Integración Se desea calcular la integral de la función f(x) de x=a hasta x=b Implícitamente se asume que f(x) es relativamente suave, se determina un conjunto de puntos de “interpolación” o de malla xi en la región a = x = b y se calcula la integral en término de los valores de f(x) y los puntos de la malla. (Gp:) ? (Gp:) I = f(x) dx (Gp:) a (Gp:) b
Regla de Simpson Se asume que f(x) es una función cuadrática I = (b-a)*(f(a)+ 4f(xc)+f(b))/6 x X=a X=b f(a) f(b) xc =m = (a+ b)/2 f(Xc)
Como sale la función cuadrática? Por interpolación de Lagrange, la curva se aproxima a una parábola P:
Prueba: P(x) claramente es de 2do grado. Debo demostrar que pasa por los 3 puntos (a, f(a)); (b, f(b)); (m, f(m))
Integrando la aproximación cuadrática Si integro P(x) tengo:
El error en esta aproximación es proporcional a:
Error en Simpson Si se parte la integración en n intervalos, el error es:
Donde h=(b-a)/n, epsilon es algún número entre a y b con el máximo modulo de la 4ta derivada de f.
Trapezoidal Iterativo y Simpson iterativo Trapezoidal: Si tenemos N puntos N xi con
I= (b-a) (f(x0)+2f(x1)+2f(x2)+ ……+2f(x(N-2))+f(x(N-1))/(2(N-1))
O con Simpson:
I= (b-a) (f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+ ……+4f(x(N-2))+f(x(N-1))/(3(N-1))
Se suman los f(xi) con diferentes pesos Note que ambos aproximan su cálculo en una región tamaño (b-a)/(N-1) (el doble de eso para Simpson) que tiende a cero si N es grande, así que la aprox. Es mejor si N se agranda.
Las funciones de peso Se suman varios wi f(xi) y las diferentes reglas sólo con diferentes wi Trapezoidal: para índices = 0, 1, 2, 3, …, N-1Se usa el patrón wi ? 1, 2, 2, … 2, 2, 1 Para los mismos índices, Simpson con N impar tiene el patrónwi ? 1, 2, 4, 2, 4, … 2, 4, 2, 4, 1
Computación paralela Diferentes procesadores calculan independientemente diferentes puntos en la integral y luego se suman los resultados de cada procesador Lo más natural es el escenario de la figura de arriba, con cada procesador calculando una integral sobre una subregión x0 al x8 en proc. 0 … x24 to x32 en proc. 3 etc. La integral total es la suma de las sub-integrales calculadas en cada procesador Pero podría asignarse PUNTOS y no REGIONES a los procesadores x0 x4 x8 .. x32 al proc. 0 x3 x7 x11 .. x31 al proc. 3 (Gp:) x0 (Gp:) x4 (Gp:) x8 (Gp:) x12 (Gp:) x16 (Gp:) x20 (Gp:) x24 (Gp:) x28 (Gp:) x32
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