Resumen
En este artículo se demuestra una propiedad de las integrales iteradas y su aplicación
Abstract
In this paper one demostrates to a property of the nested integrals and its applications.
Palabras claves: Integrales iteradas, Transformada de Laplace
Keys words: Nested integrals, Laplace transforms,
Introducción
La integral anidada es una integral evaluada múltiple veces sobre una misma variable en contraste a las integrales múltiples, que consiste de un número de integrales evaluadas con respecto a variables diferentes.
Para su demostración ver (ver [G. Shilov]).
En particular, se resolverá el PVI (2) integrando repetidamente (n veces) la ecuación (2) y usando las condiciones iniciales dadas. En cada paso se usará la ecuación (1) para llegar a la solución general en forma cerrada, esto es, la obtención de una formula.
Demostración.
Ver [José A. Sánchez _Integrales anidadas]
Propiedades de las transformadas de Laplace usando integrales anidadas
Usaremos la convolución de las funciones
Propiedad 1.
Dem. Usaremos la siguiente propiedad:
(transformada de una convolución)
Aplicando Transformadas a ambos miembros de la ecuación (1) y usando la linealidad de la transformada de Laplace, obtenemos
Utilicemos la propiedad anterior para resolver el siguiente problema de valor inicial
Ejemplo. Resolver el PVI.
Solución:
Despejando e integrando dos veces, usando las condiciones iniciales, se tiene:
Ejemplo 1. Resolver el PVI:
(segunda forma)
Despejando e integrando dos veces, usando las condiciones iniciales, se tiene:
Ejemplo 3. Usando (TL.1) encuentre la Transformada de Laplace de las siguientes
Ejemplo. Demuestre la fórmula:
Resolveremos ahora un sistema de ecuaciones diferenciales:
Ejemplo 4. Consideremos el sistema acoplado
Usando transformadas de Laplace en ambas lados de las ecuaciones anteriores obtenemos:
Conclusiones
Al resolver un problema de valor inicial se encontró la solución general en forma cerrada más…….
Bibliografía
[1] Chilov, G. E. Analyse Mathématique, Fonctions de plusieurs variables réelles, Éditions Mir, moscou, 1975.
[2] García J. O,Villegas G. ,J. Castaño B., J, Sánchez C., J. Ecuaciones Diferenciales. Fondo Editorial Universidad EAFIT, 2010.
´
Autor:
José Albeiro Sánchez Cano
Departamento de Ciencias Básicas_ Universidad EAFIT