Fundamentos matemáticos de la electrónica digital

2. Conversión de un sistema a otro
3. Operaciones con números binarios
4. Códigos
5. Representación de números binarios signados
6. Suma y resta en el sistema complemento a 2

1.1)

Sistemas de numeración posicionales

En un sistema de esta clase, un número se representa por medio de una cadena de dígitos, donde cada posición del digito tiene un peso asociado. Así, el valor del número es una suma ponderada de los dígitos.

En un sistema posicional general, la base puede ser cualquier entero b2, y un digito en la posición i tiene un peso bi; un punto base permite que se utilicen tanto potencias negativas como positivas de la base. La forma de expresión de un número N cualquiera es:

Donde existen n dígitos a la izquierda del punto base y p dígitos a la derecha. Si el punto se omite, se supone que se encuentra a la derecha del digito del extremo derecho.

El valor de dicho número puede representarse como una suma de potencias de la base, de la siguiente manera:

Siendo ai un número perteneciente al sistema y que, por lo tanto, cumple la condición 0aib.

Excepto por la posibilidad de tener ceros al principio o al final, la representación de un número en un sistema de numeración posicional es única. El digito que esta en el extremo izquierdo se denomina "digito más significativo" y el digito que esta en el extremo derecho se denomina "digito menos significativo".

• Sistema decimal:

Este es un sistema de base 10, donde se utilizan 10 símbolos (que forman la sucesión monótona creciente 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) para representar números. Cada peso es una potencia de 10 que corresponde a la posición del digito. Un punto decimal permite que se utilicen tanto potencias negativas como positivas de 10. La forma de expresión de un número D en esta base y su valor están dados por:

• Sistema binario:

Este es un sistema de base 2, donde solo se emplean 2 símbolos (0 y 1, llamados "bits", por la contracción de las palabras "binary digits"). Cada peso es una potencia de 2 que corresponde a la posición del digito. Un punto binario permite que se utilicen tanto potencias negativas como positivas de 2. El sistema binario se emplea para representar señales en un sistema digital, ya que dichas señales se encuentran normalmente en uno de dos estados: alto (1) o bajo (0). La forma de expresión de un número B en esta base y su valor están dados por:

El bit que esta en el extremo izquierdo de un numero binario se conoce como el "bit más significativo" (MSB, most significant bit), y el bit que se encuentra en el extremo derecho se conoce como el "bit menos significativo" (LSB, least significant bit).

• Sistema octal:

Este es un sistema de base 8, que necesita 8 símbolos para representar números, de modo que se emplean los dígitos del 0 al 7 del sistema decimal. Este sistema es útil para representar números de múltiples bits, ya que su base es una potencia de 2. Puesto que una cadena de 3 bits puede tomarse en 8 diferentes combinaciones, se sigue que cada cadena de 3 bits puede representarse de manera única por un digito octal.

El sistema numérico octal no se utiliza mucho en la actualidad, a consecuencia de la preponderancia de las maquinas que procesan bytes compuestos de 8 bits.

• Sistema hexadecimal:

Este es un sistema de base 16, que necesita 16 símbolos para representar números, de modo que se emplean los dígitos del 0 al 9 del sistema decimal con las letras de la A hasta la F. Este sistema es útil para representar números de múltiples bits, ya que su base es una potencia de 2. Puesto que una cadena de 4 bits puede tomarse en 16 diferentes combinaciones, se sigue que cada cadena de 4 bits puede representarse de manera única por un digito hexadecimal.

En base al criterio anterior, en el sistema numérico hexadecimal, dos dígitos represen-tan un byte de 8 bits, y 2n dígitos representan una palabra de n bytes; en este contexto, un digito hexadecimal de 4 bits se denomina a veces un nibble (medio byte).