectos psicológicos anteriores, es necesario destacar un grupo de consecuencias para el accionar pedagógico. En efecto:

1. La caracterización psicológica del adolescente advierte que es natural su rechazo por una enseñanza poco motivada. Es necesario que los problemas que se le planteen tengan un vínculo con sus motivaciones e intereses. Así, los problemas deben exigir razonamiento lógico, búsqueda, creatividad, etcétera, pero es conveniente que trabajen en pequeños grupos, que reciban un constante estímulo y que se respete la individualidad de cada cual. Así, la formulación de problemas debe centrarse en el foco de atención del adolescente. Un buen diagnóstico psicopédagógico contribuirá a tal fin.
2. Es importante estimular el desarrollo del pensamiento, pues en esta edad se consolida el pensamiento lógico–formal, de manera que el adolescente alcanza ya el nivel más avanzado de desarrollo. De esta manera, no puede pasarse por alto la necesidad de buscar situaciones problémicas donde el estudiante deba razonar. Un diagnóstico del nivel de desarrollo cognitivo alcanzado es esencial.
3. Es conveniente reducir la cantidad de maestros en esta etapa. En realidad, con las actuales transformaciones (formación de profesores integrales de secundaria básica), el sistema nacional de educación comienza a asumir este gran reto.

1.2 Caracterización de la geometría del nivel secundario cubano

En la Unidad 3 (El Mundo de las Figuras Planas) de séptimo grado los alumnos sistematizan los contenidos estudiados en quinto y sexto grado, con el objetivo de calcular amplitudes de ángulos. Además, se clasifican los cuadriláteros en paralelogramo, trapecio y trapezoide, examinándose las propiedades de cada uno de ellos.

En esta unidad tenemos como contenidos fundamentales:

1. Las figuras planas.
2. Ángulos y relaciones entre figuras.
3. Relaciones entre los elementos de un triángulo y un cuadrilátero
4. Estimación de magnitudes en figuras planas.

Entre los objetivos generales del grado para el trabajo con dicha unidad tenemos, como fundamentales, los siguientes:

• Realizar estimaciones y comparaciones con cálculos exactos para orientarse en la determinación de cantidades, longitudes y áreas, utilizando las operaciones básicas con números naturales y fraccionarios, así como el sistema internacional y sus conversiones hacia otras unidades utilizadas comúnmente.
• Esbozar figuras, a partir de objetivos reales, para emplearlas en la resolución de problemas prácticos que requieran la confección de croquis y orientarse en su entorno, aplicando las relaciones de posición y magnitudes básicas en las figuras planas fundamentales.
• Resolver problemas relacionados con la vida económica, política y social del país, de su hogar y escuela, utilizando el orden de las operaciones en los números naturales y fraccionarios, el tanto por ciento, la solución de ecuaciones lineales que se reducen a la forma ax + b = c, en esos conjuntos numéricos y las propiedades básicas de las figuras fundamentales en el plano (recta, segmento, ángulo, triangulo y cuadrilátero).

De estos objetivos se derivan para el trabajo en la unidad los siguientes:

• Estimar, calcular y comparar longitudes de segmentos amplitudes de ángulos, áreas y perímetros de triángulos, paralelogramos, rectángulos, rombos, cuadrados, trapecios y trapezoides, de su entorno natural y social, donde utilicen las unidades del sistema internacional y sus conversiones hacia otras unidades empleadas comúnmente.
• Esbozar croquis de las áreas de acampadas, campamentos de la escuela al campo, entre otras, aplicando las propiedades de los triángulos, rectángulos, cuadrados y circunferencias.
• Resolver problemas relacionados con la vida económica, política y social del país, de su hogar y escuela, utilizando el orden y las operaciones de los números naturales y fraccionarios, el tanto por ciento, las ecuaciones que se reducen a la forma ax + b = c y ax = b con a, b y c números fraccionarios (a¹ 0, c>b) y las propiedades básicas de la figura en el plano (segmento, ángulo, triangulo, paralelogramo, trapecio y trapezoide).

En la unidad 3 de octavo grado, los estudiantes continúan el estudio de la Geometría Plana, el cual se inició en el primer ciclo de la escuela primaria con carácter propedéutico y se profundizo y sistematizo en séptimo grado.

La unidad se centra en el análisis de relaciones entre figuras, a través de una transformación del plano (movimiento y semejanza), igualdad de figuras geométricas (específicamente la igualdad de triángulos) y la semejanza de figuras geométricas. Esto la diferencia del grado anterior, donde se obtuvieron relaciones entre elementos de una misma figura, sobre la base de relaciones de posición. El eje central de la unidad lo constituye la resolución de problemas geométricos vinculados a la vida, donde se aplican propiedades de las figuras planas y la proporcionalidad geométrica, además de la resolución de ejercicios de demostración donde se aplican los criterios de igualdad de triángulos.

En la unidad contamos con tres contenidos fundamentales:

• Igualdad de figuras geométricas.
• Proporcionalidad entre segmentos.
• Semejanza de figuras geométricas.

Entre los cuatro objetivos generales del grado, se relacionan con el contenido de esta unidad los siguientes:

• Estimar y comparar cantidades, longitudes y áreas para explicarse procesos naturales y sociales, utilizando las operaciones en el dominio de los números racionales, diferentes sistemas de unidades y sus conversiones.
• Esbozar figuras a partir de sus propiedades y relaciones básicas entre sus elementos, para aplicarlas en la resolución de problemas, la interpretación de mapas y planos, utilizando los conceptos de igualdad y semejanza de figuras en el plano.

De aquí se derivan los siguientes objetivos a tratar en la unidad:

• Estimar y comparar cantidades, longitudes y áreas para explicarse procesos naturales y sociales utilizando las operaciones en el conjunto de los números racionales y la propiedad fundamental de las proporciones
• Esbozar figuras a partir de sus propiedades básicas para aplicarlas a la resolución de problemas sobre interpretación de mapas y elaboración de croquis, utilizando escalas y los conceptos de igualdad y proporcionalidad.
• Resolver problemas y construir situaciones para interpretar tendencias y relaciones de fenómenos ambientales, que requieren de las proporciones y la aplicación de las propiedades de las figuras planas.

Para la introducción de la geometría en este grado es necesario garantizar una serie de condiciones previas para que los estudiantes logren comprender el contenido. Para ello, en la enseñanza primaria (en quinto grado) estudiaron ángulos entre paralelas, clasificación de triángulos, movimientos del plano y simetría. Dentro de los movimientos de plano vieron la reflexión, traslación y la simetría respecto a un punto.

En sexto grado continuaron el estudio de la Geometría como una profundización de lo recibido en quinto grado y se introducen nuevos conceptos y propiedades. Se destacan los siguientes elementos esenciales:

• La simetría con respecto a un punto la definen como "simetría central".
• Las propiedades de las figuras planas.
• La definición de igualdad de figuras geométricas como una superposición de un cuerpo sobre otro.
• Teorema sobre los ángulos de un triángulo y la desigualdad triangular.

Entre los contenidos de mayor complejidad tenemos la relación de ángulos entre paralelas y la igualdad de triángulos, pues a pesar de que los estudiantes no saben reconocer los elementos homólogos en las figuras, muchas veces no saben identificar el criterio de igualdad que deben aplicar en la demostración.

En la Unidad 3 de noveno grado los estudiante tienen la oportunidad de continuar el estudio sistemático de la Geometría Plana. En la escuela primaria los alumnos aprendieron a reconocer la circunferencia y el círculo, pero en esta unidad se iniciará el estudio sistemático de estas figuras, apoyándose en los conocimientos de los alumnos sobre los movimientos del plano, los triángulos, los cuadriláteros y otras figuras que fueron objeto de estudio en grados anteriores.

El tratamiento de la unidad comienza con el estudio de las definiciones de circunferencia, círculo y de sus elementos fundamentales. Es importante destacar el nuevo enfoque en el tratamiento metodológico de los contenidos, pues al hacer un estudio más completo sobre los arcos de circunferencia, y al definir la amplitud de estos como la amplitud del ángulo central correspondiente, se hace posible un trabajo más simple con determinados ejercicios, en los cuales se precisa calcular la amplitud de ángulos y arcos de la circunferencia, así como en el tratamiento de algunos problemas.

Esta línea metodológica de utilizar los ejercicios y problemas como portadores de una nueva información está presente en el trabajo de toda la unidad. En la unidad se introducen algunas propiedades de los polígonos regulares, las cuales no se contemplaban anteriormente cuando la misma estaba contenida en el programa de séptimo grado. Este trabajo con los polígonos tiene su continuidad en el décimo grado de la enseñanza preuniversitaria.

1.3 Los problemas matemáticos en la escuela

En el ámbito escolar los términos "ejercicios y problemas" son empleados con singular frecuencia. Muchas veces este uso no va acompañado de una precisión clara; a pesar de esto, hoy día el concepto problema ha sido tratado con suma profundidad en la literatura pedagógica y psicológica (Wyndhamn, 1993).

Es muy difícil iniciar un análisis de los componentes anteriores sin hacer primero alusión a la "tarea docente", que constituye la célula del proceso docente-educativo, pues en ella se presentan todos los componentes y las leyes del proceso y, además, cumple la condición de que no se puede descomponer en subsistemas de orden menor, ya que al hacerlo se pierde la esencia: la naturaleza social de la formación de las nuevas generaciones que subyace en las leyes de la pedagogía.

Los componentes esenciales de la tarea son el objetivo, el contenido y las condiciones. El primero es la representación anticipada de aquel resultado que habrá de se alcanzado; y se proyecta, de acuerdo con el grado de trascendencia en la transformación que se aspira a lograr en el estudiante, en tres dimensiones: instructiva, desarrolladora y educativa. El segundo comprende los tipos de acciones (identificar, comparar, clasificar, fundamentar, etcétera), y el objetivo de las acciones (conceptos, proposiciones, procedimientos algorítmicos, medios heurísticos, etcétera). El tercero, desde el punto de vista cuantitativo abarca la frecuencia y la periodicidad de las acciones y operaciones que requiere la tarea, no solo de manera puntual sino también bajo la óptica del sistema de tareas; desde el punto de vista cualitativo se pone de manifiesto el grado de complejidad de la ejecución de las acciones y operaciones, así como la flexibilidad expresada en el grado de variabilidad del contenido y del contexto de la propia actividad.

Para muchos autores un ejercicio es una exigencia que propicia la realización de acciones, solución de situaciones, deducción de relaciones, cálculo, etcétera. De cada acción deben precisarse el objetivo que nos mueve a transformar la premisa para obtener la tesis; el contenido que comprende los tipos de acciones (identificar, comparar, clasificar, fundamentar, etcétera), el objeto de las acciones (conceptos, proposiciones, procedimientos algorítmicos), la correspondencia entre situaciones extramatemáticas y matemáticas, los procedimientos heurísticos (principios, reglas, estrategias) y los medios heurísticos auxiliares. También es necesario precisar las condiciones para las acciones, es decir, valorar el grado de dificultad que presenta el ejercicio según las exigencias que este plantee al alumno.

Rafaela Borasi (1986; citada por Blanco, 1991) denomina ejercicios a aquellas tareas que pretenden desarrollar algún tipo de algoritmo. Si se trata de un texto formulado con precisión, donde aparecen todos los datos necesarios para obtener la solución, entonces la tarea se denomina "Word–Problem". Cuando el contexto descubre el potencial recreativo de la Matemática, obligando al resolutor a ser flexible y considerar varias perspectivas, la tarea se denomina "Problema Puzzle". En este último caso la formulación puede resultar engañosa, y la solución no tiene necesariamente que suponer procesos matemáticos.

Otra tarea que considera este autor es la "Prueba de Conjeturas" refiriéndose, por ejemplo, a la demostración de un teorema o de cierta propiedad matemática. También habla de "Problemas de la Vida Real" que supone tres procesos básicos: la creación de un modelo matemático de la situación, la aplicación de técnicas matemáticas al modelo, y la traducción a la situación real para analizar su validez. Borasi también destaca las "Situaciones Problémicas", en las cuales el sujeto se enfrenta ante un nuevo resultado matemático sin disponer de toda la información necesaria. En las situaciones problémicas la formulación es regularmente vaga, puesto que en este caso se trata de establecer nuevas conjeturas; los métodos de aproximación suelen ser diversos; y la exploración del contexto, así como las sucesivas formulaciones del problema son fundamentales. Por último, Borasi considera aquellas tareas que facilitan la formulación de conjeturas por parte del alumno, a estas las denomina "Situaciones".

Werner Jungk (1981) elaboró una clasificación de los ejercicios tomando como base el grado de abstracción en el reflejo de los elementos y relaciones, así como el tipo de reflejo que se realiza. Como superconcepto, este autor eligió el concepto "ejercicio matemático planteado a los alumnos"; a este lo subdivide en dos conceptos subordinados: "ejercicios de aplicación" (los que tienen su origen en la práctica) y "ejercicios construidos" (aquellos que se conciben con fines didácticos; o sea, para ejercitar, profundizar, aplicar, asegurar las condiciones previas, entre otras). Los ejercicios construidos sufren a su vez otra división. Por una parte aparecen los "ejercicios formales" (al entrar en contacto con ellos, el estudiante identifica inmediatamente el tipo de ejercicio; por ejemplo, una ecuación, un sistema, etcétera), por otra parte aparecen los "ejercicios con texto" conformados por aquellos cuyo texto es puramente matemático o bien se relaciona con la práctica.

El término problema ha tenido múltiples significados, y muchas veces contradictorios, lo que según A. H. Shoenfeld ha sido un factor que ha hecho difícil su interpretación. Al respecto también expresa Borasi: "La palabra problema no siempre es usada de la misma manera en contextos diferentes y por distintos autores, y el mismo concepto necesita una clarificación". Esto indica que se debe ser muy cuidadoso a la hora de definir este concepto, con el objetivo de acercarse lo más posible a la finalidad y significado de los problemas en la clase de Matemática.

Sobre la base del concepto de ejercicio, podemos caracterizar los que de forma unánime son catalogados como problemas. Según Alberto F. Labarrere (1996) algunos autores definen el concepto de problema en términos de contradicción que debe ser resuelta, de déficit y búsqueda de información, de transformación de situaciones, etcétera.

Otros autores plantean que un problema es una situación que difiere de un ejercicio en que el resolutor de problemas no tiene un proceso algorítmico que le conducirá con certeza, a la solución. Un problema matemático es una situación que supone una meta para ser alcanzada. Existen obstáculos para lograr ese objetivo, se requiere deliberación, y se parte del conocimiento del algoritmo útil para resolver el problema. La situación es usualmente cuantitativa o requiere técnicas matemáticas para su solución, y debe ser aceptada como problema por alguien antes de que pueda adoptar tal denominación. También Labarrere (1996) ha señalado que "…un problema, es determinada situación en la cual existen nexos, relaciones, cualidades de y entre los objetos que no son accesibles directa e indirectamente a la persona; (…) es toda relación en la cual hay algo oculto para el sujeto, que este se esfuerza por hallar."

Concretando, para que una situación se denomine problema es necesario que exista (a) una persona que desea resolverla, (b) un estado inicial y un estado final, y (c) algún tipo de impedimento para el paso de un estado a otro. Además, según Luz Manuel Santos Trigo (1993), para que una situación constituya un problema es necesario que se caracterice por: (a) la existencia de un interés, es decir, una persona o un grupo de individuos quiere o necesita encontrar una solución, (b) la no existencia de una solución inmediata, (c) la presencia de diversos caminos o métodos de solución, (d) la intención por parte de una persona o un grupo de individuos para llevar a cabo un conjunto de acciones tendientes a resolver esa situación.

Es preciso comentar que existe cierta coincidencia entre los criterios dados por Labarrere (1996) y Santos Trigo (1993), pero es interesante el análisis que este último realiza en cuanto a la existencia del problema aún cuando no exista una persona con interés por resolverlo. También es válido señalar que para este autor cualquier problema es soluble, coincidiendo con la posición del destacado matemático alemán David Hilbert, cuando en su discurso del 8 de agosto de 1900, en el II Congreso internacional de Matemática de París, afirmaba: "Esta capacidad de resolver cualquier problema matemático es un fuerte incentivo para nuestro trabajo. Oímos resonar siempre en nuestros oídos el siguiente llamamiento: este es el problema, busca su solución. La puedes encontrar con el pensamiento puro, ya que en matemática no existe el ignorabimus." Pero estas ideas no son tan dogmáticas; George Polya, por el contrario, afirmaba que "partiendo del problema que se nos propone encontraremos otros, y así sucesivamente. El proceso es ilimitado en teoría, pero en la práctica no llegaremos muy lejos ya que los problemas que se obtengan corren el riesgo de ser insolubles" (1957).

Actualmente es usual considerar, básicamente, dos tipos de problemas: los "problemas cerrados" y los "problemas abiertos". En los primeros la solución se deduce en forma lógica a partir de la información que aparece en el planteamiento del problema y que resulta suficiente para encontrar la respuesta correcta. El resolutor (aquel que resuelve un problema) dispone de toda la información, sólo necesita integrarla aplicando los recursos de la lógica; por ello suelen llamarse "problemas de inferencia lógica".

Por su parte en los problemas abiertos el resolutor necesita ir más allá de la información recibida, utilizándola de manera distinta y modificando los significados atribuidos a los elementos del ejercicio. Ahora los recursos lógicos resultan insuficientes y se precisa de creatividad. Los problemas abiertos se aproximan mucho a lo que sucede en la vida real; hay que hacer consideraciones para la respuesta, pues no se da toda la información necesaria. Por este motivo, suelen denominarse "problemas sin los datos necesarios".

La importancia de los problemas matemáticos está dada por las funciones que estos desempeñan en la enseñanza de la Matemática; particularmente cumple las funciones instructiva, educativa, desarrolladora y de control. La función instructiva está designada a la formación en el alumno del sistema de conocimientos, capacidades, habilidades y hábitos matemáticos que se corresponden con su etapa de desarrollo. Los problemas permitirán la fijación de conceptos, teoremas y procedimientos matemáticos.

La función desarrolladora está dirigida a fomentar el pensamiento del alumno y dotarlo de métodos efectivos de actividad intelectual. Además de esto, cuando el alumno analiza las posibles vías de solución de un ejercicio, cuando analiza uno u otro método de solución, cuando aprende a extraer y utilizar la información contenida en él, cuando es capaz de construir ejercicios sobre la base de uno dado, los problemas entonces están contribuyendo a la formación y desarrollo del pensamiento lógico del alumno. Por su parte, la función educativa está orientada a la formación de la concepción científica del mundo en los alumnos. El hecho de ser los problemas reflejo de relaciones reales entre objetos, procesos y fenómenos, hace que se conviertan en una fuente importante de conocimientos científicos acerca de la realidad. Esta última función está encaminada al desarrollo de los intereses cognoscitivos de cualidades de la personalidad y también lograr que el alumno conozca nuestras realidades y defectos, así como desarrollar el patriotismo y el internacionalismo.

La función de control se orienta a determinar el nivel de cumplimiento de las tres funciones anteriores, o sea: la instrucción y educación del alumno, la capacidad para el trabajo independiente, el grado de desarrollo del pensamiento lógico–matemático, es decir, a comprobar en qué medida se cumplen los objetivos de la asignatura en el tratamiento de problemas.

Por todo esto la mayoría de los profesores de Matemática coinciden en la importancia de la resolución de problemas en los procesos de enseñanza–aprendizaje, así como lo complejo de esta forma de enseñar, por lo que su utilización se convierte en un acto de buena voluntad.

Puede concluirse, sobre la base de los aspectos tratados en este epígrafe que:

1. El concepto ejercicio es un caso particular de tarea docente. Esta última es, a la vez, un concepto eminentemente didáctico. Formular un problema puede ser, en sí misma, una tarea docente que sirve de ejercicio para el razonamiento matemático.
2. El concepto problema sirve para caracterizar las tareas docentes y, particularmente a los ejercicios. Así, es posible hablar de ejercicios matemáticos que son o no problemas. Este concepto es esencialmente psicológico y, consecuentemente, relativo a cada sujeto. Por tanto, es natural que cuando se hable de formular un problema, por parte de cierto estudiante, no necesariamente se trata de un problema para otro estudiante.
3. Los ejercicios matemáticos y con singular particularidad aquellos que resultan problemas, tienen una gran importancia para la formación integral de los estudiantes. Formular un nuevo problema puede enfocarse como tarea (o particularmente como ejercicio), esto justifica que tal actividad cumpla las funciones instructiva, educativa, desarrolladora y de control.

1.4 Las estrategias de resolución de problemas

El proceso de formulación de problemas matemáticos puede desarrollarse desde los primeros grados, y un ambiente propicio para lograrlo es el que enfatiza la resolución de problemas. En sentido general, la capacidad para plantear problemas es inhibida por la sociedad desde la edad preescolar, cuando los adultos no contestan adecuadamente o creen tener la respuesta definitiva en la edad de los "¿por qué?".

A finales de los años 50 se publicó la edición más conocida de How to Solve It de Polya. En ella hay que destacar el aislamiento de cuatro fases durante la resolución de un problema matemático: comprensión del problema, concepción de un plan, ejecución del plan y visión retrospectiva. En cada una Polya propone una serie de reglas y procedimientos heurísticos bastante sugerentes, pero lo más notorio consiste en que la mayoría van dirigidas a la segunda fase (concepción del plan) de lo que él denominó su "lista". Por tanto, por primera vez las pesquisas eran dirigidas hacia las fuentes de la inspiración observadas antes por Henri Poincaré. Entre estas preguntas figuraban las siguientes: ¿conoces un problema semejante?, ¿podrías enunciar el problema de otra forma?, ¿has considerado todas las nociones esenciales concernientes al problema?, principalmente.

En todo el libro las reglas y procedimientos reciben un uso sistemático; muchos de ellos tienen raíces cartesianas como "descomponer y recomponer el problema" y "dibujar un diagrama". Aunque el alcance de esta obra se vio limitado al modesto enfoque de la heurística, por primera vez se deslindaron algunas estrategias específicas que emergen durante la resolución de un problema matemático. Sin embargo, estas eran muy descriptivas, pues no se detalla lo suficiente cuándo hacer uso de ellas.

Durante toda esta época el término "problem–solving" nunca había sido tratado en los congresos de Matemática Educativa en el mundo, pues casi todos los artículos enfatizaban el análisis curricular. Esto se acentuó significativamente entre 1957 y 1977 con la denominada "Matemática Moderna". No es hasta el congreso internacional de Berkeley, celebrado en 1980, que este tema apareció incluido bajo la modesta categoría de "aspectos poco comunes en los planes de estudio. Ya en el congreso internacional de Adelaida, celebrado en 1984, la resolución de problemas fue uno de los principales temas abordados. Desde entonces siempre ha sido así.

Los principales aportes en materia de "problem–solving" han ocurrido en los últimos cuatro quinquenios, coincidiendo con disímiles reformas curriculares que enfatizan la resolución de problemas como habilidad, arte o vehículo de aprendizaje. Ciertos estudios han llegado a identificar hasta siete paradigmas diferentes, comenzando por los más conductistas hasta llegar a los "momentos didácticos" del francés Yves Chevallard, donde todo problema es el punto de partida para un virtual campo de problemas.

La mayor parte de los especialistas entienden que el significado de la cognición se refiere al conjunto de actividades a través de las cuales la información es procesada por el sistema psíquico. Se acepta así que el término cognición comprende toda una serie de procesos mentales que realizan los seres humanos para adquirir, retener, interpretar, comprender, organizar y utilizar tanto la información existente en el medio que les rodea, como la propia información ya adquirida y almacenada.

De este modo, la cognición incluye los procesos de percepción, atención, imaginación, lenguaje, memoria, creatividad, pensamiento, inteligencia y resolución de problemas. Pero no sólo los procesos cognitivos sirven para procesar la información, también para construir representaciones de la realidad y para crear conocimiento. Este término se refiere tanto al sistema de procesamiento de la información, como al contenido procesado y al resultado del proceso, es decir, al conocimiento.

Schöenfeld identificó cuatro componentes esenciales de la cognición, relativos a la resolución de problemas. En primer lugar los recursos, que comprenden todo el conocimiento matemático que posee el individuo y que se activa al trabajar con los contenidos específicos del problema. Esto comprende la experiencia, la intuición, los teoremas, las definiciones, los procedimientos (algorítmicos o no), las rutinas, y el conocimiento proposicional acerca de las reglas inherentes al dominio.

En segundo lugar aparece la heurística, referida a las técnicas y estrategias para solucionar problemas no tradicionales como "dibujar un diagrama", "confeccionar una tabla", "buscar problemas relacionados", "ensayo–error", "establecer metas intermedias" y "trabajar hacia atrás". Según Schöenfeld, las estrategias heurísticas son "aproximaciones para una próspera resolución de problemas, sugerencias generales que ayudan al individuo a comprender mejor un problema o progresar hacia su solución".

En tercer lugar figura el control, que incluye planificar, estimar y tomar decisiones sobre la selección y el uso de las diferentes estrategias mientras se resuelve el problema, es decir, decidir si se cambia o no de vía cuando una situación particular se torna esotérica. El control valorativo ha recibido una singular atención, especialmente el hecho de formarse un juicio crítico del problema en cuanto a su corrección, pertinencia y solución. En general, el control se asocia a una dimensión metacognitiva, por cuanto el individuo debe ser consciente de la actividad que está desarrollando y, por consiguiente, de su dirección y regulación.

Por su parte, como último factor aparece el sistema de creencias que tiene el individuo acerca de la Matemática, su enseñanza y aprendizaje. Ejemplos típicos de creencias desfavorables son las siguientes: "los problemas matemáticos tienen una y sólo una solución correcta", "resolver un problema no toma más de cinco minutos", "un estudiante común no puede resolver problemas por sí mismo" y "la Matemática escolar tiene poco que ver con el mundo real".

Como puede apreciarse, Schöenfeld enfatiza el contenido procesado y el sistema de procesamiento, pero no hace alusión al resultado del proceso. Este componente es muy importante, pues se identifica con la solución obtenida, la cual constituye un punto de partida para el análisis perspectivo y retrospectivo del problema. Por otra parte, este autor incluye el sistema de creencias, las cuales han sido identificadas por otros autores como componentes que se encuentran "en la frontera" de lo cognitivo y lo afectivo. Cuando las creencias se refuerzan, dependiendo menos de las emociones y las actitudes, se consideran "concepciones". Estas últimas pueden considerarse plenamente dentro de la esfera cognitiva.

Tomando como base el análisis anterior, puede considerarse que la resolución de problemas es, ante todo, un proceso cognitivo. Este proceso engloba un conjunto de componentes que lo caracterizan (recursos, heurística, control, creencias y concepciones, y la propia solución del problema), los cuales cambian en el tiempo. Entre los cambios más significativos, figuran los ocasionados por el aprendizaje de estrategias metacognitivas.

Sobre la base de las ideas de la escuela histórico–cultural, Luis Campistrous y Celia Rizo (1996 y 2000) han conceptuado las estrategias de resolución de problemas. En efecto, desde la perspectiva de Galperin y sus seguidores es posible demostrar cómo el sujeto se puede apropiar de manera desarrolladora de la arquitectura del saber humano, y cómo a partir de aquí se puede lograr un acercamiento a la excelencia de la enseñanza y el aprendizaje. El objetivo fundamental de este psicólogo ruso no fue dejar una pauta en la sucesión de las etapas de la formación de las acciones psíquicas, sino esclarecer sus relaciones funcionales y la génesis de estas.

En general, las acciones humanas se conciben en procedimientos de diferentes tipos, uno de estos tipos son los procedimientos específicos encaminados a realizar tareas concretas, cuyas acciones y operaciones están determinadas y se realizan siempre de la misma forma (por ejemplo, el procedimiento algorítmico de resolución de ecuaciones cuadráticas). En el otro extremo figuran los procedimientos generalizados cuyas acciones no tienen un contenido concreto, pues constituyen esquemas de acciones que pueden implementarse ante una diversidad de situaciones.

Particularmente, una estrategia de resolución de problemas es "un procedimiento generalizado constituido por esquemas de acciones cuyo contenido no es específico, sino general, aplicable en situaciones de diferente contenido, que el sujeto utiliza para orientarse en situaciones en las que no tiene un procedimiento ‘ad hoc’ y sobre la base de las cuales decide y controla el curso de la acción de búsqueda de la solución" (Campistrous y Rizo, 2000).

1.5 Algunas consideraciones teóricas sobre el planteo y solución de problemas en la escuela

Eminentes personalidades de la Matemática Educativa como Polya y Freudenthal han señalado que el planteo de problemas es un aspecto importante, dentro de la formación matemática de los estudiantes. Esta importancia se refiere, tanto a la adquisición de conocimientos generalizados sobre la Matemática como al desarrollo de los hábitos y habilidades necesarios para el trabajo independiente en esta disciplina. La formulación de problemas contribuye al mejoramiento del proceso de solución de problemas, así como al desarrollo de las capacidades matemáticas y la flexibilidad del pensamiento. También desarrolla la independencia, la creatividad, el lenguaje y el interés por la Matemática. Por estas razones, en el diseño de diversos currículos se promulga la necesidad de que los estudiantes planteen nuevos problemas; sin embargo, el sustento teórico es bastante efímero.

En Cuba, el primer trabajo relacionado con la formulación de problemas del cual se tiene referencia, fue realizado por Labarrere en 1980. Se trata del artículo Sobre la Formulación de Problemas Matemáticos por los Escolares, donde el autor aborda la importancia de este proceso para el desarrollo de las capacidades matemáticas, pues el acto de formulación exige que el alumno cree por sí mismo las relaciones entre los diferentes componentes del problema a formular.

En 1988 Labarrere retoma la actividad de formulación de problemas en su libro Como Enseñar a los Alumnos de Primaria a Resolver Problemas. En este caso el autor señala que para utilizar adecuadamente la formulación de problemas es necesario que el maestro sea capaz de crear las condiciones para que sus estudiantes puedan variar el planteo sin alterar la situación inicial; hacer un nuevo tipo de problema a partir de diferentes situaciones iniciales; modificar los datos y las preguntas independientemente, manteniendo constante el resto del problema; y formular problemas cuyos métodos de solución posean diferentes grados de dificultad. En este trabajo se propone una interesante tipología para las situaciones iniciales, aportando varios ejemplos de la enseñanza primaria.

En general, la formulación de problemas es vista como una forma de potenciar el interés de los estudiantes por la Matemática, así como su sentido crítico hacia ella. También critica el hecho de que en la actualidad los problemas se presentan ante los escolares como algo para resolver y muy pocas veces como algo para someter a juicio, planteando la necesidad de crear un marco referente a partir del cual los alumnos puedan valorar el texto de los problemas.

Por su parte, Campistrous y Rizo en Aprende a Resolver Problemas Aritméticos proponen cuatro acciones básicas para enseñar a formular problemas: la búsqueda, el planteo de una situación inicial, la formulación de preguntas, y la resolución del problema. Ellos destacan que así el alumno se siente un creador y esto, además de estimular el aprendizaje, forma motivos fuertes para el trabajo con el problema, perdiendo el miedo que muchas veces se crea alrededor de esta importante actividad matemática.

En el curso escolar 1999–2000 se comenzó a experimentar un grupo de transformaciones en el enfoque metodológico de la Matemática, en una parte importante de las secundarias básicas de todas las capitales provinciales. En este mismo período el interés de los investigadores por la formulación de problemas matemáticos creció notablemente. Por ejemplo, en Ciudad de la Habana se destacan los trabajos de Miguel Jorge Llivina (Dirección de Ciencia y Técnica del MINED) y sus colaboradores, cuyos trabajos giran en torno a un "sistema básico" de competencias matemáticas (identificar, plantear y resolver problemas). Ellos consideran las dimensiones procesal, operacional y motivacional, lo cual les permite abordar estas competencias desde diferentes aristas.

También en Santiago de Cuba se han llevado a cabo trabajos afines a la formulación de problemas. Por ejemplo, Elpidio López (Universidad de Oriente) y sus colaboradores consideran dos fases en este proceso: la realización de ejercicios preparatorios y la elaboración de problemas. Además señalan que esta actividad debe ocupar un espacio en la Didáctica de la Matemática, durante el tratamiento de la situación típica Ejercicios con Textos y de Aplicación.

En la Ciudad de Holguín se vienen desarrollando varias investigaciones relacionadas con el tema de la formulación de problemas. Entre las más importantes se destacan las desarrolladas por Miguel Cruz a partir del año 1996. Aquí es necesario destacar que el principal aporte consiste en enfocar el acto de formular un nuevo problema como problema en sí mismo. Además, este autor concede mucha importancia a la actividad psicológica asociada a la formulación, desentrañando las principales acciones que tienen lugar. En el presente trabajo se sigue esta línea de investigación, procurando una reconceptuación para el caso específico de los problemas geométricos del octavo grado.

Un hecho significativo consiste en que la formulación de problemas puede ser enfocada como caso especial de resolución de problemas. Efectivamente, cuando se trata de formular un problema, el sujeto se plantea el objetivo de obtener un objeto de naturaleza matemática. La situación inicial puede ser bien conocida (se sabe de qué se quiere elaborar el problema) o no, pero la situación final (el problema concreto que se obtendrá) es siempre desconocida. Además, el pase de una situación a otra es también desconocido. Tomando como base este criterio, a continuación se enfocará la estrategia en la dinámica de una actividad similar a la de resolución de problemas, tal y como se verá en el modelo del epígrafe 2.1.

CAPÍTULO 2. ESTRTATEGIA PARA ESTIMULAR LA FORMULACIÓN DE PROBLEMAS GEOMÉTRICOS EN LA SECUNDARIA BÁSICA

En el siguiente capítulo se exponen los dos resultados fundamentales de nuestro trabajo. En primer lugar se propone una estrategia para lo que Cruz (2002) ha denominado etapa de "Formulación del Problema", la cual forma parte de otra actividad más general. En segundo lugar, se aducen varias indicaciones metodológicas que facilitan la introducción de la estrategia propuesta en la práctica escolar, específicamente en el nivel secundario, con énfasis en la formulación de problemas de Geometría.

2.1 Estrategia para la elaboración de ejercicios geométricos en la Secundaria Básica

Sobre la base de los resultados expuestos en el capítulo anterior y teniendo en cuenta las potencialidades de los estudiantes, así como del contenido, se ha propuesto una estrategia que favorece la formulación de problemas geométricos. Esta estrategia no es esencialmente de enseñanza, sino de aprendizaje. De esta manera queda claro que la idea esencial de la estrategia consiste en facilitar que los estudiantes planteen sus propios problemas. A pesar de ser una estrategia predominantemente de aprendizaje, esto no quiere decir que se pueda aislar por completo del proceso de enseñanza.

Un elemento esencial para comprender la novedad de la idea que ahora desarrollaremos consiste en lo siguiente. Hasta hoy, la mayoría de las investigaciones enfatizan métodos de enseñanza, tanto para educar el planteo como la resolución de problemas. Muchos investigadores suelen ignorar que el pensamiento humano es el resultado de la influencia de múltiples factores sociales, así como del propio autoaprendizaje en un nivel metacognitivo. Esto implica una tesis muy importante: los procesos de formulación de problemas pueden ser enseñados, tomando como base un procedimiento generalizado de la actividad cognoscitiva. Esta actividad será interpretada de diversas formas, en dependencia de la individualidad del sujeto. Tal procedimiento no es estático pues, a partir de su generalidad, es susceptible de infinitas variaciones en su dinámica interna. Así, de la misma manera que existe un procedimiento generalizado para la resolución de problemas (el cual se conoce desde los tiempos de Polya), es posible determinar un procedimiento equivalente para la formulación de problemas.

De esta manera, no se deja el planteo de problemas a la espontaneidad, lo cual es un viejo rezago de los métodos conductista de estímulo–respuesta. O sea, en términos del maestro: "buscar el método para que los estudiantes formulen problemas", pero desconociendo los procesos del pensamiento humano que le son inherentes. La estrategia que proponemos todavía está muy lejos de proporcionar un modelo generalizado, tal y como hizo Polya en el campo de la resolución de problemas. Sin embargo, permite esclarecer un grupo de acciones afines al pensamiento correcto, durante la formulación de problemas geométricos.

Para la elaboración de la estrategia nos hemos basado en una estrategia propuesta por Cruz (2002), así como en otros trabajos relacionados con este tema. En primer lugar, es necesaria la "selección de un objeto" conocido para poder formular un problema. Las concepciones idealistas subjetivas de Poincaré y Hadamard no pueden ser tomadas en cuenta pues la actividad psíquica humana empieza en la contemplación viva, sigue por el pensamiento abstracto y regresa nuevamente a la práctica social, tal y como afirmaba Vladimir I. Lenin.

De esta manera queda claro que el estudiante no va a inventar problemas de forma repentina, no se pretende que se les ocurran de pronto, sino que partan de una situación inicial, y en la medida en que la analicen y profundicen en su esencia, arriben a un nuevo problema.

En segundo lugar, es necesario que el estudiante logre desmembrar el objeto en las partes que lo constituyen. Este proceso mental es eminentemente analítico, pero está vinculado también al desarrollo de diferentes habilidades generales. Una habilidad muy importante que se pone de manifiesto es la habilidad para clasificar, por eso se ha decidido denominar esta etapa como "clasificación de componentes".

Como se trata de elaborar problemas de Geometría, se supone que el estudiante parta de objetos geométricos, conformados por triángulos, circunferencias, segmentos, etcétera. Estos elementos son las partes del objeto, pero a veces el estudiante no es consciente de ello. Esta etapa tiene el propósito de que el estudiante logre ese nivel de conciencia.

En tercer lugar es necesario concebir como acción la "asociación de componentes", la cual consiste en vincular, a cada uno de los elementos clasificados, una o más propiedades. Si, por ejemplo, en la clasificación realizada aparece un triángulo, entonces a este se le pueden asociar diferentes propiedades afines como: área, perímetro, posición del baricentro, etcétera. En etapa juegan un papel muy importante los conocimientos que el estudiante tiene. Mientras más propiedades pueda enumerar, más probabilidades tendrá de encontrar nuevos problemas. De todas formas, en ocasiones los conocimientos están, pero no emergen inmediatamente, incluso pasan inadvertidos. La memoria ocupa aquí un lugar muy importante. En la medida en que estas propiedades vallan apareciendo es recomendable que el estudiante tome notas de cada una de ellas, al lado del elemento clasificado.

La cuarta acción consiste en la "búsqueda de relaciones" entre los diferentes elementos ya clasificados. Estas relaciones se establecen a través de sus propiedades, pero no emergen directamente. Es aquí donde juegan un papel esencial los procesos heurísticos. Hay preguntas típicas que el estudiante puede hacerse; por ejemplo, ¿qué relación existe entre el área del triángulo ABC y la longitud del segmento AR? En este caso se trata de una figura arbitraria donde el estudiante ha logrado clasificar varios elementos, entre los que se encuentran el triángulo ABC y el segmento AR. Los conceptos de área y longitud ya han sido asociados, probablemente junto a otros más; no obstante, puede depender del azar, el hecho de que haya seleccionado esas propiedades en particular. Esto no siempre es así. Frecuentemente, los estudiantes realizan estas preguntas tomando en consideración aquellos objetos y propiedades que les son más familiares y conocidos.

Sobre la base de las consideraciones anteriores, es necesario destacar la necesidad de que el estudiante clasifique la mayor diversidad de elementos, que asocie la mayor cantidad de propiedades posibles y que pierda el temor a establecer relaciones problemáticas entre cualquiera de ellos. Todas estas preguntas no tienen por qué tener una respuesta asequible, ni siquiera el maestro tiene por qué saber resolverla. Es sumamente importante saber preguntar, desentrañar interrogantes antes desconocidas, pues esto es parte de lo que en esencia es la Matemática.

Naturalmente, no todos los maestros están preparados para enfrentar este reto. Con mucha regularidad el modelo general para enseñar Matemática consiste en que el maestro enseña una propiedad, teorema, concepto, u algoritmo; luego desarrolla varios ejemplos (ejercicios resueltos); y, finalmente, le corresponde al alumno "imitar" lo que hizo anteriormente su maestro. De esta manera los alumnos casi siempre imaginan qué es lo que se les va a preguntar, reproducen casi inconscientemente lo que supuestamente deben responder, y asumen una concepción incorrecta de lo que realmente es hacer Matemática.

La escuela francesa de Didáctica de la Matemática ha denominado "contrato didáctico" al hecho de que ya los alumnos conocen perfectamente que su papel es imitar los que otros les enseñan. Los estudiante suponen que el profesor todo lo sabe y que la Matemática es para las personas más inteligentes; sin embargo, esto no es así. Se trata de un problema cultural heredado desde la década de los años 60, con la introducción en todo el mundo de la "Matemática Moderna", la cual exigía un formalismo extremo, tanto en la Matemática como en su enseñanza. De esta manera queda clara la necesidad de que el maestro enseñe explícitamente diferentes técnicas para realizar las preguntas, y que a la vez transmita la suficiente confianza a sus estudiantes. Todas las preguntas son importantes.

Una técnica muy conocida a escala mundial consiste en preguntarse: ¿Qué ocurriría si no …? Esta técnica fue propuesta en 1983 por el profesor norteamericano Stephen I. Brown (Universidad de Búfalo) en su libro "El arte de plantear problemas", y consiste en tratar de transformar algunos de los elementos encontrados durante la clasificación. Por ejemplo, en una figura puede existir una circunferencia donde cierto segmento es tangente a ella. La pregunta podría ser: ¿Qué ocurriría si dicho segmento no fuera tangente? (secante, por ejemplo).

Como puede observarse, esta técnica constituye un reto, pues va más allá a las preguntas relativas al objeto, llegando a exigir primero que ese objeto se transforme para luego enfrentar las preguntas. Evidentemente, esta nueva perspectiva demanda un cambio de paradigmas en el proceso de enseñanza de la Matemática, implicando también un accionar pedagógico sobre las esferas afectiva y motivacional del estudiante. La dimensión cognitiva no es suficiente, la enseñanza de la Matemática debe considerar profundamente los motivos e intereses afectivos de los educandos. Es aquí donde ocupan un lugar cimero las creencias y concepciones sobre los objetos matemáticos, la naturaleza de su enseñanza y el proceso de aprendizaje.

Como quinta acción se propone el "planteo del problema". Muchos autores pasan esta etapa desapercibida, pasando por alto la necesidad de potenciarla con acciones didácticas explícitas. Aquí se pone de manifiesto una máxima del presbítero Félix Varela: "Quien no habla bien es porque no piensa bien"; idea que en un sentido dialéctico se traduce en la necesidad de explotar las habilidades comunicativas del estudiante.

La Psicología muestra como en ocasiones un sujeto es capaz de concebir una idea y, a la vez, tener dificultades para expresarla. Particularmente, el problema puede constituir esta idea difícil de expresar, de manera que el estudiante necesita comunicarla con suficiente coherencia a través del lenguaje. Al respecto Lenin planteó con extraordinaria visión que "el lenguaje es la envoltura material del pensamiento".

Todas las acciones anteriores en su conjunto conforman una etapa general que se denomina "Formulación del Problema". Su principal objetivo consiste en encontrar un problema, sobre la base de un objeto inicial.

Cruz (2002) propone dos etapas más de un proceso más general que él denomina la "Elaboración del Problema". Se trata de la etapa de "Resolución del Problema", seguida de el "Perfeccionamiento del Problema". Sin embargo, no es objetivo de este trabajo incursionar en ellas. En síntesis, todo el análisis anterior puede ser modelado a través del siguiente diagrama:

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 Como se puede observar las etapas aparecen de forma secuencial, y en la primera han sido esclarecidas sus principales acciones. El resto de las etapas también están conformadas por acciones, con la peculiaridad de que la segunda etapa puede ser operacionalizada a través del esquema de Polya. Las interacciones observadas entre las etapas de formulación y resolución explican que no necesariamente el estudiante logrará resolver con éxito el problema que se ha planteado. No obstante, es importante el solo hecho de que intente resolverlo: esto también es parte de la actividad Matemática. Ahora bien, cómo introducir estos resultados en la práctica escolar.

2.2 Indicaciones metodológicas para la enseñanza–aprendizaje de la estrategia en la Secundaria Básica

Es sumamente importante el establecimiento de indicaciones metodológicas para la introducción de cualquier dispositivo pedagógico. El caso de las estrategias y técnicas no escapan de esta particularidad. Por este motivo, a continuación proponemos un grupo de precisiones que facilitan la contextualización de las ideas expuestas en el epígrafe anterior, en el proceso enseñanza–aprendizaje de la Geometría en el nivel secundario.

En primer lugar es necesario partir de un diagnóstico adecuado que le permita al maestro conocer los conocimientos y habilidades que los estudiantes poseen y que resultan útiles para la formulación de problemas de Geometría. Tienen singular importancia la habilidad para graficar y la de resolución de problemas. Por otra parte, es también importante examinar los conocimientos precedentes. No es posible el planteo de problemas de Geometría sin un dominio previo de los hechos, teoremas y definiciones estudiados con anterioridad. Todo esto gira alrededor de la esfera cognitiva, sin embargo, no son suficientes. También es preciso examinar las esferas afectivo–motivacional, pues existen creencias en los estudiantes como las siguientes: "yo no podré nunca inventar un problema", "los problemas siempre proceden de los libros de texto", "cualquier pregunta que me haga sobre un triángulo debo poder resolverla", "después de resolver un problema ya todo está concluido", etcétera.

En segundo lugar el maestro deberá analizar en qué medida resuelve las dificultades de sus estudiantes. Esto no debe identificarse con el tradicional "aseguramiento de las condiciones previas" de una clase, pues esta etapa que denominamos de "preparación" no se enmarca necesariamente en una clase sino en varias. Tampoco antecede a las que le siguen en el tiempo, pues a pesar de que otras etapas le suceden, esta adquiere otros matices durante todo el aprendizaje. En efecto, siempre se están preparando las condiciones para aprender cuando se está aprendiendo. En esto descansan las ideas del enfoque histórico–cultural de Lev Vigotsky, cuando afirma que es el desarrollo la fuente del propio desarrollo.

En tercer lugar figura la etapa de enseñanza–aprendizaje de la propia estrategia, la cual involucra las acciones que se han propuesto en el epígrafe anterior. Esta actividad no debe ser explícita, pues no es objetivo el aprendizaje de la estrategia. La estrategia es muy particular y es completamente posible elaborar muchas otras, inclusive el propio estudiante puede construirse una propia. Lo esencial es transmitir una manera de obtener problemas con suficiente seguridad, lo más importante es que el estudiante aprenda a formular problemas con efectividad. El dispositivo que se aplique no es lo más esencial.

No se trata de explicar las diferentes acciones, sino de hacer Matemática en vivo. Esto se conoce con el nombre de aprendizaje en acción. El maestro enseñará las diferentes etapas a través de ejemplos, mostrando con su accionar una forma de proponer problemas con relativa efectividad. Es necesario que en los ejemplos se ponga de manifiesto la posibilidad de formular problemas sin sentido, lo cual debe ser discutido con los estudiantes. Estos problemas no deben siempre desecharse, sino que es necesario perfeccionarlos de manera que conduzcan a verdaderos problemas. Tampoco es posible suponer que todos los problemas serán resueltos, unas veces por exigir conocimientos y habilidades de grados posteriores, y otras veces por desconocimiento incluso del propio profesor. Es necesario que los estudiantes asimilen esta posibilidad, pues la Matemática funciona justamente así.

Es recomendable la implementación de actividades que impliquen la participación de los estudiantes de manera activa. Así, el maestro diseñará diferentes dispositivos que motiven a los alumnos a participar, formulando sus propios problemas (individualmente o en equipos). Puede, por ejemplo, organizarse un concurso de problemas, cuyos propios árbitros pueden ser los mismos estudiantes. También puede proponerse un problema para ser criticado, dando la posibilidad de transformarlo hasta obtener otros problemas. Por otra parte es recomendable que, después de resolver algunos problemas, el maestro cree un clima afectivo respecto al resultado obtenido, y proponga realizar variaciones a los datos, así como al objeto geométrico seleccionado. De esta manera, en el propio proceso de resolución de problemas es posible insertar de manera natural la formulación, tal y como había observado Polya.

En cuarto lugar figura la etapa de sistematización y aplicación de lo aprendido. Ahora la formulación debe formar parte de la propia actividad matemática escolar. Esta etapa no se enmarca en un período específico del tiempo; y tampoco es parte explícita de una unidad temática. La esencia consiste en que las acciones estudiadas formen parte cotidiana del análisis de problemas inclusive no geométricos.

Para concluir, a continuación se propone un ejemplo de la aplicación consciente de esta estrategia que hemos propuesto. En primer lugar se parte de un objeto geométrico (selección del objeto), digamos el triángulo ABC equilátero, al cual se le han trazado dos alturas CD y AE. Veamos ahora la formulación de nuevos problemas siguiendo las restantes acciones que conforman la estrategia:

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 Clasificación de componentes

El estudiante trata de enumerar tantos elementos como le sean posible:

• los triángulos ABC, ACD, ADF, …
• los ángulos BAE, DFE, EAC, …
• los segmentos BC, DA, EF, …
• los cuadriláteros BDFE (convexo) y DAEC (no convexo), etcétera.

Asociación de propiedades

Se trata de un proceso similar, pero tomando como referencia los elementos ya clasificados:

• a los triángulos les puede asignar: área, perímetro, clasificación según sus lados y/o ángulos, circunferencias notables, igualdad, …
• a los ángulos les puede asignar el concepto de amplitud, así como su clasificación,
• a los segmentos les pueden asignar los conceptos de longitud, mediatriz, ángulos inscritos (considerándolos como cuerdas), etcétera,
• a los cuadriláteros es posible asociar los conceptos de área, perímetro, ciclicidad (esto es si están o no inscritos o circunscritos en alguna circunferencia), etcétera.

Búsqueda de relaciones

Se trata de establecer conexiones entre las propiedades de los elementos anteriormente enumeradas. Es aquí donde el estudiante debe perder el miedo a hacerse preguntas. Probablemente no tenga sentido alguna relación, pero eso no es un problema, ya que el análisis permitirá eliminar esos casos. Así, preguntas que pueden surgir a través de la búsqueda de relaciones son las siguientes:

• ¿Qué relación existe entre las áreas del triángulo ABC y el cuadrilátero BDFE?,
• ¿Existirá alguna pareja de triángulos iguales?,
• ¿Qué relación existe entre el perímetro del triángulo DAC y la longitud del segmento EF?, etcétera.

Cada una de estas preguntas debe ser sometida a un juicio crítico. La intuición es importante, pero más aun el establecimiento de hipótesis a través de la observación. Por tratarse de problemas geométricos es posible realizar diferentes conjeturas, las cuales serán resueltas o no con posterioridad. Por ejemplo, la pregunta 1 puede implicar la siguiente conjetura: ¿será el área del triángulo el triplo de la del cuadrilátero?

El maestro no debe menospreciar la capacidad de los alumnos. La conjetura anterior es realmente posible en el marco escolar, pero es preciso crear el clima adecuado y conducir con acierto el razonamiento de los estudiantes. En este caso, la aplicación del paquete computacional "Geometry" puede resultar favorable si se orienta medir cada una de las áreas para diferentes triángulos equiláteros.

Planteo del problema

He aquí la etapa final donde es necesario comunicar el problema bien formulado. Así, en el caso anterior, la pregunta final sería: Demostrar o refutar que el área del triángulo ABC triplica la del cuadrilátero BDFE.

Después de resolver este problema (lo cual resulta muy fácil si se traza la altura que falta), es posible considerar la técnica de transformación propuesta por Brown, de manera que se generen nuevos problemas, a partir del que se ha propuesto. En efecto, si se realizan cambios en el objeto dado es natural que ocurran cambios en sus propiedades. Así, dos preguntas que ahora se podrían formular son las siguientes: ¿Qué relación se establecería entre las áreas del triángulo ABC y el cuadrilátero BDFE si el primero:

1. es escaleno?

   CONCLUSIONES

   Como se ha podido observar, desde el punto de vista teórico es posible concebir una estrategia didáctica que favorece la formulación de problemas geométricos en el octavo grado. Esta estrategia se compone de un grupo de acciones que interaccionan adecuadamente entre sí, facilitando la creación de nuevos problemas por parte de los estudiantes. La estrategia en general se inserta en un modelo más amplio de elaboración de problemas proporcionado por otros autores. De esta manera, esta investigación contribuye a sistematizar la teoría antes existente.

   Es justo señalar que la estrategia en sí no funciona de manera aislada, sino en constante interacción con el proceso de resolución de problemas. Así, formular un problema puede ocurrir antes, durante y después de resolver un problema. Este fenómeno se explica con suficiente claridad a través de la concepción que hemos asumido del acto de formulación como problema en sí mismo.

   Como parte del cumplimiento de una importante tarea de investigación, también hemos elaborado un grupo de indicaciones metodológicas que permiten insertar la estrategia en el proceso de enseñanza–aprendizaje de la Geometría del octavo grado, precisando que no se trata de añadir un conocimiento nuevo, sino de guiar el razonamiento matemático por senderos que implican un cambio de actitud hacia la Matemática.

   Finalmente, tomando en consideración la necesidad de esclarecer lo suficiente el aporte que hemos realizado, hemos concluido nuestro trabajo con una ejemplificación de la estrategia, sobre la base de un objeto geométrico sencillo, propio de la Matemática escolar. En este caso, pudo observarse la emergencia de disímiles problemas. Algunos en el extremo fácil, otros en el extremo difícil, pero todos con la notable peculiaridad de haber sido formulado en el ámbito escolar. Esto reafirmó el hecho de que las nuevas transformaciones de la escuela cubana presuponen un cambio de concepción de la propia Matemática escolar, enfocándola como una actividad humana.

   RECOMENDACIONES

   La estrategia propuesta es susceptible de ser perfeccionada, lo cual puede ocurrir por dos caminos: la constatación empírica o el análisis teórico. En ambos casos es necesaria una maduración de las ideas, así como una práctica sistemática de la estrategia dentro del objeto de investigación. Por este motivo, se recomienda que en el trabajo de diploma se desarrolle por vía experimental una constatación de la validez de los resultados aquí planteados. Esto también puede complementarse con la aplicación del criterio de expertos, así como otros instrumentos y métodos de investigación. Sobre la base de las observaciones cualitativas y cuantitativas, será posible un perfeccionamiento de la estrategia en el marco teórico.

   Se recomienda también estudiar la posibilidad de extender la estrategia a otros campos del saber matemático del ámbito escolar. Partir de un objeto y analizarlo para formular problemas afines (bajo transformación o no del mismo), también es posible en la Aritmética de la escuela, así como en la Trigonometría y el Álgebra del preuniversitario. Sin embargo, las acciones antes desarrolladas pueden cambiar.

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   ANEXO 1

   Encuesta aplicada para determinar el estado actual del problema científico

   Objetivo: Recopilar información empírica sobre el estado actual del problema científico.

    Para el desarrollo de nuestra investigación necesitamos de su amable colaboración. Las preguntas que siguen no persiguen ningún fin evaluativo; además, sus respuestas serán de carácter anónimo. Muchas gracias.

   Datos profesionales:

   Funciones que realiza: ______________________ Enseñanza:________________

   Municipio:_________________ Años de experiencia: ____

2. en vez de haber trazado las alturas se hubieran trazado las medianas?

   (N = Nunca; P = Pocas veces; O = Ocasionalmente; M = A menudo; S = Siempre)

   N	P		O	M	S
   1		Me intereso por buscar ejercicios nuevos e interesantes para mis estudiantes.				0	0	0	0	12
   2		Cuando se culmina la realización de un ejercicio en mis clases discuto con mis estudiantes otros problemas que surgen.				0	2	4	5	1
   3		Yo mismo elaboro los ejercicios que propongo a mis estudiantes.				0	1	8	3	0
   4		Se me ocurren nuevos ejercicios fuera del contexto escolar.				1	1	10	0	0

1. Marque con una equis (x):
2. Describa brevemente cómo elaboraría problemas de Geometría para el octavo grado.
3. En las transformaciones escolares de secundarias básicas aparece como objetivo que los estudiantes sean capaces no solo de resolver, sino también de "plantear" problemas. ¿Qué opina usted al respecto?

   Se encuestó un total de 12 profesores de Secundaria Básica del municipio Holguín, con una experiencia promedio de 18 años. Las respuestas más frecuentes pueden resumirse de la manera siguiente:

4. ¿Cómo usted enseña a sus estudiantes a plantear problemas de Geometría?
1. Estos datos han sido colocados en la propia tabla.
2. Los maestros frecuentemente parten de problemas conocidos y elaboran los nuevos sobre la base de analogías, o bien cambiando algunos datos.
3. Consideran que el planteo de nuevos problemas es muy importante pues desarrolla el pensamiento creativo y, además, así los estudiantes pierden el miedo que tradicionalmente sienten por la Matemática. Sin embargo, señalan que es difícil, que las orientaciones metodológicas no abordan dicho tema y que es un verdadero reto para la enseñanza de esta asignatura.

   ANEXO 2

   Guía de entrevista aplicada

   Objetivo: Recopilar información empírica sobre el estado actual del problema científico.

   Estimado profesor, para el desarrollo de nuestra investigación necesitamos de su amable colaboración. Nosotros estamos desarrollando una investigación sobre la formulación de nuevos problemas de Geometría en la escuela, especialmente en el octavo grado. Esta investigación constituye nuestro trabajo de curso, y es una continuidad de otros trabajos desarrollados en nuestra provincia sobre el tema. Primeramente le solicitaremos algunos datos profesionales suyos, luego queremos realizarle tres preguntas.

   Datos profesionales del entrevistado:

4. Se trata de algo todavía más complejo. En la escuela se ha trabajado bastante la formulación de problemas con texto (generalmente aritméticos). Estos últimos son elaborados a partir de situaciones eminentemente prácticas, y muy raras veces intervienen elementos de la Geometría.
5. Funciones que realiza.
6. Enseñanza donde trabaja.
7. Municipio.

   Preguntas de la entrevista:

8. Años de experiencia.
9. ¿Qué significa para usted formular problemas en la escuela?
10. ¿Qué es más difícil para los estudiantes: formular o resolver problemas? ¿Tiene usted idea de por qué esto es así?

    En total se entrevistaron 8 profesores de la enseñanza secundaria. El promedio de años de experiencia fue de 21. A continuación se resume las respuestas más frecuentes.

11. ¿Cómo lograr que los estudiantes formulen problemas? ¿Cómo lograrlo en el caso de la Geometría del octavo grado?
12. "Significa que el profesor o los alumnos planteen nuevas preguntas". (Nótese que utilizan el sinónimo "planteen" y no se refieren a una habilidad, capacidad u otra configuración psicológica con estructura de proceso. También utilizan el concepto "pregunta" y muy raras veces el de "ejercicio" u otra tarea docente.)
13. "Formular, pero esto es así porque no se enseña a hacerlo. En general es más difícil resolver que formular; pero más difícil todavía es dominar ambas cosas". (En este caso se evidencia una falta de trabajo metodológico que favorezca la formulación de problemas de manera sistemática. Los profesores están conscientes de que enseñar a formular es un reto, y también que la resolución de problemas es un proceso muy relacionado.)
14. "Es necesario que se investigue más esto. En las transformaciones se exige que se enseñe a hacerlo pero no se dice cómo, tampoco esto es común en la literatura relativa a la enseñanza de la Matemática. Para el caso de la Geometría, pienso que conviene empezar por casos muy sencillos, donde se utilicen las mismas figuras con nuevos datos; luego se puede transformar un poco la figura y ver qué pasa. De todas formas es difícil enseñar esto, pues los alumnos tienen muchas dificultades con la Geometría". (En este caso puede observarse como los maestros tienen consciencia de que, si bien la formulación de problemas carece de indicaciones metodológicas sistemáticas, el caso de la Geometría todavía es menos estudiado.)

Autora:

Yulaimis Leyva González

Tutor:

Dr. Miguel Cruz Ramírez

Instituto Superior Pedagógico "José de la Luz y Caballero", CUBA