1) Reseña histórica
Abrahan De Moivre (1733) fue el primero en obtener la ecuación matemática de la curva normal. Kart Friedrich Gauss y Márquez De Laplece (principios del siglo diecinueve) desarrollaron más ampliamente los conceptos de la curva. La curva normal también es llamada curva de error, curva de campana, curva de Gauss, distribución gaussiana o curva de De Moivre.
Su altura máxima se encuentra en la media aritmética, es decir su ordenada máxima corresponde a una abscisa igual a la media aritmética. La asimetría de la curva normal es nula y por su grado de apuntamiento o curtosis se clasifica en mesocúrtica.
2) Ecuación
Su ecuación matemática de la función de densidad es:
Donde:
X = valor en el eje horizontal
Y = altura de la curva para cualquier valor de x
Cuando se expresa la variable x en unidades estándar (fórmula de estandarización)
La ecuación anterior es reemplazada por la llamada forma canónica, la cual es
Para calcular Y en Excel se procede de la siguiente manera:
a) Se ubica valores para X del -3 hasta el 3. Se insertar la función DISTR.NORM.ESTAND.N. En la ventana de argumentos de función, en Z se seleccionada A2 que representa al -3, y en Acumulado es escribe FALSO. Clic en Aceptar. Se arrastra con el mouse para obtener los demás valores.
b) Para obtener la gráfica se inserta gráfico de dispersión.
Nota: No existe una única distribución normal, sino una familia de distribuciones con una forma común, diferenciadas por los valores de su media y su varianza. De entre todas ellas, la más utilizada es la distribución normal estándar, que corresponde a una distribución con una media aritmética de 0 y una desviación típica de 1.
3) Área bajo la curva
El área total limitada por la curva y el eje "X" es 1, por lo tanto, el área bajo la curva entre X = a y X = b, con a < b, representa la probabilidad de que X esté entre a y b. Esta probabilidad se denota por:
Esta probabilidad se ilustra en el siguiente gráfico elaborado con el programa Winstats.
Para elaborar el gráfico se procede de la siguiente manera:
a) Se abre el programa. Clic en Window- Probability
b) Clic en Normal
c) Para cambiar el color del fondo, maximizar la ventana de la curva. Clic en Edit-Colors y luego en
Window background. Seleccionar el color blanco para el fondo.
d) Para escribir, clic en Btns y luego en Text mode. Clic derecho en cualquier parte de la pantalla. Luego escribir en la venta edit text. Clic en ok
e) Se obtiene el siguiente gráfico
4) Empleo de la distribución normal
La distribución normal suele emplearse en:
4.1) Estimación del intervalo de confianza para la media (? conocida)
Se emplea la siguiente fórmula:
Donde:
Z = valor crítico de la distribución normal estandarizada
Se llama valor crítico al valor de Z necesario para construir un intervalo de confianza para la distribución. El 95% de confianza corresponde a un valor a de 0,05. El valor crítico Z correspondiente al área acumulativa de 0,975 es 1,96 porque hay 0,025 en la cola superior de la distribución y el área acumulativa menor a Z = 1,96 es 0,975.
Un nivel de confianza del 95% lleva a un valor Z de 1,96. El 99% de confianza corresponde a un valor a de 0,01. El valor de Z es aproximadamente 2,58 porque el área de la cola alta es 0,005 y el área acumulativa menor a Z = 2,58 es 0,995.
4.2) Estimación del intervalo de confianza para una proporción
Sirve para calcular la estimación de la proporción de elementos en una población que tiene ciertas características de interés. La proporción desconocida de la población, se representa con la letra griega
La estimación puntual para es la proporción de la muestra, , donde es el tamaño de la muestra y es el número de elementos en la muestra que tienen la característica de interés. La
siguiente ecuación define la estimación del intervalo de confianza para la proporción de la población.
Cuando la población es finita ( ) y el tamaño de la muestra ( ) constituye más del 5% de la población, se debe usar el factor finito de corrección. Por lo tanto si cumple:
Se aplica la ecuación
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